课时作业12： 直线与圆、圆与圆的位置关系

§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≠0，则直线l ：ax ＋by ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定 答案 B
解析 圆C 的方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，圆心C ⎝⎛⎭⎫－a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 2
2
，
圆心到直线ax ＋by ＝0的距离为d ＝
⎪⎪⎪⎪－a 2
×a ＋⎝⎛⎭⎫－b 2×b a 2＋b 2
＝a 2＋b 2
2
＝r ，所以直线与圆相切．
2．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定
答案 A
解析 方法一 由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |
m 2＋1
<1<5，故直线l 与圆相交． 方法二 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)， 因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， 所以直线l 与圆相交．
3．两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离
答案 A
解析 由于圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，故圆心为C 1(－1,3)，半径为6；圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心为C 2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C 1C 2|＝(－1－2)2＋(3＋1)2＝5＝6－1，显然两圆内切．
4．(2019·河南八市重点高中联考)已知圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0截直线x ＋y －4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为( ) A.()2－17，2＋17
B.()2－17，2
C.()－15，＋∞ D ．(－15,2)
答案 D
解析 圆心(1，－1)，半径r ＝2－a ，2－a >0，∴a <2， 圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|
2＝2 2.
则弦长为2(2－a )2－(22)2＝2－a －6<6. 解得a >－15，故－15<a <2.
5．(2019·广州模拟)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 D
解析 画出图形，如图，圆心(2,0)到直线的距离为d ＝|2|
12＋(3)2
＝1，∴sin ∠AOC ＝d
|OC |＝
12
，
∴∠AOC ＝π6，∴∠CAO ＝π
6，
∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π
3
.
6．(2020·广东华附、省实、广雅、深中四校联考)过点A (a,0)(a >0)，且倾斜角为30°的直线与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点B ，且|AB |＝3，则△OAB 的面积是( ) A.12 B.3
2 C ．1 D ．2 答案 B
解析 由切线的性质可得△ABO 是以点B 为直角顶点的直角三角形，在Rt △ABO 中，∠OAB ＝30°，AB ＝3，则OB ＝1，OA ＝2，△OAB 的面积是12×1×3＝32
.
7．(多选)已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A ．－ 6 B ．－ 5 C. 6 D. 5
答案 BD
解析 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |
12＋(－2)
2
＝1，所以a ＝±5.
8．(多选)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，下列结论正确的有( ) A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0 B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2 C ．x 1＋x 2＝a D ．y 1＋y 2＝2b 答案 ABC
解析 两圆方程相减可得直线AB 的方程为a 2＋b 2－2ax －2by ＝0， 即2ax ＋2by ＝a 2＋b 2，故B 正确；
分别把A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入2ax ＋2by ＝a 2＋b 2， 得2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2,2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2， 两式相减得2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0， 即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，故A 正确；
由圆的性质可知，线段AB 与线段C 1C 2互相平分， ∴x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，故C 正确． 故选ABC.
9．(2020·西南地区名校联盟调研)以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的标准方程为________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝9 解析 圆心到直线的距离为
|3×2－4×(－1)＋5|
5
＝3，
则所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.
10．(2020·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为________． 答案 (x －3)2＋(y －3)2＝34
解析 方法一 联立方程⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＋2＝0，x 2＋y 2＝4，
解得交点坐标为A (－2,0)，B (0，－2)．
弦AB 的垂直平分线方程为y ＋1＝x ＋1即x －y ＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，2x －y －3＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝3.
弦AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为(3,3)， 半径r ＝[3－(－2)]2＋32＝34， 故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝34.
方法二 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－4)＋a (x ＋y ＋2)＝0， 即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0， ∴圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2
，－a 2， ∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴－a ＋a
2－3＝0，
∴a ＝－6.
∴圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0， 即(x －3)2＋(y －3)2＝34.
11．(2019·北京大兴区模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；
(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．
解 (1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，其圆心为(0,4)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 相切，则有
|4＋2a |
1＋a 2
＝2，解得a ＝－3
4.
