Menelaus定理与Ceva定理的角元形式

附录2
Menelaus 定理与Ceva 定理的角元形式
我们知道, 在平面几何中, 著名的Menelaus 定理与Ceva 定理是分别处理三线共点和三点共线问题的两个相当得力的工具. 这两个定理的具体内容是(见6.3):
Menelaus 定理 设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB (所在直线)上的三点, 则
D 、
E 、
F 三点共线的充分必要条件是
1BD CE AF DC EA FB
⋅⋅=- Ceva 定理 设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB (所在直线)上的三点, 则三直线AD 、BE 、CF 共点或互相平行的充分必要条件是
1BD CE AF DC EA FB
⋅⋅= Menelaus 定理和Ceva 定理作为平面几何中证明点共线和三线共点的工具, 虽然非常得力, 但在处理过程中往往需要较高或较多的技巧. 有时我们用Menelaus 定理证明三点共线时, 可能需用Menelaus 定理的必要性三次、五次甚至更多次. 利用Ceva 定理证明三线共点时也是一样. 相反, 与之相关的一些角的正弦之间的关系则非常容易确定. 另外, Ceva 定理还有一个致命的弱点, 一个难以逾越的障碍, 这就是必须要求过三角形的三个顶点的三条直线都与其对边相交. 如果过三角形的某个顶点的直线与对边平行, 则Ceva 定理即告失效, 似乎鞭长莫及, 必需另辟蹊径.
这里我们将介绍Meneluas 定理与Ceva 定理的角元形式, 它们将使得有时用Menelaus 定理证明三点共线或用Ceva 定理证明三线共点的坎坷之途变成一条便捷的通道, 同时挽救使Ceva 定理失效的情形, 使之过三角形的某个顶点的直线与对边相交或平行的不同情形统一起来.
1．角元形式
为给出Meneluas 定理与Ceva 定理的两种角元形式, 我们先证明两个引理.
引理1(分角线定理) 设P 为△ABC 的边BC 所在直线上的任意一点, 则
sin sin BP AB BAP CA PAC
PC =⋅ (1−1) 证明 如图1−1~1−3所示, 注意(1−1)式两边或同为正值或同为负值, 因此, 我们只需对无向线段与无向角的情形证明(1−1)式即可.
由正弦定理, 有
sin sin BP BAP AB APB ∠=∠, sin sin CA CPA PC PAC
∠=∠ 两式相乘, 并注意sin sin APB CPA ∠=∠即知(1−1)式成立
.
B
B P
P C
引理2 设0＜θ＜180°, α、β∈(−π, π), 则
图1-1 图1-2 图1-3
sin()sin sin()sin θαβθβα-=-
当且仅当α = β, 或α + β = π.
证明 由三角函数的差角公式, 并注意sin θ≠0, α、β∈(−π, π), 有
sin()sin sin()sin θαβθβα-=-⇔
(sin cos cos sin )sin (sin cos cos sin )sin θαθαβθβθβα-=-⇔
sin cos sin sin cos sin θαβθβα=⇔
sin sin()0θαβ-=⇔ sin(α − β) =0 ⇔ α = β, 或α + β = π
定理1 设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB (所在直线)上的三点, 则D 、E 、F 三点共线的充分必要条件是
sin sin sin 1BAD CBE ACF ⋅⋅=- (1−2) 证明 如图1−4, 1−5所示, 由引理1, 我们有
sin sin BD AB BAD CA DAC
DC =⋅ , sin sin CE BC CBE AB EBA =⋅ , sin sin AF CA ACF BC FCB =⋅ 三式相乘, 得
sin sin sin sin sin sin BD CE AF BAD CBE ACF DAC EBA FCB
DC EA FB ⋅⋅=⋅⋅ 于是, 由Menelaus 定理即知, D 、E 、F 三点共线⇔
1BD CE AF DC EA FB
⋅⋅=-⇔sin sin sin 1sin sin sin BAD CBE ACF DAC EBA FCB ⋅⋅=- A
B
C D F
E A
F E B C D
我们将定理1称为Menelaus 定理的第一角元形式. 显然, 它与Menelaus 定理是等价的. 定理2 设D 、E 、F 是△ABC 所在平面上的三点, 则AD 、BE 、CF 三线共点或互相平行的充分必要条件是
sin sin sin 1sin sin sin BAD CBE ACF DAC EBA FCB
⋅⋅= (1−3) 证明 设直线AD 与BE 交于一点P , 如图1−6, 1−7所示, 则由正弦定理, 有
sin sin sin sin sin sin BAP CBP ACP PAC PBA PCB
⋅⋅ = sin sin sin 1BAP CBP ACP PB PC PA ⋅⋅=⋅⋅= 但
sin sin sin sin BAP BAD PBA DBA = , sin sin sin sin CBP CBE PCB ECB
= 所以
sin sin sin 1sin sin sin BAD CBE ACP DAC EBA PCB
⋅⋅= (1−4) 当AD ∥BE 时, 如图1−8, 1−9所示, 过点C 作CP ∥AD , 则
BAD = − EBA , DAC = − ACP , CBE = PCB
此时(1−4)式显然成立.
