八年级数学上册12.1幂的运算3积的乘方导学案新版华东师大版
八年级数学上册121幂的运算3积的乘方导学案华东师大版
§12.1幂的运算3.积的乘方学习目标：1、理解、掌握和运用积的乘方的法则；2、通过探索，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得的；3、通过类比，对三个幂的运算法则在应用时进行选择和区别 重点：积的乘方法则的理解和应用 难点：积的乘方法则的推导过程的理解 预习1、口述同底数幂的乘法运算法则；2、口述幂的乘方运算法则；3、根据要求完成下列各小题 （1）若x 3·x a=x 5，则a= ； （2）（ ）·x 5=x 8； （3）若53=x ，43=y，则yx +3＝（ ）；A 、20B 、9C 、54D 、45（4）若a x =2，b x =3，则7x =( )； A 、2a+b B 、a 2b C 、ab 2D 、2ab 感受新知 一、探索（1）(ab)2= (ab) • (ab) = aa • bb = a( )b ( )根据上面的推理过程，请把下面两道题做出来 （2）（ab ）3＝__________________________ ＝__________________________ ＝ a( )b( )二、发现 积的乘方 试猜想： （ab ）n= ?其中 n 是正整数 ※证明：（ab ）n＝ ＝ ＝ a n b n∴（ab ）n＝ a n b n（n 为正整数） 语言叙述积的乘方法则：推广：1.三个或三个以上的积的乘方等于什么？2.逆运用可进行化简：a n b n= (ab)n（n 为正整数）观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?三、实例 例 计算 （1）（2b ）3； （2）（2×a 3）2； （3）（－a ）3； （4）（－3x ）4解： 练习 1.计算：(1) (ab)8(2) (2m)3(3) (-xy)5(4) (5ab 2)3(5) (2×102)2(6) (-3×103)32.判断下列计算是否正确，并说明理由：(1)（ab 2)3=ab 6( ) (2) (3xy)3=9x 3y 3( ) (3) (-2a 2)2=-4a 4( ) (4) -(-ab 2)2=a 2b 4( )1-)73377337-)5(555=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛（（ ）※3.逆 用 法 则 进 行 计 算我们知道 （ab ）n＝ a n b n那么 a n b n＝（ab ）n例： 24×44×0.1254解：24×44×0.1254＝(2×4×0.125)4＝ 1（1） (－4)2005×(0.25)2005（2）－82000×(－0.125)2001四、巩固 直接写出结果①(5ab)2=②(－xy 2)3=③(－2xy 3)4 = ④(－2×10) 3= ⑤(－3x 3)2－[(2x)2]3= ⑥(－3a 3b 2c)4= ⑦(－a n b n+1)3= ⑧0.52009×22009=⑨ (－0.25)3×26 =⑩ (－0.125) 8×230=1、积的乘方使用范围：底数是积的乘方2、在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数，也可以是整式3、要注意运算过程和符号 自我检测1、下列各式中，与x5m+1相等的是（ ）A 、（x 5)m +1B 、（x m +1)5C 、 x · (x 5)mD 、 x · x 5· x m2、x 14不可以写成（ ）A 、x 5· (x 3)3B 、 (－x ) · (－x 2) · (－x 3) · (－x 8) C 、(x 7)7D 、x 3· x 4· x 5· x 23、若 ，则m= ；4、若n 是正整数，且m=-1，则122)(+-n n m 的值是 ；5、（1）a 6y 3=( )3；(2)81x 4y 10=( )2； (3)若(a 3y m )2=a n y 8, 则m= ,n= 6、计算(1)（-2x 2y 3)3(2) (-3a 3b 2c)47、先化简，再求值：)()()(6)5(22232a b ab ab -⋅-⋅+-，其中a=1,b=-1；1022x x x m m =⋅-+12331)()()3(+--⋅n n a a xy xy xy ⋅-23)2()()4(2222)2()2()5(n mn mn ⋅--()2020)211()32(6⋅20082008)75(521()7(⋅-10013000)125.0(2)8(-⨯-（9）2(x 3)2 · x 3－(3x 3)3＋(5x)2 ·x 78、如果（a n•b m•b)3=a9b15,求m, n的值9、试比较47，164，85的大小10、试比较3555,4444,5333的大小.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是()A．48 B．60C．76 D．80【答案】C【解析】试题解析：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB=22226810AE BE+=+=∴S阴影部分=S正方形ABCD-S Rt△ABE=102-168 2⨯⨯=100-24=76.故选C.考点：勾股定理.2．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN 交AB 于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（）A．90°B．95°C．105°D．110°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD，根据等边对等角得到∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题.【详解】∵CD=AC，∠A=50°∴∠CDA=∠A=50°∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°∴∠DCA=80°根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC∴BD=CD∴∠B=∠BCD∵∠B+∠BCD=∠CDA∴2∠BCD=50°∴∠BCD=25°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键.3．用图象法解方程组2424x yx y-=⎧⎨+=⎩时，下图中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将方程组的两个方程，化为y=kx+b的形式；然后再根据两个一次函数的解析式，判断符合条件的函数图象．【详解】解方程组2424x yx y-=⎧⎨+=⎩的两个方程可以转化为：y=122x-和y=24x-+,只有C符合这两个函数的图象．故选：C．【点睛】一般地，每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，也就是两条直线．从“数”的角度看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值．从“形”的角度看，解方程组就是相当于确定两条直线的交点坐标．4．下列各分式中，最简分式是( ) A ．()()1215x y x y -+B ．22y x x y -+C ．2222x y x y xy ++D ．222()x y x y -+【答案】C【分析】根据最简分式的概念，可把各分式因式分解后，看分子分母有没有公因式.【详解】()()1215x y x y -+=()()45x y x y -+，不是最简分式；22y x x y -+=y-x ，不是最简分式；2222x y x y xy ++是最简分式；222()x y x y -+=2()()()x y x y x y +-+=x y x y -+，不是最简分式. 故选C. 【点睛】此题主要考查了最简分式的概念，看分式的分子分母有没有能约分的公因式是解题关键. 5．一个三角形的两边长分别为3 cm 和7 cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3 cm B ．4 cmC ．7 cmD ．11 cm【答案】C【解析】试题解析：设第三边长为xcm ，根据三角形的三边关系可得： 7-3＜x ＜7+3， 解得：4＜x ＜10， 故答案为C ．考点：三角形三边关系．6．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A 、图形既不是轴对称图形是中心对称图形， B 、图形是轴对称图形，C 、图形是轴对称图形，也是中心对称轴图形，D 、图形是轴对称图形. 故选C ． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7．如图点,,A B C 在同一条直线上，,CBE ADC ∆∆都是等边三角形，,AE BD 相交于点O ，且分别与,CD CE 交于点,M N ，连接,M N ，有如下结论：①DCB ACE ∆≅∆；②AM DN =；③CMN ∆为等边三角形；④60︒∠=EOB ．其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】由SAS 即可证明DCB ACE ∆≅∆，则①正确；有∠CAE=∠CDB ，然后证明△ACM ≌△DCN ，则②正确；由CM=CN ，∠MCN=60°，即可得到CMN ∆为等边三角形，则③正确；由AD ∥CE ，则∠DAO=∠NEO=∠CBN ，由外角的性质60EOB OAC CBN ∠=∠+∠=︒，即可得到答案． 