(2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则⎝⎛⎭⎫|AB |22
＋d 2＝r 2，即2＋d 2
＝4，解得d ＝2， 则有d ＝
|4＋2a |
1＋a 2
＝2，解得a ＝－1或－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.
12．已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求该圆的方程．
解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |， 又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |
2，
∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.
故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.
方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2
，
∴r 2
＝(a －b )2
2
＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①
由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②
又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝3，
b ＝1，
r 2＝9
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－3，
b ＝－1，r 2＝9.
故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.
方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E
2， 半径r ＝1
2
D 2＋
E 2－4
F .
在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .① 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2
，－E
2到直线y ＝x 的距离为 d ＝
⎪⎪⎪
⎪－D 2＋E 22
，
由已知得d 2＋(7)2＝r 2，
即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．② 又圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E
2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③
联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－6，
E ＝－2，
F ＝1
或⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝6，
E ＝2，
F ＝1.
故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.
13．已知圆E ：x 2＋y 2－2x ＝0，若A 为直线l ：x ＋y ＋m ＝0上的点，过点A 可作两条直线与圆E 分别切于点B ，C ，且△ABC 为等边三角形，则实数m 的取值范围是______________． 答案 [－22－1,22－1]
解析 设圆E 的圆心为E ，半径为r ，圆E ：x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心E (1,0)，半径r 为1，
由题意知直线l 上存在点A ，使得r |AE |＝sin 30°＝1
2
，
即|AE |＝2r .又因为|AE |≥d (d 为圆心到直线l 的距离)，故要使点A 存在，只需d ≤2r ＝2，可得|1＋m |
2
≤2，解得m ∈[－22－1,22－1]． 14．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________． 答案
7
解析 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3,0)，
则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，
|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝
|3－0＋1|
12＋(－1)2
＝22，
∴|PM |的最小值为22，
|PQ |＝|PM |2－1＝(22)2－1＝7.
15．(多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，A (－2,0)，B (4,0)，点P 满足|P A ||PB |＝12，设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是( )
A ．C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝9
B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两定点D ，E ，使得|PD ||PE |＝1
2
C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线
D ．在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA | 答案 BC
解析 设点P (x ，y )，则|P A ||PB |＝1
2＝(x ＋2)2＋y 2(x －4)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＋8x ＝0，即(x ＋4)2＋y 2＝16，故A 错误；当D (－1,0)，E (2,0)，P (0,0)时，|PD ||PE |＝12
，故B 正确；对于C 选项，cos ∠APO
＝|AP |2＋|PO |2－|AO |22|AP |·|PO |，cos ∠BPO ＝|BP |2＋|PO |2－|BO |22|BP |·|PO |.
若PO 为∠APB 的平分线，只需|PO |2＝2|AP |2－8，
又|PO |2＝x 2＋y 2.2|AP |2－8＝2x 2＋8x ＋2y 2＝(x 2＋8x ＋y 2)＋(x 2＋y 2)＝x 2＋y 2.
∴|PO |2＝2|AP |2－8成立，故C 正确．对于D 选项，设M (x 0，y 0)，由|MO |＝2|MA |可得x 2
0＋y 20＝2(x 0＋2)2＋y 20，整理得3x 20＋3y 20＋16x 0＋16＝0，而点M 在圆上，故满足x 2＋y 2＋8x ＝0.
联立解得x 0＝2，y 0无实数解，于是D 错误．故答案为BC.
16．已知圆C 经过(2,4)，(1,3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点． (1)求圆C 的方程；
(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程． 解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (2－a )2＋(4－b )2＝r 2，(1－a )2＋(3－b )2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，
b ＝3，
r ＝1，
∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →
为定值．
过点A (0,1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ， 易得|AT |2＝7，
∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7， ∴AM →·AN →为定值，且定值为7.
②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，
并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， ∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2
＝71＋k 2
， ∴OM →·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，
即
4k (1＋k )
1＋k 2
＝4，解得k ＝1， 又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。