图1-4 图1-5
于是, 直线AD 、BE 、CF 三线共点或互相平行⇔P 、C 、F 三点共线⇔ ACP 与 ACF 相等或互补. 而 PCB = ACB − ACP , FCB = ACB − ACF . 从而由引理2及(1−4)式 即得, ACP 与 ACF 相等或互补⇔sin sin sin sin ACP ACF PCB FCB
= ⇔ (1−3)成立. 故直线AD 、BE 、CF 三线共点或互相平行⇔(1−3)成立.
B
C
B P
E
E
我们将定理2称为Ceva 定理的第一角元形式. 当直线AD 、BE 、CF 分别与△ABC 的边BC 、CA 、AB 所在直线相交时, 可设D 、E 、F 分别在直线BC 、CA 、AB 上. 此时由引理1容易证明Ceva 定理的第一角元形式与Ceva 定理也是等价的.
在Ceva 定理的第一角元形式中, 我们没有涉及到直线AD 、BE 、CF 中是否有与△ABC 的边平行的情形, 因而在使用时不必担心这种情形是否会出现.
定理3 设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB (所在直线)上的三点, O 是不在△ABC 的三边所在直线上的一点, 则D 、E 、F 三点共线的充分必要条件是
sin sin sin 1BOD COE AOF ⋅⋅=- (1−5) A
B
D O F
E
O A F E C D
B
证明 如图1−10, 1−11所示, 由引理1, 我们有
sin sin BD OB BOD OC DOC
DC =⋅ , sin sin CE OC COE OA EOA EA =⋅ , sin sin AF OA AOF OB FOB FB =⋅ 所以
图1-10 图1-11 图1-8 图1-9 图1-6 图1-7
sin sin sin sin sin sin BD CE AF BOD COE AOF DOC EOA FOB
DC EA FB ⋅⋅=⋅⋅ 于是, 由Menelaus 定理即知, D 、E 、F 共线⇔1BD CE AF DC EA FB
⋅⋅=-⇔(1−5)式成立. 我们将定理3称为Menelaus 定理的第二角元形式, 它显然与Menelaus 定理也是等价的. 同样, 由引理1可得与Ceva 定理等价的Ceva 定理的第二角元形式:
定理4 设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB (所在直线)上的三点, O 是不在△ABC 的三边所在直线上的一点, 则AD 、BE 、CF 三线共点或平行的充分必要条件是
sin sin sin 1sin sin sin BOD COE AOF DOC EOA FOB
⋅⋅= (1−6) 在Menelaus 定理与Ceva 定理的基础上, 再加上Menelaus 定理与Ceva 定理的角元形式, 我们处理三点共线与三线共点问题就会方便多了. 因为在这些三点共线与三线共点问题中, 有的计算线段比较方便(这当然适于用Menelaus 定理与Ceva 定理), 有的计算角度比较容易, 这时, Menelaus 定理与Ceva 定理的角元形式就派上用场了.。