【详解】解：∵△DAC 和△EBC 均是等边三角形， ∴AC=CD ，BC=CE ，∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ， 即∠ACE=∠BCD ， 在△ACE 和△DCB 中，AC CD ACE BCD BC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DCB （SAS ），则①正确； ∴AE=BD ，∠CAE=∠CDB ， 在ACM 和△DCN 中，ACD DCE AC CDCAE CDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ）， ∴CM=CN ，AM DN =；则②正确； ∵∠MCN=60°，∴CMN ∆为等边三角形；则③正确； ∵∠DAC=∠ECB=60°， ∴AD ∥CE ，∴∠DAO=∠NEO=∠CBN ，∴60EOB OAC CBN OAC DAO ∠=∠+∠=∠+∠=︒；则④正确； ∴正确的结论由4个； 故选：D ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，综合性较强，但难度不是很大，准确识图找出全等三角形是解题的关键．8．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y=a(2b －a)，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ y B ．x ≥ y C ．x < y D ．x > y【答案】D【分析】判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系． 【详解】解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20，2()0a b -≥，20a ≥，200>,0x y ∴->，x y ∴>，故选:D ． 【点睛】本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大.9．如图，△ABE ≌△ACF ，若AB=5，AE=2，则EC 的长度是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据△ABE ≌△ACF ，可得三角形对应边相等，由EC=AC-AE 即可求得答案． 【详解】解：∵△ABE ≌△ACF ，AB ＝5，AE ＝2， ∴AB ＝AC ＝5， ∴EC=AC-AE=5-2=3， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 10．下列各组图形中，成轴对称的两个图形是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念求解． 解：A 、不是轴对称图形，故错误； B 、不是轴对称图形，故错误； C 、不是轴对称图形，故错误； D 、是轴对称图形，故正确． 故选D ．考点：轴对称图形． 二、填空题1140x +=，则x =______．【分析】根据“0的算术平方根是0”进行计算即可． 【详解】∵40x +=，∴40x +=，∴x=－1．故答案为：－1．【点睛】本题考查算术平方根，属于基础题型，要求会根据算术平方根求原数．12．如图，△ABC 中，AB=AC=13cm ，AB 的垂直平分线交AB 于D,交AC 于E,若△EBC 的周长为21cm,则BC= cm ．【答案】1．【详解】解：∵AB 的垂直平分线交AB 于D ，∴AE=BE又△EBC 的周长为21cm ，即BE+CE+BC=21∴AE+CE+BC=21又AE+CE=AC=13cm所以BC=21-13=1cm ．故答案为：1．考点：线段垂直平分线的性质．13．如图，在ABC ∆中，150,20,30A AB AC ∠===则，ABC ∆的面积为__________．【分析】过点B作BD⊥AC，根据∠A=150°，可得∠BAD=30°，再由AB=20cm，可得BD的长，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】如图，过点B作BD⊥AC，∵∠BAC=150°，∴∠BAD=30°，∴BD= 12 AB，∵AB=20，∴BD=10，∵S△ABC= 12AC•BD=12×30×10=150，故答案为150 .【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，在直角三角形中，如果有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．14．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OA于点D，CE垂直平分OP，若∠AOB=30°，OE=4，则PD=______．【答案】1【解析】过点P作PF⊥OB于点F，由角平分线的性质知：PD=PF，所以在直角△PEF中求得PF的长度即可．【详解】解：如图，过点P作PF⊥OB于点F，∵点P 是∠AOB 的角平分线上一点，PD ⊥OA 于点D ，∴PD=PF ，∠AOP=∠BOP=12∠AOB=15°． ∵CE 垂直平分OP ，∴OE=OP ．∴∠POE=∠EPO=15°．∴∠PEF=1∠POE=30°．∴PF=12PE=12OE=1． 则PD=PF=1．故答案是：1．【点睛】考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，由已知能够注意到PD=PF 是解决的关键．15．x y +的平方根是±3，2x y +的立方根是22x y -+_______． 【答案】3【分析】先根据平方根和立方根的概念，求出x y +和2x y +的值，联立方程组即可求出x 、y 的值，代入即可求解本题．【详解】解：∵x y +的平方根是±3， ∴x y +=9，①∵2x y +的立方根是2，∴2x y +=8，②②-①得：x=-1，将x=-1代入①式得：y=10， ()()221101223-+=-⨯-+==x y故答案为：23．【点睛】本题考查的是平方根和立方根的概念，解决本题需要掌握平方根和立方根的概念，同时要掌握二元一次方程组的求解．16．如果4,8,m n a b ==那么232m n +=_______________________．(用含,a b 的式子表示)【答案】ab【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】解：（1）∵4,8,m n a b ==∴232,2m n a b ==，∴232m n +=23m n a a a b ⋅=⋅；故答案为ab.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运算，正确掌握运算法则是解题的关键．17．某体育馆的入场票上标有几区几排几号，将1排2区3号记作（1、2、3），那么（3、2、6）表示的位置是______．【答案】3排2区6号【分析】根据题目提供的例子，直接写出答案即可．【详解】解：∵1排2区3号记作（1，2，3），∴（3，2，6）表示的位置是3排2区6号，故答案为：3排2区6号．【点睛】本题考查了坐标表示位置的知识，解题的关键是能够了解题目提供的例子，难度不大．三、解答题18．已知：如图，等腰三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，等腰三角形DCE 中，90DCE ∠=︒，点D 在AB 上，连接AE .求证：EA AB ⊥.【答案】证明见解析【分析】根据等腰三角形的性质证明BCD ACE ∆∆≌即可求解.【详解】由题意：BC AC =，DC EC =，45B BAC ∠=∠=︒，又ACB DCE ∠=∠，∴BCD ACE ∠=∠，∴BCD ACE ∆∆≌，45CAE B ∠=∠=︒，∴90BAE ∠=︒，即EA AB ⊥.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质. 19．计算与化简：2019|2|(1)--；②()()()42234457632x x x x x x x +⋅+⋅+⋅；③已知2270x x --=，求2(2)(3)(3)x x x -++-的值． ④222211*********n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（利用因式分解计算） 【答案】（1）0；（2）125x ；（3）9；（4）12n n+． 【分析】（1）根据二次根式的性质，绝对值的性质，正整数指数幂和开立方运算进行计算即可； （2）按照幂的乘方，同底数幂的乘方和合并同类项计算即可；（3）先对原代数式进行化简，然后通过对已知变形得出22414x x -=，然后整体代入即可求出答案； （4）按照平方差公式22()()a b a b a b -=+-展开，然后发现中间项可以约分，最后只剩首尾两项，再进行计算即可．【详解】（1）原式2231=+-- 0=．（2）原式124812662x x x x x x =+⋅++⋅121212122x x x x =+++125x =．（3）227x x -=，22414x x -=∴2(2)(3)(3)x x x -++-∴22449x x x =-++-2245x x =--145=-9=．（4）原式1111111111112233n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111112233n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1324112233n n n n-+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 12n n+= 【点睛】 本题主要考查实数的混合运算，整式的乘法和加法混合运算，代数式求值和因式分解，掌握实数的混合运算法则，整式的乘法和加法混合运算顺序和法则，整体代入法和因式分解是解题的关键．