四川省成都经济技术开发区实验中学校2019届高三数学12月月考试题文2019012402209

成都经开区实验中学2016级高三上学期12月月考试题
数学（文科）
（考试用时：120分全卷满分：150分）
注意事项：
1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交；
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1. 已知集合，则的子集共有（）
A. 2个
B. 4个
C. 5个
D. 8个
2．已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么a3b=（）A．B．C．D．4
3. 已知，则的值等于（）
A. B. C. D.
4. 已知是两条不同直线，是平面，则下列命题是真命题的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）
A. 442
B. 642
C. 842
D. 1242
6. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据，根据下表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则下列结论错误的是（）
x 3 4 5 6
y 2.5 t 4 4.5
A. 线性回归直线一定过点
B. 产品的生产能耗与产量呈正相关
C.的取值是
D. 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加吨
7. 若不等式组所表示的平面区域内存在点，使成立，则实数的取值范围是（）．
A. [-1，+∞）
B. (-∞,-1]
C. (-∞,1]
D. [1, +∞)
8. 执行如图所示的算法，则输出的结果是
A. B. C. D.
9.已知函数，则的大致图象为（）
A. B.
C. D.
10.平面过正方体的顶点平面, 平面平面
，则所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
11.函数对任意的实数都有，若的图像关于对称，且
，则（）
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
12.若 是双曲线 的右焦点，过 作该双曲线一条渐近线的垂线于两条渐
近线交于 两点， 为坐标原点， 的面积为 ，则该双曲线的离心率 （ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共 90分）
二、填空题：本题共 4题，每小题 5分，共 20分。

13. 已知 a ,b
R ，则
4a b 4a
b
2
2
的取值范围为____________．
14. 已知圆C : x 2 y 2 2x 4y 1 0 上存在两点关于直线l : x my 1 0 对称，则实数
m _________.
15.春节期间，某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额 （单位：万元）与当天的平均气温 （单位：
）有关．现收集了春节期间这个销售公司 4天的 与 的数据列于下表：
平均气温（
）
销售额（万元）
20
23
27 30 根据以上数据，求得 与 之间的线性回归方程
的系数
，则
________．
16.已知函数 在 R 上单调递减，且关于 x 的方程
恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是___________.
三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第 13题~第 21题为必考题，每个试题考生都
必修作答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
（一）必答题：共60分.
17.（本题满分12分）在中，角，，的对边分别为，，，，.
（1）若，求的面积；
（2）若的面积为，求，.
18. （本题满分12分）对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了
人，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：
月收入（百元）
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 4 8 12 5 2 1
（1）)根据以上统计数据填写下面列联表,并回答是否有的把握认为月收入以百元
为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？
月收入低于55百元人数月收入不低于55百元人数总计
赞成
不赞成
总计
（2）若从月收入在的被调查对象中随机选取人进行调查,求至少有一人赞成“楼市限
购政策”的概率.
（参考公式：，其中）
参考值表：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19.（本题满分12分）如图：高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M为AB的三等分点．现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．
（1）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC?
（2）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．
20. （本题满分12分）已知抛物线：，，是抛物线上的两点，是坐标原点，且
.
（1）若，求的面积；
（2）设是线段上一点，若与的面积相等，求的轨迹方程.
21．（本题满分12分）已知函数f x x22x a ln x a0，x是函数f x的极值点．
（1）若a4，求函数f x的最小值；
（2）若f x不是单调函数，且无最小值，证明：
f x00．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的普通方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，为不等式的解集.
（1）求；
（2）证明：当时，.
成都经开区实验中学2016级高三上学期12月月考试题
数学（文科）参考答案
1.【答案】A
【解析】，则子集为，共2个。

故选A。

2.【答案】C
3.【答案】D
【解析】
因为,所以.
，故选A.
4.【答案】B
【解析】对于A, ，则或n⊂，假命题；
对于B, 若,根据线面垂直的性质,可得m∥n，真命题；
对于C, 若，则n与α位置关系不确定，假命题；
对于D, 若,则或n⊂，假命题，
故选B.
5.【答案】D
【解析】由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，
且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，
则圆锥的母线长为222222，
∴该几何体的表面积S=π×22+2π×2×2+π×2×22=(12+4 2)π，
故选：D.
6.【答案】C
试题分析：因,故A正确；又由线性回归的知识可知D，B是正确的,故应选C.
7.【答案】B
【解析】
【分析】
作出可行域，根据可行域满足的条件判断可行域边界x+ay+2=0的位置，列出不等式解出．【详解】作出不等式，可行域如图：
∵平面区域内存在点M（x0，y0），满足x0+ay0+2≤0，
∴直线x+ay+2=0与可行域有交点，
解方程组得B（0，2）．
∴点B在直线x+ay+2=0下方．
可得：0+2a+2≤0．解得a≤﹣1．
故答案为：B
8.【答案】A
【解析】
首先根据题中所给的框图，其功能是在求若干个对数值的和，当其为有理数时输出S的值，认真分析，求得结果.
【详解】根据题意，，
利用对数运算法则，求得，
所以当时，满足，
故选A.
9.【答案】A
【解析】
【分析】
由函数奇偶性定义判断函数的奇偶性，再给函数求导判断单调性，最后代入特殊点判断.
【详解】因为，所以函数为奇函数，排除B选项，
求导：，所以函数单调递增，故排除C选项，
令，则，故排除D.
故选A.
10.【答案】A
【解析】
【分析】
平面, 平面平面，可知：是正三角形．即可得出．
【详解】如图：平面, 平面平面
，可知：∵是正三角形．所成角就是
则所成角的正切值为．
故选：A．
11.【答案】B
【解析】
分析：先根据对称得为偶函数，再根据，解得=0，利用周期性质可得，即得结果.
详解：因为的图像关于对称，所以的图像关于对称，即为偶函数，
因为，所以,所以=0，，
因此，,
选B.
12.【答案】C
【解析】
【分析】：分析图形，已知，表示出，再用的关系式表示出线段，最后利用面积公式建立的方程式，再求解离心率。

