高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册4.1直线与圆锥曲线的交点(课件)
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1.已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于点 ， ，则 ( ).A. B. C. D.
C
[解析] 由点 在抛物线 上得 ，设 ，由直线过定点 得 ，解得 （ 舍去），即 ，所以 .
2.已知双曲线 ，经过点 的直线 与 有唯一公共点，则直线 的方程为( ).A. B. C. 或 D. 或
位置关系
解的个数
的取值
相交
_____解
_____0
相切
_____解
_____0
相离
_____解
_____0
两
＞
一
＝
无
＜
新知运用
例1 已知直线 ，椭圆 .试问当 取何值时，直线 与椭圆
（1）有两个不同的公共点?
（2）有且只有一个公共点?
[解析] 将直线 的方程与椭圆 的方程联立，得 消去 ，得 .该方程的根的判别式 .（1）当 ，即 时，该方程有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线 与椭圆 有两个不同的公共点.（2）当 ，即 时，该方程有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线 与椭圆 有且只有一个公共点.
CD
[解析] 因为在双曲线 中， 或 ，所以若 与双曲线有两个交点，则 或 .
3.已知斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，则直线 的方程为( ).A. B. C. D.
A
[解析] 设 ， ，则 得 ，所以 .又因为直线 过点 ，所以直线 的方程为 .
方法总结 （1）对于直线与双曲线、抛物线的位置关系的判定，一要注意对消元之后的方程二次项系数是否为零进行讨论；二要注意对判别式的讨论.（2）对于直线与双曲线的位置关系，有时可把直线与双曲线的渐近线比较，数形结合来判定.
直线 ，抛物线 ，当 为何值时， 与 有：
（1）一个公共点?
（2）两个公共点?
探究1 直线与椭圆的位置关系
如图所示，移动直线 ，观察直线 与椭圆的位置关系.
问题1：上图中直线 与椭圆有几种位置关系？
[答案] 有三种，相切、相交、相离.
问题2：可否像讨论直线与圆的位置关系那样，将直线与椭圆的方程联立组成方程组，通过方程组的解的个数来讨论直线与椭圆的关系？
[答案] 可以.
C
[解析] 由双曲线的几何性质可知，点 在双曲线右顶点的右侧，当直线 与渐近线平行时，直线 与双曲线 有唯一公共点，由于双曲线的渐近线为 ，故直线 的方程为 或 ，即 或 .
3.若直线 与双曲线 有两个公共点，则实数 的取值范围是_ ____________________.
问题3：过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
[答案] 由椭圆的对称性知，两交点关于原点对称.
问题4：直线 与椭圆 有怎样的位置关系？
[答案] 直线 恒过定点 ，点 在椭圆 的内部，因此直线与椭圆相交.
新知生成
直线 与椭圆 的位置关系 联立 消去 得一个关于 的一元二次方程.
或
[解析] 联立 消去 得 ，依题意有 ，即 ，解得 或 .
4.已知直线 与椭圆 有公共点，求 的取值范围.
[解析] 联立 整理得 .因为直线 与椭圆 有公共点，所以 ，解得 或 .
2
＞
1
＝
0
＜
新知运用
例2 已知双曲线 和定点 ，过点 可以作几条直线与双曲线只有一个公共点？
[解析] 当过点 的直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，与 联立消去 ，得 . ①当 ，即 时， 式变为一元一次方程,解得 或 .此时直线 与双曲线交于点 或点 ，即直线过点 且平行于渐近线的情形.②当 时，由 ，得 ，此时 ，交点为 .易知当过点 的直线斜率不存在时，直线方程为 ，交点为 ，满足题意.所以过点 有四条直线与双曲线只有一个公共点.
方法总结 判断直线与椭圆的位置关系的方法
1.若直线 与椭圆 相切，则 的值是( ).A. B. C. D.
C
[解析] 由 得 ，由题意知， ，解得 .
探究2 直线与圆锥曲线的位置关系
问题1：若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切.正确吗？
[答案] 正确.
3.如何判断直线与抛物线相交？
[答案] 联立直线与抛物线的方程，根据方程组的解判断.