20．先化简代数式22213(1)42a a a a -+÷--+，再从2,2,1,1,--四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】（1）12a a --；（2）23【分析】根据分式的混合运算的法则把原式进行化简，再由化简后的式子选择使原式子有意义的数代入计算即可．【详解】原式2(1)23(2)(2)2a a a a a -+-=÷+-+ 2(1)1(2)(2)2a a a a a --=÷+-+ 2(1)2(2)(2)1a a a a a -+=⨯+-- 12a a -=- ， 由题意知，2,1a ≠±，所以取1a =-代入可得原式1112--=--23=， 故答案为：（1）12a a --；（2）23． 【点睛】考查了分式的化简，利用平方差公式，因式分解的方法化成简单的形式，然后代入数值求解，注意代入数时，要使所取数使得原分式有意义的才行．21．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．【答案】（1）①EAB DAC ∠=∠； ② 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析．【分析】（1）①根据EAD BAC ∠=∠，两角有公共角BAD ∠，可证EAB DAC ∠=∠；②连接EB ，证明△EAB ≌△DAC ，可得,ABE ACD EB CD ∠=∠=,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC ，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CDEF 为平行四边形．（2）根据60BAC ∠=︒，可证明△AED 和△ABC 为等边三角形，再根据ED ∥FC 结合等边三角形的性质，得出∠AFC=∠BDA ，求证△ABD ≌△CAF ，得出ED=CF ，进而求证四边形EDCF 是平行四边形．【详解】解：（1）①EAB DAC ∠=∠，理由如下：∵EAD BAC ∠=∠，EAD EAB BAD ∠=∠+∠，BAC BAD DAC ∠=∠+∠,∴EAB BAD BAD DAC ∠+∠=∠+∠，∴EAB DAC ∠=∠；②证明：如下图，连接EB,在△EAB 和△DAC 中∵AE ADEAB DAC AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAB ≌△DAC （SAS ）∴,ABE ACD EB CD ∠=∠=,∵AB AC =，∴ABC ACD ∠=∠,∴ABE ABC ∠=∠，∵//EF DC ，∴EFB ABC ∠=∠,∴ABE EFB ∠=∠,∴EB EF =,∴DC EF =∴四边形CDEF 为平行四边形；（2）成立；理由如下：理由如下：∵60BAC ∠=︒，∴=60EAD BAC ∠=∠︒，∵AE=AD ，AB=AC ，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED,∵ED ∥FC ，∴∠EDB=∠FCB ，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF ，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB ， ∴∠AFC=∠BDA ，在△ABD 和△CAF 中，60BDA AFC B BAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAF （AAS ），∴AD=FC ，∵AD=ED ，∴ED=CF ，又∵ED ∥CF ，∴四边形EDCF 是平行四边形．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定定理，平行线的性质．在做本题时可先以平行四边形的判定定理进行分析，在后两问中已知一组对边平行，所以只需证明这一组对边相等即可，一般证明线段相等就是证明相应的三角形全等．本题中是间接证明全等，在证明线段相等的过程中还应用到等腰三角形的判定定理（第（1）小题的第②问）和等边三角形的性质（第（2）小题），难度较大．22．如图,P 为正方形ABCD 的边BC 的延长线上一动点，以DP 为一边做正方形DPEM ，以E 为一顶点作正方形EFGH ,且FG 在BC 的延长线上（提示：正方形四条边相等，且四个内角为90︒）（1）若正方形ABCD 、DPEM 的面积分别为a ，b ，则正方形EFGH的面积为 （直接写结果）. （2）过点P 做BC 的垂线交PDC ∠的平分线于点Q ,连接QE ,试探求在点P 运动过程中，DQE ∠的大小是否发生变化，并说明理由.【答案】（1）b a -；（2）DQE ∠的大小不会发生变化，理由见解析.【分析】（1）先通过全等，得到EF=CP ，通过勾股定理求222CP DP CD =-=b a -，则正方形EFGH 的面积=2EF =2CP =b a -（2）先通过证明PD PQ =，再通过正方形的性质得到PQ PE =，再通过证明得到1()2DQE DQP PQE CDP PEF ∠=∠+∠=∠+∠=45°，所以DQE ∠的大小不会发生变化． 【详解】（1） ∵四边形ABCD 、四边形EFGH 、四边形DPEM 是正方形∴DP=PE,∠DPE=90°，∠BCD=90°，∠EFG=90°∴∠PCD=∠EFP=90°，∠DPC+∠PDC=90°， ∠EPF+∠DPC=90°，∴∠PDC= ∠EPF∴△CDP ≌△FEP∴EF=CP∵在Rt △CDP 中，222CP DP CD =-，正方形ABCD 的面积=2CD =a ，正方形DPEM 的面积=2DP =b ∴正方形EFGH 的面积=2EF =222CP DP CD =-=b a -（2）DQE ∠的大小不会发生变化，理由如下，,,DC BC DQ BC EF BC ⊥⊥⊥//,//DC QP QP EF ∴CDQ PQD ∴∠=∠ DQ 平分CDP ∠CDQ QDP PQD ∴∠=∠=∠PD PQ ∴=在正方形DPEM 中，DP PE =PQ PE ∴=PQE PEQ ∴∠=∠//PQ EFPQE FEQ ∴∠=∠12PQE PEF ∴∠=∠1()2DQE DQP PQE CDP PEF ∠=∠+∠=∠+∠90,90CDP CPD CPD EPF ∠+∠=︒∠+∠=︒CDP EPF ∴∠=∠ 90CDP PEF ∴∠+∠=︒1()2DQE CDP PEF ∠=∠+∠190452DQE ∴∠=⨯︒=︒∴DQE ∠的大小不会发生变化．【点睛】本题考查的正方形与全等的综合性题目，灵活运用正方形的特征是解答此题的关键． 23．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，ABC ∆的三个顶点都在格点上. （1）作出ABC ∆关于y 轴对称的A B C '''∆，并写出点C '的坐标： . （2）求出A B C '''∆的面积.【答案】（1）见解析 （2）5【分析】（1）直接利用关于y 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用△A′B′C′所在矩形面积减去周围三角形的面积进而得出答案． 【详解】解：（1）如图所示，A B C '''∆为所作三角形， 点C '的坐标：（-1，2）；（2）11134132413222A B C S '''∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=5. 【点睛】本题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．24．已知：如图，OM 是∠AOB 的平分线，C 是OM 上一点，且CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，AD=EB ．求证：AC=CB ．【答案】详见解析.【分析】先由角平分线的性质得出CD=CE ，再由SAS 证明△ADC ≌△BEC ，得出对应边相等即可． 【详解】证明：∵OM 是∠AOB 的平分线，C 是OM 上一点， 且CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ， ∴CD=CE ，∠ADC=∠BEC=90°， 在△ACD 和△BCE 中，AD EBADC BEC DC CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ADC ≌△BEC （SAS ）， ∴AC=CB ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．25．问题探究：小明根据学习函数的经验，对函数3y x =-+的图象与性质进行了探究． 下面是小明的探究过程，请你解决相关问题：()1在函数3y x =-+中，自变量x 可以是任意实数； ()2如表y 与x 的几组对应值：x ⋯ 4- 3-2-1-0 1 2 3 4⋯ y⋯1-12321a1-⋯a =①______；②若(),7A b -，()10,7B -为该函数图象上不同的两点，则b =______；()3如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：①该函数有______(填“最大值”或“最小值”)；并写出这个值为______； ②求出函数图象与坐标轴在第二象限内所围成的图形的面积； ③观察函数3y x =-+的图象，写出该图象的两条性质．【答案】 (2)①0；10-②；(3)①最大值，3；②92；③函数图象为轴对称图形，对称轴为y 轴；当x 0<时，y 随x 的增大而增大，当x 0>时，y 随x 增大而减小. 