【详解】：
如图所示：设，，所以，所
以的面积为，解得，所以该双曲线
的离心率。

故选C
13.【答案】(1,5]
【解析】
4a b
4a b
22
可看作点P(2,1)到直线2ax by 0的距离d，由于直线斜率小于
零，
因此d的最大值为OP 5，且d大于点P(2,1)到x轴距离1，因此所求取值范围为(1,5].
14.【答案】1
【解析】因为圆C:x2y22x 4y 10的圆心为1,2，且圆上存在两点关于直线
l x my
对称，所以直线过G1,2，即12m 10，m
1，故答案为1. :10
15.【答案】
【解析】
【分析】
根据表中的数据，得到的值，代入回归直线的方程，即可求解.
【详解】由题意可得：，
∴．
16.【答案】
【解析】
试题分析：由函数在R上单调递减得，又方程恰
有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是.
17.【答案】(1) ；(2) ，.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合余弦定理角化边可得.结合勾股定理可得，.则.
（2）由题意结合三角形面积公式可得.结合三角函数的平方关系得到关于a的方程，解方程可得，从而.
【详解】（1）∵，
∴.
又∵，∴.
∴，∴，.
∴.
（2）∵，
则.∵，，
∴，化简得，∴，从而.
18.【答案】（1）有的把握认为月收入以百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异.
（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据提供数据，可填写表格，利用公式，可计算的值，根据临界值表，即可得到结论；
（2）由题意设此组五人A,B,a,b,c表示不赞同者，分别写出从中选取两人的所有情形及其中至少一人赞同的情形，利用概率的公式进行求解即可得结果.
【详解】（1）由题意得列联表：
月收入低于55百元人数月收入不低于55百元人数总计
赞成32
不赞成18
总计40 10 50
根据列联表中的数据得的观测值
，
所以有的把握认为月收入以百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异.
（2）设月收入在的人为，，，，，其中，表示赞成者，，，表示不赞成者.
从人中选取人的情况有：，，，，，，，，，，共种，
其中至少有一人赞成的有，，，，，，，共种，
故所求概率为.
19.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】【试题分析】（1）依据题设运用线面平行的判定定理分析推证；（2）借助题设条件运
用三棱锥的体积公式建立方程分析探求：
（Ⅰ）证明：当时，有平面．理由如下：
连接交于，连接．
梯形中，，，
∵中，，∴．
∵平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）∵平面平面，平面平面，
平面中，，∴平面．
∴．
中，，，，
∴，
∴点到平面的距离．
20.【答案】(1)16(2)
【解析】分析：边相等，根据抛物线的对称性解决；与的面积相等，所以为的中点，利用消参法求出轨迹方程
详解：设，，
（1）因为，
又由抛物线的对称性可知，关于轴对称，
所以，，
因为，所以，故，
则，又，
解得或（舍），
所以，于是的面积为.
（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入，得，，
且，，
因为，所以，
故，则，
所以或（舍），
因为与的面积相等，所以为的中点，则点的横坐标为，纵坐标为，
故点的轨迹方程为.
21.【答案】（1）f x的最小值为f24ln2；（2）见解析．
【解析】（1）解：f x x22x4ln x，其定义域是x|x0．
42x22x42x1x2
22
．f x x
x x x
令f x0，得x2，·······2分
所以，f x在区间0，2单调递减，在2，上单调递增．
a 2x 2x
a
2
对 f x
求导数，得
f x
2x 2
x
x
，
显然，方程 f
x
x x a （ x 0 ），
0 2
2 0
2
因为 f x 不是单调函数，且无最小值，则方程
2x 2
2x a 0 必有 2 个不相等的正
根，所
4 8a 0
以
a
2
，解得
1
a ，·······7分
2
设方程 2x 2 2x a
0 的 2 个不相等的正根是
x ， 1 x ，其中 2
x
x ，
1
2
所以
f x
，
2x
2x a
x x x x
2
2
1
2
x
x
列表分析如下：
x
0，x
1
x
x ，x
1
1
2
x x ，
2
2
f x
f x ，由0x
x，且
故只需证明
10
12x1x21，
得
1
x
，
1
2
因为
1
a ，
2
1
，所以f x x x
a x ，
x
1
1112ln10
2
从而f x
．·······12分
00
22.【答案】（1）（2）1
【解析】
分析：（1）利用消去即可.
17
（2）先求出的极坐标方程为，在直线和的极坐标方程中分别令得到两点的极径，它们的差的绝对值就是线段的长.
详解：（1）∵圆的参数方程为（为参数)
∴圆的普通方程为
（2）化圆的普通方程为极坐标方程得
设，则由得
设，则由得
∴.
23.【答案】(1) (2)见解析
【解析】分析：（1）对取绝对值，然后解不等式；（2）算出ab的范围，进行分类讨论详解：（1）解：当时，成立；
当时，，∴；
当时，，不成立.
综上，.
（2）证明：根据题意，得，
∴或，
要证成立，
即证成立，
即证成立，
，
当时，，；
当时，，，故，所以式成立.。