1.直线 与椭圆 的位置关系为( ).A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
B
[解析] 直线 恒过定点 .又因为 ，所以点 在椭圆 的内部，所以直线 与椭圆相交.故选B.
2.（多选题）若直线 与双曲线 有两个交点，则 的值可以是( ).A. B. C. D.
（3）没有公共点?
[解析] 联立直线 与抛物线 的方程，得方程组 消去 得 ， 当 时，方程变为 ，则 ，此时 ，∴直线 与 只有一个公共点 ，此时直线 平行于 轴.当 时，方程 是一个关于 的一元二次方程， .①当 ，即 且 时， 与 有两个公共点，此时 与 相交；②当 ，即 时， 与 有一个公共点，此时直线 与 相切；③当 ，即 时， 与 没有公共点，此时直线 与 相离.综上所述，（1）当 或 时，直线 与 有一个公共点；（2）当 且 时，直线 与 有两个公共点；（3）当 时，直线 与 没有公共点.
问题2：若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？
[答案] 不一定.当直过点 能作几条直线和双曲线 仅有一个交点？
[答案] 3条.
新知生成
1.两曲线的交点已知两条曲线 、 的方程分别为 ， ，则点 是 ， 的交点 方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个不同的交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点.
直线与圆锥曲线的交点
直线与圆锥曲线的位置关系，可否像讨论直线与圆的位置关系那样，将直线与圆锥曲线的方程联立组成方程组，通过方程组的解的个数来讨论？
1.如何求直线与椭圆的交点？
[答案] 联立直线与椭圆的方程，解方程组，可求交点.
2.当直线与双曲线有一个交点时，直线与双曲线相切吗？
[答案] 不一定.
2.直线与圆锥曲线的位置关系设直线 的方程为 ，圆锥曲线 的方程为 ，则由 消去 ，可得 .
（1）当 时有：
位置关系
公共点个数
方程
相交
____
_____0
相切
____
_____0
相离
____
_____0
（2）当 ， 时，方程 只有一个解，即直线与圆锥曲线只有一个公共点，此时该直线与圆锥曲线不是相切，而是相交.
C
[解析] 由点 在抛物线 上得 ，设 ，由直线过定点 得 ，解得 （ 舍去），即 ，所以 .
2.已知双曲线 ，经过点 的直线 与 有唯一公共点，则直线 的方程为( ).A. B. C. 或 D. 或
位置关系
解的个数
的取值
相交
_____解
_____0
相切
_____解
_____0
相离
_____解
_____0
两
＞
一
＝
无
＜
新知运用
例1 已知直线 ，椭圆 .试问当 取何值时，直线 与椭圆
（1）有两个不同的公共点?
（2）有且只有一个公共点?
[解析] 将直线 的方程与椭圆 的方程联立，得 消去 ，得 .该方程的根的判别式 .（1）当 ，即 时，该方程有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线 与椭圆 有两个不同的公共点.（2）当 ，即 时，该方程有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线 与椭圆 有且只有一个公共点.
CD
[解析] 因为在双曲线 中， 或 ，所以若 与双曲线有两个交点，则 或 .
3.已知斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，则直线 的方程为( ).A. B. C. D.
A
[解析] 设 ， ，则 得 ，所以 .又因为直线 过点 ，所以直线 的方程为 .
方法总结 （1）对于直线与双曲线、抛物线的位置关系的判定，一要注意对消元之后的方程二次项系数是否为零进行讨论；二要注意对判别式的讨论.（2）对于直线与双曲线的位置关系，有时可把直线与双曲线的渐近线比较，数形结合来判定.
直线 ，抛物线 ，当 为何值时， 与 有：
（1）一个公共点?
（2）两个公共点?
探究1 直线与椭圆的位置关系
如图所示，移动直线 ，观察直线 与椭圆的位置关系.
问题1：上图中直线 与椭圆有几种位置关系？
[答案] 有三种，相切、相交、相离.
问题2：可否像讨论直线与圆的位置关系那样，将直线与椭圆的方程联立组成方程组，通过方程组的解的个数来讨论直线与椭圆的关系？
[答案] 可以.