【解析】()2①将x 3=代入函数解析式即可求得a ；②当y 7=-时，根据函数解析式可求得b ；()3根据题意画出函数图象，根据图象特征即可求得题目所求．【详解】解：()2①当x 3=时，求得a 0=；②由题意，当y 7=-时，得x 37-+=-，解得：x 10=或10-，所以b 10=-．()3函数图象如下图所示：①由图知，该函数有最大值3；②由图知，函数图象与x 轴负半轴的交点为()3,0-，与y 轴正半轴的交点为()0,3，因此函数图象在第二象限内所围成的图形的面积为：193322⨯⨯=， ③由图象知可知函数y x 3=-+有如下性质：函数图象为轴对称图形，对称轴为y 轴；当x 0<时，y 随x 的增大而增大，当x 0>时，y 随x 增大而减小．故答案为(2)①0；10-②；（3）①最大值，3；②92；③函数图象为轴对称图形，对称轴为y 轴；当x 0<时，y 随x 的增大而增大，当x 0>时，y 随x 增大而减小. 【点睛】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出函数图象，并研究和总结函数的性质；另外本题还考查了对绝对值的理解．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在一个三角形的纸片(ABC ∆)中， 90C ∠=︒，将这个纸片沿直线DE 剪去一个角后变成一个四边形ABED ，则图中12∠+∠的度数为( )A ．180°B ．90C ．270°D ．315°【答案】C【分析】根据直角三角形与邻补角的性质即可求解. 【详解】∵90C ∠=︒ ∴90EDC DEC ∠+∠=︒∴12∠+∠=180180EDC DEC ︒-∠+︒-∠=()360EDC DEC ︒-∠+∠=36090270︒-︒=︒ 故选C. 【点睛】此题主要考查三角形的求解求解，解题的关键是熟知直角三角形与邻补角的性质.2．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC ②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④【答案】D【分析】易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确； 【详解】∵ BD 为∠ABC 的角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD ，∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ， ∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确； ∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ， ∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ， ∵△ABD ≌△EBC ， ∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°， 故②正确；∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ， ∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ， ∴∠DCE=∠DAE ， ∴△ACE 是等腰三角形， ∴AE=EC ， ∵△ABD ≌△EBC ， ∴AD=EC ， ∴AD=AE=EC ， 故③正确；作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示： ∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ， 在△BEG 和△BEF 中BE BEEF EG=⎧⎨=⎩∴ △BEG ≌△BEF ， ∴BG=BF ，在△CEG 和△AFE 中EF EGAE CE =⎧⎨=⎩∴△CEG ≌△AFE ， ∴ AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ， 故④正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；3．如图，已知∠1=∠2，则下列条件中不一定能使△ABC≌△ABD的是( )A．AC=AD B．BC=BD C．∠C=∠D D．∠3=∠4【答案】B【解析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．【详解】A、∵∠1=∠2，AB为公共边，若AC=AD，则△ABC≌△ABD（SAS），故本选项错误；B、∵∠1=∠2，AB为公共边，若BC=BD，则不一定能使△ABC≌△ABD，故本选项正确；C、∵∠1=∠2，AB为公共边，若∠C=∠D，则△ABC≌△ABD（AAS），故本选项错误；D、∵∠1=∠2，AB为公共边，若∠3=∠4，则△ABC≌△ABD（ASA），故本选项错误；故选B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．一正多边形的内角和与外角和的和是1440°，则该正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【答案】C【分析】依题意，多边形的内角与外角和为1440°，多边形的外角和为360°，根据内角和公式求出多边形的边数．【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，（n﹣2）•110°+360°＝1440°，n﹣2＝6，n＝1．故这个多边形的边数为1．故选：C．【点睛】考查了多边形的外角和定理和内角和定理，熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键．5．某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是()A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱 B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A 方式多C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱【答案】D【分析】A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；C、利用待定系数法求出：当x≥25时，y A与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x=35时y A的值，将其与50比较后即可得出结论C正确；D、利用待定系数法求出：当x≥50时，y B与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x=70时y B的值，将其与120比较后即可得出结论D错误．综上即可得出结论．【详解】A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；C、设当x≥25时，y A=kx+b，将（25，30）、（55，120）代入y A=kx+b，得：253055120k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，解得：345k b ⎧⎨-⎩＝＝， ∴y A =3x-45（x≥25），当x=35时，y A =3x-45=60＞50，∴每月上网时间为35h 时，选择B 方式最省钱，结论C 正确； D 、设当x≥50时，y B =mx+n ，将（50，50）、（55，65）代入y B =mx+n ，得：50505565m n m n +⎧⎨+⎩＝＝ ， 解得：3100m n ＝＝⎧⎨-⎩，∴y B =3x-100（x≥50），当x=70时，y B =3x-100=110＜120， ∴结论D 错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 6．下列图案是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】轴对称图形是图形两部分沿对称轴折叠后可重合．A,B,C 图都不满足条件，只有D 沿某条直线（对称轴）折叠后，图形两部分能重合， 故选D ．7．如图，已知OA ＝OB ，OC ＝OD ，AD 和BC 相交于点E ，则图中共有全等三角形的对数（ ）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【分析】由条件可证△AOD≌△BOC，可得∠A=∠B，则可证明△ACE≌△BDE，可得AE=BE，则可证明△AOE≌△BOE，可得∠COE=∠DOE，可证△COE≌△DOE，可求得答案．【详解】解：在△AOD和△BOC中OA OBAOD BOCOD OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠A=∠B，∵OC=OD，OA=OB，∴AC=BD，在△ACE和△BDE中A BAEC BEDAC BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△BDE（AAS），∴AE=BE，在△AOE和△BOE中OA OBA B AE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOE≌△BOE（SAS），∴∠COE=∠DOE ，在△COE 和△DOE 中OC OD COE DOE OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△COE ≌△DOE （SAS ），故全等的三角形有4对，故选C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．