圆周运动的临界与突变问题

圆周运动的临界与突变问题同步练习
（答题时间： 30 分钟）
1. 质量为 m 的小球由轻绳 a 和 b 系于一轻质木架上的A点和 C 点，如图所示。

当轻杆绕
轴 BC 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳 a 在竖直方向、绳 b 在水平方向。

当小球运动在图示位置时，绳 b 被烧断的同时杆也停止转动，则（）
A.小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B.在绳被烧断瞬间， a 绳中张力突然增大
C.若角速度ω较小，小球在垂直于平面 ABC 的竖直平面内摆动
D. 若角速度ω较大，小球可以在垂直于平面ABC 的竖直平面内做圆周运动
2.如图所示，用细绳一端系着的质量为 M＝0.6 kg的物体 A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质量为 m＝0.3 kg的小球 B，A 的重心到 O 点的距离为
0.2 m.，若A与转盘间的最大静摩擦力为F f＝ 2 N ，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围。

（取g＝10 m/s2）
3.如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，
物块恰好滑离转台开始做平抛运动，现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m.，设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
取重力加速度g＝10 m/s2。

求：
（ 1）物块做平抛运动的初速度大小v0；
（ 2）物块与转台间的动摩擦因数μ。

4.如图所示，质量为 m 的木块，用一轻绳拴着，置于很大的水平转盘上，细绳穿过转盘
中央的细管，与质量也为 m 的小球相连，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的μ倍（μ
＝0.2），当转盘以角速度ω＝ 4 rad/s 匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半
径的范围是多少？（g 取10 m/s2）
5. 物体做圆周运动时所需的向心力 F 需由物体运动情况决定，合力提供的向心力 F 供由物体受力情况决定，若某时刻 F 需＝F 供，则物体能做圆周运动；若 F 需> F 供，物体将做离心运动；若 F 需< F 供，物体将做近心运动，现有一根长L＝1 m的刚性轻绳，其一端固定于O 点，另一端系着质量m＝0.5 kg的小球（可视为质点），将小球提至O 点正上方的 A 点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示。

不计空气阻力，g 取10 m/s2，则：
（ 1）为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在 A 点至少应施加给小球多大的水
平速度？
（2）在小球以速度v1＝ 4 m/s 水平抛出的瞬间，绳中的张力为多少？
（3）在小球以速度v2＝ 1 m/s 水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，
试求绳子再次伸直时所经历的时间。

6. 如图所示，一根长0.1 m 的细线，一端系着一个质量为0.18 kg 的小球，拉住线的另一
端，使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，使小球的转速很缓慢地增加，当小球的转速增加到开始时转速的 3 倍时，细线断开，线断开前的瞬间线受到的拉力比开始时大40 N，求：
.
（ 1）线断开前的瞬间，线受到的拉力大小；
（ 2）线断开的瞬间，小球运动的线速度大小；
（ 3）如果小球离开桌面时，速度方向与桌边缘的夹角为60 °，桌面高出地面0.8 m，求小球飞出后的落地点距桌边缘的水平距离。

7. 如图所示，质量为m 的小球 P 与穿过光滑平板中央小孔O 的轻绳相连，用力拉着使P 做半径为 a 的匀速圆周运动，角速度为ω。

求：
（ 1）拉力 F 多大？
（ 2）若使绳突然从原状态迅速放开后再拉紧，使P 做半径为 b 的匀速圆周运动。

则放
开过程的时间是多少？
（ 3） P 做半径为 b 的匀速圆周运动时角速度多大？拉力多大？
8.如图所示，在光滑的水平面上钉两个钉子A 和 B，相距20 cm.用一根长 1 m的细绳，一
端系一个质量为0.5 kg 的小球，另一端固定在钉子 A 上.开始时球与钉子A、B 在一直线上，然后使小球以 2 m/s 的速率开始在水平面内做匀速圆周运动。

若绳子能承受的最大拉力为 4 N ，那么从开始到绳断所经历的时间应该如何计算?
圆周运动的临界与突变问题同步练习参考答案
1. BCD 解析：绳 b 被烧断后，小球在垂直于平面 ABC 的竖直平面内摆动或做圆周运动。

绳 b 被烧断前， a 绳中张力等于重力，在绳 b 被烧断瞬间， a 绳中张力与重力的合力提供小
球的向心力，而向心力竖直向上，绳 b 的张力将大于重力。

若角速度
ω 较小，小球原来的
速度较小，小球在垂直于平面 ABC 的竖直平面内摆动，若角速度 ω较大，小球原来的速度
较大，小球可能在垂直于平面 ABC 的竖直平面内做圆周运动。

小球原来在水平面内做匀速圆周运动，绳
b 被烧断后，小球在垂直于平面 ABC 的竖直
平面内摆动或做圆周运动，故 A 错误；绳 b 被烧断前，小球在竖直方向没有位移，加速度
为零， a 绳中张力等于重力，在绳
b 被烧断瞬间， a 绳中张力与重力的合力提供小球的向心
力，而向心力竖直向上，绳
b 的张力将大于重力，即张力突然增大，故
B 正确；若角速度 ω
较小，小球原来的速度较小，小球在垂直于平面 ABC 的竖直平面内摆动，故
C 正确；若角
速度 ω较大， 小球原来的速度较大， 小球可能在垂直于平面 ABC 的竖直平面内做圆周运动，故
D 正确。