C
[解析] 由双曲线的几何性质可知，点 在双曲线右顶点的右侧，当直线 与渐近线平行时，直线 与双曲线 有唯一公共点，由于双曲线的渐近线为 ，故直线 的方程为 或 ，即 或 .
3.若直线 与双曲线 有两个公共点，则实数 的取值范围是_ ____________________.
问题3：过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
[答案] 由椭圆的对称性知，两交点关于原点对称.
问题4：直线 与椭圆 有怎样的位置关系？
[答案] 直线 恒过定点 ，点 在椭圆 的内部，因此直线与椭圆相交.
新知生成
直线 与椭圆 的位置关系 联立 消去 得一个关于 的一元二次方程.
或
[解析] 联立 消去 得 ，依题意有 ，即 ，解得 或 .
4.已知直线 与椭圆 有公共点，求 的取值范围.
[解析] 联立 整理得 .因为直线 与椭圆 有公共点，所以 ，解得 或 .
2
＞
1
＝
0
＜
新知运用
例2 已知双曲线 和定点 ，过点 可以作几条直线与双曲线只有一个公共点？
[解析] 当过点 的直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，与 联立消去 ，得 . ①当 ，即 时， 式变为一元一次方程,解得 或 .此时直线 与双曲线交于点 或点 ，即直线过点 且平行于渐近线的情形.②当 时，由 ，得 ，此时 ，交点为 .易知当过点 的直线斜率不存在时，直线方程为 ，交点为 ，满足题意.所以过点 有四条直线与双曲线只有一个公共点.
方法总结 判断直线与椭圆的位置关系的方法
1.若直线 与椭圆 相切，则 的值是( ).A. B. C. D.
C
[解析] 由 得 ，由题意知， ，解得 .
探究2 直线与圆锥曲线的位置关系
问题1：若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切.正确吗？
[答案] 正确.
3.如何判断直线与抛物线相交？
[答案] 联立直线与抛物线的方程，根据方程组的解判断.
1.直线 与椭圆 的位置关系为( ).A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
B
[解析] 直线 恒过定点 .又因为 ，所以点 在椭圆 的内部，所以直线 与椭圆相交.故选B.
2.（多选题）若直线 与双曲线 有两个交点，则 的值可以是( ).A. B. C. D.
（3）没有公共点?
[解析] 联立直线 与抛物线 的方程，得方程组 消去 得 ， 当 时，方程变为 ，则 ，此时 ，∴直线 与 只有一个公共点 ，此时直线 平行于 轴.当 时，方程 是一个关于 的一元二次方程， .①当 ，即 且 时， 与 有两个公共点，此时 与 相交；②当 ，即 时， 与 有一个公共点，此时直线 与 相切；③当 ，即 时， 与 没有公共点，此时直线 与 相离.综上所述，（1）当 或 时，直线 与 有一个公共点；（2）当 且 时，直线 与 有两个公共点；（3）当 时，直线 与 没有公共点.
问题2：若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？
[答案] 不一定.当直过点 能作几条直线和双曲线 仅有一个交点？
[答案] 3条.
新知生成
1.两曲线的交点已知两条曲线 、 的方程分别为 ， ，则点 是 ， 的交点 方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个不同的交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点.
直线与圆锥曲线的交点
直线与圆锥曲线的位置关系，可否像讨论直线与圆的位置关系那样，将直线与圆锥曲线的方程联立组成方程组，通过方程组的解的个数来讨论？
1.如何求直线与椭圆的交点？
[答案] 联立直线与椭圆的方程，解方程组，可求交点.
2.当直线与双曲线有一个交点时，直线与双曲线相切吗？
[答案] 不一定.
2.直线与圆锥曲线的位置关系设直线 的方程为 ，圆锥曲线 的方程为 ，则由 消去 ，可得 .
（1）当 时有：
位置关系
公共点个数
方程
相交
____
_____0
相切
____
_____0
相离
____
_____0
（2）当 ， 时，方程 只有一个解，即直线与圆锥曲线只有一个公共点，此时该直线与圆锥曲线不是相切，而是相交.