8．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )A ．24814(2)1x x x x +-=+-B ．2(3)(3)9x x x +-=-C ．221(1)x x x -+=-D ．256(1)(6)x x x x --=+-【答案】D【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解，逐一判断即可．【详解】A 选项化成的不是乘积的形式，故本选项不符合题意；B 选项是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；C ． 221(1)x x x -+≠-，故本选项不符合题意；D ． 256(1)(6)x x x x --=+-，是因式分解，故本选项符合题意．故选D ．【点睛】此题考查的是因式分解的判断，掌握因式分解的定义是解决此题的关键．9．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在同一条直线上，如图，可以得到△EDC ≌△ABC ，所以ED ＝AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．HL【答案】B【分析】根据题中信息，得出角或边的关系，选择正确的证明三角形全等的判定定理，即可．【详解】由题意知：AB ⊥BF ，DE ⊥BF ，CD=BC ，∴∠ABC=∠EDC在△EDC 和△ABC 中(ABC EDCBC CD ACB ECD 对顶角）∴△EDC ≌△ABC （ASA ）．故选B ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．10．一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是（ ）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形【答案】A【分析】根据题意，计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数＝边数可得答案．【详解】解：∵多边形的每个内角都是108°，∴每个外角是180°﹣108°＝72°，∴这个多边形的边数是360°÷72°＝5，∴这个多边形是五边形，故选：A ．【点睛】本题考查了多边形外角和是360°这一知识点，根据题意求出，每个外角的度数是解决本题的关键。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.1幂的运算12.1.3积的乘方教案新版华东师大版
12．1.3 积的乘方1．理解积的乘方法则．2．运用积的乘方法则计算．重点理解并掌握积的乘方法则．难点积的乘方法则的灵活运用．一、回顾与思考1．口述同底数幂的运算法则．2．口述幂的乘方运算法则．3．计算：(1)(x4)3；(2)a·a2；(3)x4· x3.二、探究新知做一做(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(aa)·(bb)＝a( )b( )．(2)(ab)3＝________＝________＝a( )b( )．(3)(ab)4＝________＝________＝a( )b( )．提出问题：(1)同学们通过上述这几题的计算,观察一下,你能得到什么规律？(2)如果设n为正整数,将上述的指数改成n,即(ab)n,其结果是什么呢？教师活动：提出问题,引导,启发．学生活动：计算、观察、讨论、回答．教学方法与媒体：投影显示问题,学生自主探索,讨论交流．点评：积的乘方是幂的第三个运算法则,也是整式乘法的基础,在处理上仍然先通过数字的指数为例让学生计算,而后引导学生自主探索,讨论交流,归纳出一般指数情形的性质,即概括出：有(ab)n＝a n b n(n为正整数)．尽可能地让学生主动建模,获得新知,通过动脑、动口、动手提高自我总结能力．教学时引导学生关注每一步的依据．三、练习巩固1．计算：(1)(2b)3；(2)(2a3)2；(3)(－a)3；(4)(－3x)4.2．计算：(－3a3)2·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3.3．已知(a－2)2＋2b＋1＝0,求a2018·b2017的值．四、小结与作业小结1．积的乘方(ab)n＝a n b n(n为正整数),使用范围：底数是积的乘方．方法：把积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘．2．在运用幂的运算法则时,注意知识拓展,底数和指数可以是数也可以是整式,对三个以上因式的积也适用．3．要注意运算过程,注意每一步的依据,还应防止符号上的错误．4．在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别与联系．作业教材第24页习题12.1第4题．本节课是采用探究与自主学习相结合的模式完成的,探究的目的是让学生会推导积的乘方法则．通过小组合作学习增强学习的主动性,突出学生的主体地位．并注意在其中的及时引导,发挥教师的主导作用．教学中的简便运算应让学生体会转化思想的核心作用．。
八年级数学上册 12.1 幂的运算 3《积的乘方》教案 (新版)华东师大版
12.1 幂的运算积的乘方教学目标：理解掌握和运用积的乘方法则，会进行积的乘方运算，进而会进行混合运算。
重点：积的乘方是整式乘除运算的基础，本节课的重点是积的乘方运算。
难点：弄清幂的运算的根据，避免各种不同运算法则的混淆。
突出幂的运算法则的基础性，注意区别与联系。
教学过程一、回顾与思考1、口述同底数幂的乘法运算法则。
2、口述幂的乘方运算法则。
3、计算：（1） ()34x (2) a 2a ∙ (3) 34x x ∙二、计算观察，探索规律做一做：（1）（ab ）2=(ab)·(ab)=(aa)·(bb) = a( )b ( ) (2) (ab)3= = =a( )b ( ) (3) (ab)4= = =a( )b ( )提出问题： （1）同学们通过上述这几道题的计算 、观察一下，你能得到什么规律？（2）如果设n 为正整数，将上述的指数改成n 即：()nab ,其结果是什么呢？（ab ）n ＝ 个）（n ab (ab)(ab)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝ • ＝即 （ab ）n ＝ （n 为正整数）这就是说：积的乘方，等于把积的每一个因式 ，再把 相乘。
三、例题：例3 计算：（1）（2b ）3；（2）（2×a 3）2； （3）（－a ）3； （4）（－3x ）4解 ： （1）（2b ）3＝23b 3＝8b 3；（2）（2×a 3）2＝ ＝4a 6（3）（－a ）3＝ ＝（4）（－3x ）4＝ ＝四、随堂练习：1、P21页 练习1、2题。
2、计算：（1）（3ab ）3; （2）（－5x 2y 4）3; （3）[(x+y)·(x+y)2]3;（4）－[－(－a 2)3]2; （5）(－31a 2x 4)2－(2ax 2)4; （6）－a 3·a 4·a+(a 2)4+(－2a 4)2;3、探索计算：（1） 23×6×53 （2）（－127）2002·（－712）20044、已知a m =2,b n =3,求a 2m +b 3n 的值。
最新华东师大版八年级数学上册《幂的运算》全课时教学设计~评奖教案
第12章整式的乘除12.1 幂的运算1.同底数幂的乘法【教学目标】知识与技能1.巩固同底数幂的乘法法则,学生能灵活地运用法则进行计算.2.了解同底数幂乘法运算性质,并能解决一些实际问题.3.能根据同底数幂的乘法性质进行运算.过程与方法1.经历探索同底数幂的乘法运算的过程,进一步体会幂的意义,提高学生推理能力和有条理的表达能力.2.在了解同底数幂的乘法运算意义的基础上,“发现”同底数幂的乘法性质,培养学生观察、概括和抽象的能力.3.能用字母式子和文字语言表达这一性质,知道它适用于三个和三个以上的同底数幂相乘.情感、态度与价值观在推导“性质”的过程中,培养学生观察、概括与抽象的能力.【重点难点】重点熟悉同底数幂的乘法性质、幂的意义和乘法运算律等内容.难点区别幂的意义与乘法的意义,培养学生的推理能力和有条理的表达能力.【教学过程】一、创设情境,导入新课【情景导入】“盘古开天辟地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混浊的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.【教师提问】盘古的左眼变成了太阳,那么,太阳离我们多远呢?你可以计算一下,太阳到地球的距离是多少?光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远呢?【学生活动】开始动笔计算,大部分学生可以列出算式:3×105×5×102=15×105×102=15×?(引入课题)二、师生互动,探究新知同底数幂的乘法法则.【教师提问】到底105×102=?同学们根据幂的意义自己推导一下,现在分四人小组讨论.【学生活动】分四人小组讨论、交流,举手发言,上台演示.计算过程:105×102=(10×10×10×10×10)×(10×10)=10×10×10×10×10×10×10=107.【教师活动】下面引例.请同学们计算并探索规律.(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2( );(2)53×54= =5( );(3)(-3)7×(-3)6= =(-3)( );(4)()3×()= ()( );(5)a3·a4= a( ).