2. 解：要使 B 静止， A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度， A 需要的向
心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供，角速度取最大值时，
A 有离心趋势，静摩擦力指向 圆心 O ；角速度取最小值时， A 有向心趋势， 静摩擦力背离圆心
O ，设角速度 ω的最大值为
ω1，最小值为 ω2
对于 B ： F T ＝ mg 对于 A ： F T ＋F f ＝Mr ω12 或 F T －F f ＝ Mr ω22
代入数据解得 ω1＝ 6.5 rad/s ， ω2＝ 2.9 rad/s 所以 2.9 rad/s
ω≤ 6.5 rad/s 。

3. 解析：（ 1）物块做平抛运动，在竖直方向上有
H ＝ 1
gt 2
① 2
s ＝ v 0t
在水平方向上有 ②
由①②式解得 v 0＝ s
g ③
2H
代入数据得 v 0＝ 1 m/s ；
（ 2）物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
f m ＝ m
v 0
2
④
gR
f m ＝
＝
⑤
μN μ mg
2
由④⑤式得 μ＝
v 0
gR
代入数据得 μ＝ 0.2。

4. 解：由于转盘以角速度 ω＝ 4 rad/s 匀速转动，当木块恰不做近心运动时有 mg － mg ＝ mr 1 2
μ
ω
解得 r 1＝ 0.5 m
2
当木块恰不做离心运动时有 mg ＋ μ mg ＝ mr 2ω
解得 r 2＝ 0.75 m
因此，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是： r ≤0.50.m75 m ≤. 。

5. 解：（ 1）小球做圆周运动的临界条件为重力刚好提供顶点时物体做圆周运动的向心力，
2 即 mg ＝ m
v 0
，解得 v 0＝
gL ＝ 10 m/s ；
L
v 21
（ 2）因为 v 1> v 0，故绳中有张力，根据牛顿第二定律有
T ＋ mg ＝ m L ，代入数据得绳中
张力 T ＝3 N ；
（ 3）因为 v 2< v 0，故绳中无张力，小球将做平抛运动，其运动轨迹如图中实线所示，有
L 2＝（ y － L ） 2＋ x 2
， x ＝ v 2t ， y ＝ 1
gt 2，代入数据联立解得 t ＝ 0.6 s 。

2
ω，向心力为 F ，
6. 解：（ 1）线的拉力提供小球做圆周运动的向心力，设开始时角速度为
线断开的瞬间，角速度为 ω，线的拉力为 F T ，
2
F 0＝ m ω0R
2
F T ＝ m ωR
由①②得
F T
2
9 ，
2 ＝ F 0
1
又因为 F T ＝ F 0＋ 40 N ， 由③④得 F T ＝45 N ；
（ 2）设线断开时小球的线速度大小为
v ，
①
②
③
④
由 F T ＝ mv 2
得， v ＝ F T R
45 0.1 m/s ＝ 5 m/s ；
R
m 0.18
（ 3）设桌面高度为 h ，小球落地经历时间为 t ，落地点与飞出桌面点的距离为
x ，
由 h ＝ 1
gt 2 得 t ＝
2h ＝0.4 s x ＝ vt ＝ 2 m
2
g
则小球飞出后的落地点到桌边缘的水平距离为
l ＝ x sin60 °＝1.73 m.。

7. 解：（ 1）小球受重力 G 、支持力 N 、绳子拉力，平板中央小孔 O 光滑，故绳子对小球的拉力等于向心力；故拉力 F 向 =m 2 a
.
由几何关系，位移xb2 a2，速度v a a ，故放开的时间为 t b2 a2 。

a （ 3）小球沿圆弧切线方向飞出后，到达
b 轨道时，绳子突然张紧，将速度沿切线方向
和半径方向正交分解，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕 b 轨道匀速圆周运动，如图
由几何关系得到，v b v a sin a
v a， b v b av a ，b b b2
由向心力公式可得 F m b2b ma2v a2，
b3
ma2v a2 故 P 做半径为 b 的匀速圆周运动时，角速度为av a ，绳子的拉力为。

b2 b3
8.解：在本题中，球每转半圈，绳子就碰到不作为圆心的另一颗钉子，然后再以这颗钉
子为圆心做匀速圆周运动，运动的半径就减少0.2 m，但速度大小不变（因为绳对球的拉力
mv2
只改变球的速度方向）。

根据 F知，绳每一次碰钉子后，绳的拉力（向心力）都要增
r
.
大，当绳的拉力增大到F max＝4 N时，球做匀速圆周运动的半径为r min，则有F max mv2
，r min
解得 r min mv2 0.5 22
F
max 4
0.5m；
绳第二次碰钉子后半径减为0.6 m，第三次碰钉子后半径减为0.4 m。

所以绳子在第三次碰到钉子后被拉断，在这之前球运动的时间为
t＝ t1＋ t 2＋ t3
l (l 0.2)(l 0.4)
v v ＝ 3.768s
v。