高考数学二轮复习 限时训练13 等差、等比数列及数列求

【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练13 等差、等比数
列及数列求和 文
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1(2015·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．6
解析：选B.根据等差数列的性质求解．
∵{a n }为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2，即a 6＝2×2－4＝0.
2．(2015·高考浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0
D ．a 1d <0，dS 4>0 解析：选B.利用a 3，a 4，a 8成等比数列建立等式，整体确定a 1d 的正负；写出dS 4的表达式，分析其符号．
∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 2
4＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2
＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2
，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋
n n －1
2
d ，
∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2
＝－23
d 2<0.
3．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 2
7＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1 B ．2 C ．4
D ．8
解析：选D.(1)∵a 4－2a 2
7＋3a 8＝0，∴2a 2
7＝a 4＋3a 8， ∴2a 2
7＝a 5＋a 7＋2a 8＝a 5＋a 7＋a 7＋a 9，即2a 2
7＝4a 7，
∴a 7＝2，∴b 7＝2，又∵b 2b 8b 11＝b 6b 8b 7＝b 2
7b 7＝(b 7)3
＝8，故选D.
4．在等差数列{a n }中a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值等于( ) A ．3 B ．6 C ．9
D ．36
解析：选C.∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，得a 5＋a 6＝305＝6，又a n >0，∴a 5·a 6≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5＋a 622＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622
＝9.
5．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *
)在经过点(8,4)的定直线l 上，则数列{a n }的前15项和S 15＝( )
A ．12
B ．32
C ．60
D ．120
解析：选C.∵点(n ，a n )在定直线上，∴数列{a n }是等差数列，且a 8＝4，∴S 15＝a 1＋a 15×15
2
＝2a 8×152
＝15a 8＝60.
6．已知数列{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *
，则S 10的值为( ) A ．－110 B ．－90 C ．90
D ．110
解析：选D.a 7是a 3与a 9的等比中项， 公差为－2， 所以a 2
7＝a 3·a 9.
所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)， 所以a 7＝8，所以a 1＝20，
所以S 10＝10×20＋10×9
2
×(－2)＝110.故选D.
7．(2015·高考福建卷)若a ，b 是函数f (x )＝x 2
－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且
a ，
b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值
等于( ) A ．6 B ．7 C ．8
D ．9
解析：选D.先判定a ，b 的符号，再列方程组求解．
不妨设a >b ，由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝p >0，
ab ＝q >0，∴a >0，b >0，
则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
ab ＝－22
，
a －2＝2
b ，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝4
b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.
8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 100＝－1，S 100＝5 B ．a 100＝－3，S 100＝5 C ．a 100＝－3，S 100＝2
D ．a 100＝－1，S 100＝2
解析：选A.依题意a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，即a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故数列{a n }是以6为周期的数列a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0.注意到100＝6×16＋4，因此有a 100＝a 4＝－a 1＝－1，S 100＝16(a 1＋a 2＋…＋a 6)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝a 2＋a 3
＝a 2＋(a 2－a 1)＝2×3－1＝5，故选A.
9．(2016·太原市高三模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n
(2n －1)·cos n π
2
＋1(n
∈N *
)，其前n 项和为S n ，则S 60＝( ) A ．－30 B ．－60 C ．90
D ．120
解析：选D.由题意可得，当n ＝4k －3(k ∈N *
)时，a n ＝a 4k －3＝1；当n ＝4k －2(k ∈N *
)时，a n ＝a 4k －2＝6－8k ；当n ＝4k －1(k ∈N *
)时，a n ＝a 4k －1＝1；当n ＝4k (k ∈N *
)时，a n ＝a 4k ＝8k .∴
a 4k －3＋a 4k －2＋a 4k －1＋a 4k ＝8，∴S 60＝8×15＝120.
10．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2·a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
解析：选B.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a n －1＝a 1a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，
a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q
＝62，解
得q ＝2.又a n ＝a 1q
n －1
，所以2×2
n －1
＝2n
＝32，解得n ＝5.同理，当a 1＝32，a n ＝2时，由S n
＝62，解得q ＝12.由a n ＝a 1q n －1
＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124，即n －1＝4，n ＝5.综
上，项数n 等于5，故选B.
11．已知一个数列{a n }的各项是1或2，首项为1，且在第k 个1和第(k ＋1)个1之间有(2k －1)个2，即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，则前2 012项中1的个数为( ) A ．44 B ．45 C ．46
D ．47
解析：选B.依题意得，第k 个1和它后面(2k －1)个2的个数之和为2k ，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列，该数列的前n 项和等于
n 2＋2n
2
＝n (n ＋1)．注意到2 012＝44×45＋32，因此在题中的数列中，前2 012项中
共有45个1，选B.
12．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2.若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x 2，
记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( ) A ．0 B ．－9 C ．9
D ．1
解析：选C.由数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *
可知该数列是等差数列，根据题意可知只要该数列中a 5＝π
2
，数列{y n }的前9项和就能计算得到一个定值，又因为f (x )＝sin 2x
＋1＋cos x ，则可令数列{a n }的公差为0，则数列{y n }的前9项和为S 9＝(sin 2a 1＋sin 2a 2
＋…＋sin 2a 9)＋(cos a 1＋cos a 2＋…＋cos a 9)＋9＝9sin 2a 5＋9cos a 5＋9＝9sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π2＋
9cos π
2
＋9＝9.
13．数列{a n }是首项a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则a 2 015＝__________. 解析：设公比为q ，则a 5＝a 1q 4
，a 3＝a 1q 2
. 又4a 1，a 5，－2a 3成等差数列， ∴2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4
＝4a 1－2a 1q 2
， ∴得q 4
＋q 2
－2＝0，
解得q 2
＝1或q 2
＝－2(舍去)， ∴q ＝±1， ∴a 2 015＝4·(±1)2 015－1
＝4.
答案：4
14．若数列{a n }满足1
a n ＋1
＝2a n ＋1
a n
且a 1＝3，则a n ＝________.
解析：由
1a n ＋1
＝
2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n
＝2，
∴数列{1a n }是首项为1
3，公差为2的等差数列．
∴1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －5
3， ∴a n ＝
3
6n －5. 答案：
36n －5
15．(2015·高考广东卷)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 解析：根据等差数列的性质求解．
因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，所以5a 5＝25，即a 5＝5.所以a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案：10
16．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n
.若对任意的n ∈N *
，都有b n ≥b 8
成立，则实数a 的取值范围为__________．
解析：a n ＝a ＋(n －1)×1＝n ＋a －1，所以b n ＝1＋a n a n ＝n ＋a n ＋a －1
，因为对任意的n ∈N *，都有
b n ≥b 8成立，即n ＋a n ＋a －1≥8＋a 8＋a －1
(n ∈N *
)恒成立，
即n －8a ＋7n ＋a －1≤0(n ∈N *
)，则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋7<0，1－a <9，
解得－8<a <－7. 答案：(－8，－7)。