提出问题:①这几道题目有什么共同特点?②请同学们看一看自己的计算结果,想一想,这些结果有什么规律?【学生活动】独立完成,并在黑板上演算.【教师总结】a m·a n=·==a m+n从而得出同底数幂的乘法法则a m·a n=a m+n(m、n为正整数)即同底数幂相乘,底数不变指数相加.【教学说明】通过以上5个计算,让学生根据乘方的意义从特殊到一般探索同底数幂的乘法法则,水到渠成.三、随堂练习,巩固新知1.基础练习(1)下面的计算是否正确?如果错,请在旁边纠正:①a3·a4=a12②m·m4=m4③a3+a3=a6④x5+x5=2x10⑤3c4·2c2=5c6⑥x2·x n=x2n⑦2m·2n=2m·n⑧b4·b4·b4=3b4(2)计算:①78×73;②()5×()7;③x3·x5·x2;④a12·a;⑤y4·y3·y2·y;⑥x5·x5.2.能力提高(1)计算:①(x+y)3·(x+y)4;②(a-b)(b-a)3;③x n·x n+1+x2n·x(n是正整数)(2)填空:①x5·( )=x8;②a·( )=a6;③x·x3( )=x7;④x m·( )=x3m;⑤x5·x( )=x3·x7=x( )·x6=x·x( );⑥a n+1·a( )=a2n+1=a·a( ).(3)填空:①8=2x,则x= ;②8×4=2x,则x= ;③3×27×9=3x,则x= ;④已知a m=2,a n=3,求a m+n的值;⑤b2·b m-2+b·b m-1-b3·b m-5b2.四、典例精析,拓展新知【例】如果x m-n·x2n+1=x11,且y m-1·y4-n=y5,求m,n的值.【分析】根据同底数幂的乘法法则得:(m-n)+(2n+1)=11,(m-1)+(4-n)=5,用方程组解决.【答案】m=6,n=4【教学说明】教师提问:由两个等式我们想到了什么知识?如何建立m与n之间的等量关系?教师深入强化数学中的转化思想.五、运用新知,深化理解1.a·a2·a3= .2.(x-y)3·(x-y)2·(y-x)= .3.(-x)4·x7·(-x)3=4.已知3a+b·3a-b=9.则a= .【答案】1.a6;2.-(x-y)6;3.-x14;4.1.【教学说明】注意同底数幂乘法可以推广到多个因式相乘,遇到形如(-a)6·a9转化为a6·a9.六、师生互动,课堂小结这节课你学习到什么?有什么收获?有何疑问与困惑与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.1.同底数幂的乘法,使用范围是两个幂的底数相同,且是相乘关系,使用方法:在乘积中,幂的底数不变,指数相加.2.同底数幂乘法可以拓展,例如,对含有三个或三个以上的同底数幂,仍成立.底数和指数,它既可取一个或几个具体数,也可取单项式或多项式.3.幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆.【教学反思】本节课从故事引入为学生在探究同底数幂乘法法则激发动机,探究同底数幂乘法法则时,注意用乘方的意义让学生自己发现归纳.始终遵循从特殊到一般的认知规律.在同底数幂乘法法则的运用中,不断渗透转化与方程的数学思想.2.幂的乘方【教学目标】知识与技能1.了解幂的乘方的运算性质,会进行幂的乘方运算.2.能利用幂的乘方的性质解决一些实际问题.过程与方法经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,提高学生推理能力和有条理的表达能力.情感、态度与价值观通过合作探究,培养学生合作交流的意识,提高学生勇于探究数学的品质.【重点难点】重点了解幂的乘方的运算性质,会进行幂的乘方,积的乘方运算.难点幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质区别,提高推理能力和有条理的表达能力,关键是利用教材内容安排的特点,把幂的乘方的学习与同底数幂的乘法紧密结合起来.【教学过程】一、创设情景,导入新课大家知道太阳,木星和月亮的体积的大致比例吗?我可以告诉你,木星的半径是地球半径的103倍,太阳的半径是地球半径的103倍,假如地球的半径为r,那么,请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少?(球的体积公式为V=πr3)【学生活动】进行计算,并在黑板上演算.解: 设地球的半径为1,则木星的半径就是102,因此,木星的体积为V木星=π(102)3二、师生互动,探究新知【教师引导】(102)3=?利用幂的意义来推导.【学生活动】有些同学这时无从下手.【教师启发】请同学们思考一下a3代表什么?(102)3呢?【学生回答】a3=a×a×a,指3个a相乘.(102)3=102×102×102,就变成了同底数幂乘法运算,根据同底数幂乘法运算法则,底数不变,指数相加,102×102×102=102+2+2=106,因此(102)3=106.【教师活动】利用上面推导方法求(1)(a3)2;(2)(24)3;(3)(b n)2【学生活动】推导上面几个算式并板演.【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目,推导一下(a m)n的结果是多少?【学生活动】归纳总结并进行小组讨论,最后得出结论:教师板演(a m)n==a m×n(m、n为正整数)【教学说明】通过问题的提出,再依据“问题推进”所导出的规律,利用乘方的意义和幂的乘法法则,让学生自己主动建构,获取新知:幂的乘方,底数不变,指数相乘.三、随堂练习,巩固新知(1)(y3)2+(-y2)3-2y(-y5);(2)(a2n-2)2·(a m+1)3.【答案】(1)(y3)2+(-y2)3-2y(-y5)=y6-y6+2y6=2y6.(2)(a2n-2)2·(a m+1)3=a4n-4·a3m+3=a3m+4n-1.【例2】已知:x2n=4,求(x3n)2与x8n的值.【解析】此题将(x3n)2与x8n都用x2n表示出来.【答案】(x3n)2=x6n=(x2n)3=43=64,x8n=(x2n)4=44=256.四、典例精析,拓展新知【例】已知x2m=5,求x6m=-5的值,逆用幂的乘方法则x6m=x2m×3=(x2m)3.【答案】x6m-5=×125-5=20【教学说明】教师提问x6m与x2m在指数上有何关系,你想到了如何变形,化未知为已知(逆用幂的乘方法则).五、运用新知,深化理解1.108=( )2=( )42.p2n+2=( )23.(-x3)5=4.x2·x4+[(-x)2]3=5.已知x m·x2m=3,则x9m= .【答案】1.1041022.p n+13.-x154.2x65.27【教学说明】从跟踪练习中捕捉学生知识上、思维上的不足并及时跟进.六、师生互动,课堂小结这节课你学到了什么?有什么收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.1.幂的乘方(a m)n=a mn(m、n为正整数)使用范围是:幂的乘方,方法:底数不变,指数相乘.2.知识拓展:这里的底数、指数可以是数,也可以是字母,也可以是单项式和多项式.3.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于,一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.【教学反思】本节课在乘方的意义与同底数幂的法则的前提下推导幂的乘方法则,在教学过程中注意引导学生运用转化思想来解决新问题.在拓展新知时,注意联想与逆向思维能力的培养.3.积的乘方【教学目标】知识与技能会进行积的乘方运算,进而会进行混合运算.过程与方法经历探索积的乘方运算法则的过程,理解积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得来的.理解积的乘方的运算法则,进一步体会幂的意义,提高学生推理能力和有条理的表达能力.情感、态度与价值观在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时,进一步体会学习数学的兴趣,提高学习数学的信心,感受数学的简洁美.【重点难点】重点积的乘方是整式乘除运算的基础,本节课的重点是积的乘方运算.难点弄清幂的运算的根据,避免各种不同运算法则的混淆,突出幂的运算法则的基础性,注意区别与联系.【教学过程】一、回顾交流,引入新课【教师活动】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则;幂的乘方运算法则的内容以及区别.【学生活动】踊跃举手发言,解说老师的提问.【课堂演练】计算:(1)(x4)3(2)a·a5(3)x7·x9(x2)3【学生活动】完成上面的演练题,并从中领会这两个幂的运算法则.【教师活动】巡视,关注学生的练习,并请3位学生上台演示,然后再提出下面的问题.二、师生互动,探究新知【教师活动】请同学们完成教材P20填空,并注意每步变形的依据.【学生活动】完成书本填空并回答教师问题.【教师活动】你发现了什么规律?如何解释这个规律?【学生活动】分组讨论,解释.【师生互动】教师在学生发言的基础上板书.(ab)n===a n b n.(ab)n=a n b n(n为正整数)即积的乘方,把积中每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.三、随堂练习,巩固新知1.下列等式中,错误的是( )A.(ab2)2=a2b4B.(-m2n2)5=-m15n10C.(-2x2)4=-4x4D.(4x m y3)3=64x3m y92.(-3x)3= ,(x2y3)4= ,[(-2)×102]3= ,[(x3)2·(y2)4]2= .【答案】1.C2.-27x3,x8y12,-8×106,x12y16.~四、典例精析,拓展新知【例1】(1)[(-x2y)3·(-x2y)2]3(2)a3·a4·a+(a2)4+(-2a4)2【分析】(1)按积的乘方法则先算括号里面的;(2)第一项是同底数的乘法,第二项是幂的乘方,第三项是积的乘方.【答案】(1)-x30y15;(2)6a8.【例2】用简便方法计算:(1)(-)2014·(2)2015【分析】先将指数化为相同的再逆用积的乘方法则.【答案】【教学说明】例1由小组讨论交流解题思路,小组活动后,展示计算结果.教师根据反馈的情况总评.如(-2a4)2中的负号处理.倒2在教师引导下,由小组合作完成,并强调遇到高指数时化成同指数,再逆用积的乘方法则.五、运用新知,深化理解1.计算:(-3a3)2·a3+(-4a)2·a7-(5a3)32.已知:(a-2)2+=0,求a2014·b2013的值.【答案】1.-100a9;2.-2【教学说明】由跟踪练习情况及时点评,如第一题中符号问题引起重视.六、师生互动,课堂小结这节课你学到了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.1.积的乘方(ab)n=a n b n(n为正整数),使用范围:底数是积的乘方.方法:把积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.2.在运用幂的运算法则时,注意知识拓展,底数和指数可以是数也可以是整式,对三个以上因式的积也适用.3.要注意运算过程,注意每一步的依据,还应防止符号上的错误.4.在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别与联系.【教学反思】本节课采用探究与自主学习相结合的模式完成的,探究的目的是让学生会推导积的乘方法则.通过小组合作学习增强学习的主动性,突出学生的主体地位.并及时注意在其中的及时引导,发挥教师主导作用.教学中的简便运算应让学生体会转化思想的核心作用.4.同底数幂的除法【教学目标】知识与技能理解同底数幂的除法运算法则,能解决实际问题.过程与方法1.在进一步体会幂的意义的过程中,发展学生的推理能力和表达能力.2.能熟练灵活地运用法则进行同底数幂的除法运算,培养学生的数学能力.情感、态度与价值观感受数学的应用价值,体会数学与社会生活的联系,提高数学素养.【重点难点】重点理解同底数幂的除法法则.难点应用同底数幂除法法则解决数学问题.【教学过程】一、创设情景,导入新课【教师活动】地球的体积是1.1×1012 km3,月球的体积2.2×1010 km3,求地球的体积是月球的多少倍?如何列式?【学生活动】学生代表发言:(1.1×1012)÷(2.2×1010)【教师活动】1012÷1010=?下面我们一起探究.二、师生互动,探究新知【教师活动】完成教材P22填空,由填空你得出了什么规律?【学生活动】经小组交流后,汇报结果.【教师活动】板书:a m÷a n=a m-n,(m>n,且m、n为正整数)同底数相除,底数不变,指数相减.【教师活动】乘法与除法互为逆运算,我们能由同底数幂乘法法则来推导它吗?教师引导a n·( )=a m.设( )=a k.【学生活动】由小组讨论交流后汇报推导结果.【教师活动】我们的认知规律:猜测——归纳——证明.三、随堂练习,巩固新知1.105×107= .2.a·a2·a3·a4= .3.x n+1·x2·x1-n= .4.下列各题中,运算正确的是( )A.a3+a4=a7B.b3·b4=b7C.c3·c4=c12D.d3·d4=2d7【答案】1.10122.a103.x44.B【教学说明】根据反馈情况及时订正,并与法则对比,找准错因.四、典例精析,拓展新知【例1】一张数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M=2K)的移动存储器能存储多少张这样的照片?【分析】用储量26M除以每张照片的存储量的大小.【答案】28(张)【教学说明】教师可将此问题类比成总价、单价与数量关系,从而化为同底数的除法.【例2】若32×92a+1÷27a+1=81,求a的值.【答案】a=2【分析】将左右都化成3的指数幂再比较对应.【教学说明】左右两边能否化成同底幂的运算,如何使用幂的运算法则,强调转化思想,小组活动时注意对学困生的辅导.五、运用新知,深化理解1.一种计算机每秒可进行1012运算,它工作1015次运算需要秒时间.2.若y2m-1÷y=y2,求m+2的值.【答案】1.1032.4【教学说明】由跟踪练习情况及时点评,如y的指数不是0等.六、师生互动,课堂小结这节课你学到了什么?有何收获?有何疑惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.运用同底数幂的除法性质时应注意以下问题:(1)运用法则的关键是看底数是否相同,而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数;(2)因为零不能作除数,所以底数a≠0,这是此性质成立的前提条件;(3)注意指数“1”的情况,如a4÷a=a4-1=a3,不能把a的指数当做0;(4)多个同底数幂相除时,应按顺序计算.【教学反思】本节课探究新知部分,注意如何使学生从特殊中发现规律,得到一般性结论,再由同底数幂的乘法法则证明规律(同底数幂除法法则).积极鼓励学生主动地探究数学问题,加深对数学问题的理解,养成良好思维习惯,提高学生的数学素养.。
华师大版八年级数学上册导学案含答案-12.1.3 积的乘方
3.积的乘方学习目标：1.理解并掌握积的乘方法则及其应用.（重点）2.会运用积的乘方的运算法则进行计算.（难点）自主学习一、知识链接1.计算:（1） 10×102×103=_________；（2） (x 5)2=_________.2.（1）同底数幂的乘法：a m ·a n =_________( m ，n 都是正整数)；（2）幂的乘方：(a m )n =__________(m,n 都是正整数）. 二、新知预习填一填：根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算：(ab)2 (ab)3 =（ab ）(ab) =_____·______·____=(aa)（bb ） =_____·______=a 2b 2 . =_____. 合作探究一、探究过程探究点1：积的乘方运算问题：根据以上计算过程，如果把2或3换成任意正整数n ，则(ab)n =_____.【要点归纳】积的乘方法则： (ab)n =______（n 为正整数），即积的乘方,等于把积的每一个因式分别_______，再把所得的幂________.(1)(2ab)3； (2)－(3x 2y)2； (3)(－3ab 2c 3)3； (4)(－x m y 3m )2.【针对训练】1．计算(-2a 2)2的结果是( )A ．2a 4B ．－2a 4C ．4a4 D ．－4a 42.填空：（1）（－2xy ）4=___________；（2）（3a 2）n =___________.【方法总结】运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方． :(1) －4xy 2·(xy 2)2·(－2x 2)3； (2) (－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3.【方法总结】涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．【针对训练】计算：（1）（2t m ）2·t ； （2）(－xy 2)6＋(－3x 2y 4)3.探究点2：积的乘方法则的逆用计算：（1）.410124⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭（2）()2019202025.04.0-⨯. 已知（ab ）m =2，b n ＝3，求a m b m+n 的值．乘方的意义 乘法的_____律、_____律 同底数幂的乘法法则【方法总结】逆用积的乘方公式a n ·b n ＝(ab)n ，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式可进行简便运算．【针对训练】已知实数x ，y 满足x+y=2,x-y=5,不用解出x,y 的值，求（x+y ）13（x-y ）14的值．当堂检测1.计算（ab 2）3的结果，正确的是（ ）A ．a 3b 6B ．a 3b 5C ．ab 6D ．ab 52.计算 (-x 2y)2的结果是（ ）A.x 4y 2 B ．-x 4y 2 C ．x 2y 2 D ．-x 2y 23.下列运算正确的是（ ）A.（ab 3）2＝ab 6B.（﹣3xy ）3＝﹣9x 3y 3C.(-x 2)3=x 6D.（3x ）2＝9x 24.下面的计算对不对？如果不对，请改正过来.（将正确的答案填在横线上）(1)(3cd)3=9c 3d 3; ( ) 改正：______________(2)(-3a 3)2= -9a 6; ( ) 改正：______________(3)(-2x 3y)3= -8x 6y 3; ( ) 改正：______________(4)(-ab 2)2= a 2b 4. ( ) 改正：______________5. 计算： (1) 82026×0.1252025= ________; (2) ()2022202331-3-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯= .6.计算:(1) (ab)8 ; (2) (2m)3; (3) (-xy)5;(4) (5ab 2 )3 ; (5) (2×102 )2; (6) (-3×103)3.7.计算:（1）(-2x 3)3·(x 2 )2 ； （2）a 3·a 4·a+（-2a 4）2； （3）(x 2y)4 +(x 4y 2)2.拓展提升8.如果（a n •b m •b)3=a 9b 15,求m, n 的值.参考答案自主学习一、知识链接1.（1）106 （2）x 102.（1）a m+n （2）a mn二、新知预习填一填：交换 结合 （ab ） （ab ） （ab ） （aaa ） （bbb ） a 3 b 3合作探究一、探究过程探究点1：问题：a n b n【要点归纳】a n b n 乘方相乘解：(1)原式=8a3b3.(2) 原式=－9x4y2 .(3) 原式=－27a3b6c9.(4) 原式=x2m y6m.【针对训练】1.C2.（1）16x4y4 （2）3n a2n解：(1) 原式= 32x9y6 .(2) 原式= 0.【针对训练】解：（1）原式=4t2m+1 .（2）原式=-26x6y12.探究点2：解：a m b m+n=a m·b m·b n=(ab)m·b n=2×3=6.【针对训练】解：原式=[(x+y)13(x-y)13](x-y)=[(x+y)(x-y)]13(x-y)=5×1013.二、课堂小结a nb n乘方相乘当堂检测1.A2.A3.D4.（1）×27c3d3 （2）×9a6 （3）×-8x9y3 （4）√5.（1）8 （2）-36. 解：(1) 原式=a8b8. (2) 原式=8m3. (3) 原式=-x5y5.(4) 原式=125a3b6. (5) 原式=4×104. (6) 原式=-27×109.7. 解：（1）原式=-8x13. （2）原式=5a8. （3）原式=2x8y4.8解：因为（a n•b m•b)3=a9b15，所以a3n•b3m+3=a9b15，所以3n=9，3m+3=15，解得n=3,m=4.~。
【新编】八年级数学上册第12章12.1幂的运算12.1.3积的乘方导学案新版华东师大版-参考下载
12.1.3 积的乘方【学习目标】1、经历探索积的乘方的运算的性质的过程，进一步体会幂的意义，2、了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.【学习重难点】积的乘方的运算；正确区别幂的乘方与积的乘方的异同.【学习过程】一、课前准备1、口述同底数幂的运算法则。
2、口述幂的乘方运算法则。
3、计算：（1） ()34x (2) a 2a ∙ (3) 34x x ∙ 二、学习新知自主学习：计算观察，探索规律做一做：（1）（ab ）2=(ab)·(ab)=(aa)·(bb) = a( )b ( ) (2) (ab)3= = =a( )b ( ) (3) (ab)4= = =a( )b ( ) 提出问题：（1）同学们通过上述这几道题的计算 、观察一下，你能得到什么规律？（2）如果设n 为正整数，将上述的指数改成n 即：()nab ,其结果是什么呢？（ab ）n ＝ 个）（n ab (ab)(ab)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝ • ＝即 （ab ）n ＝ （n 为正整数）这就是说：积的乘方，等于把积的每一个因式 ，再把 相乘。
实例分析：例1、计算：(1)3)2(b (2)23)2(a (3)3)(a - (4)4)3(x -【随堂练习】1．()()322223ab bc a -⋅-=_______________。
2．(-0.125)2=_________3.已知(x 3)5=-a 15b 15，则x=_______4.(0.125)1999·(-8)1999=_______ 5.化简(12+⋅n m a a )2·(-2a 2)3所得的结果为____。
6.( )5=(8×8×8×8×8)(a ·a ·a ·a ·a)【中考连线】已知3=y 5,=x nn ,求 (x 2y)2n 的值。
【参考答案】随堂练习1、28772c b a -2、641 3、-ab 4、-1 5、8248++-n m a 6、8a中考连线7425。
华东师大版八年级数学上册12.1.3-积的乘方 导学案(无答案)
南城中学八年级数学导学案班级：编制：八年级数学备课组课题: 12.1.3 积的乘方课时：第课时学习目标：1.会进行积的乘方运算，进而会进行混合运算.2.经历探索积的乘方运算法则的过程，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得来的.3.通过积的乘方法则的探究及应用，让学生继续体会从特殊到一般的认知规律，从一般到特殊的应用规律.重点：积的乘方运算法则及其应用.难点：各种运算法则的灵活运用预习案一、旧知回顾问题一：1.已知一个正方体的棱长为2×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？列式为：______________________2.思考：体积应是V=(2×103)3cm3，这个结果是幂的乘方形式吗？底数是，其中一部分是103幂，但总体来看，底数是.因此(2×103)3应该理解为.如何计算呢？二、阅读课本P20-P21，填空：1.⑴(ab)2=(ab)·(ab)=(aa)·(bb)=⑵(ab)3＝＝＝a( )b( )⑶(ab)4= = =⑷(ab)n＝＝＝a( )b( )(其中n 是正整数)用你自己的话来叙述上面的过程.探究案一、展示预习案二、课堂探究1.总结法则：积的乘方公式：(ab)n＝ ____ （n为正整数）文字语言： .2.如果是三个或三个以上几个数的积的乘方，这个运算性质还适用吗？如：(abc)n＝ .在运用积的乘方运算时，应注意的问题:积的乘方运算对于三个或三个以上几个数的积的乘方运算，即：(abc)n＝a n b n c n；在运用积的乘方运算性质时，①要注意结果的符号；②要注意积中的每一项都要进行乘方，不要漏掉项.三、理解运用1.例3 计算：⑴(2b)3⑵(2×a3)2⑶(－a)3⑷(－3x)4⑸(－5b)3⑹(－2x3)4四、深入探究1.积的乘方运算性质：(ab )n ＝a n b n ，把这个公式倒过来应该是： .2.倒过来之后的公式说明的意思是什么？你能用自已的语言说明一下吗？3.试一试 ⑴82014×(0.125)2014 ⑵0.25×55B ⑶(－0.25)2014×42015 ⑷(1415)90×(57)90×(32)90 B ⑸(－7)2014×(17)2013×(－1)2012 C ⑹[(－514)503]4×(245)2013 五、练习巩固㈠填空题:1．(ab )2= 2.(ab )3= 3．(a 2b )3=4. (2a 2b )2= 5．(－3xy 2)3= 6.(－13a 2bc 3)2= B7．42×8n = 2( )×2( ) =2( )㈡选择题:1.下列计算正确的是（ ）A ．(xy )3=x 3yB ．(2xy )3=6x 3y 3C ．(-3x 2)3=27x 5D ．(a 2b )n =a 2n b n2.若(a m b n )3=a 9b 12，那么m ，n 的值等于（ ）.A ．m =9，n =4B ．m =3，n =4C ．m =4，n =3D ．m =9，n =63.下列各式中错误的是( )A .[(x －y )3]2=(x －y )6B .(－2a 2)4=16a 8C .[－13m 2n ]3=－127m 6n 3 D .(－ab 3)3=－a 3b 6 4.计算(x 4)3·x 7的结果是 ( )A . x 12B . x 14C . x 19D . x 845.下列运算中与a 4·a 4结果相同的是 ( )A .a 2·a 8B .(a 2)4C .(a 4)4D .(a 2)4·(a 2)4㈢计算:⑴(a 2b )·(a 2b )2 ⑵[－(12xy 2z 3)2]3 B ⑶(b －a ) ·(b －a )3·(a －b )5⑷(x 2·x )3÷x 2 ⑷(2ab m )3－3a 3b 3m ⑸x·x 5+(－2x 3)2+(－2x 2)3C ⑹(－2)2013+(－2)2014 B ⑺0.252014×42015－81000×0.53000C ⑻(102)2+10×103 ⑼㈣拓展题:1．已知2014m =4，2014n =5，求2014m +n 和2014m －n 的值.2．已知2·4x ·8x =221，求x 的值.。
华东师大版八年级数学上册 第12章 12.1.3积的乘方 导学案
华东师大版八年级数学上册第12章12.1.3积的乘方导学案学习目标:理解掌握和运用积的乘方法则．重点：积的乘方法则的理解和应用．难点：积的乘方法则的灵活应用．预习探究：一、自学1、复习：（1）幂的意义:（2）同底数幂的乘法运算法则：（3）幂的乘方运算法则:2、（1）自学教材：（2）完成教材的练习1、2题(3)积的乘方运算法则：二、自学提问：三、探究讨论3、(1)根据乘方定义(幂的意义)，(a b)3表示什么?(2)为了计算(化简)算式a b·a b·a b，可以应用乘法的交换律和结合律。
(3)由特殊的(a b)3=a3b3出发,你能想到一般的公式吗?规律：积的乘方=（4）(a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗?（5）“(a+b)n=a n·b n”成立吗？（6）“(a+b)n=a n+b n”成立吗？（7）三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质?怎样用公式表示?(a b c)n =（8）计算：(1)(3x)2;(2)(-2b)5;(3)(-2x y)4;(4)(3a2)n交流展示：一、交流展示：探究讨论二、教师点拨巩固提高：4、（－ab）2=_____，（12xy2）2=_______．5、[（m－n）n] 3·（n－m）4=________．6、若（a m b·ab n）5=a10b15，则3m（n2+1）的值是（）A．15 B．8 C．12 D．107、以下运算正确的是（）A．（x3）4=x7B．x3·x4=x12C．（3x）2=9x2D．（3x）2=6x28、如果（a n·b m b）3=a9b15，那么m，n的值等于（）A．m=9，n=－4 B．m=3，n=4 C．m=4，n=3 D．m=9，n=69、计算：（1）（－4）2020×0.252020；（2）（0.5×323）2019·（－2×311）2019．（3）－（0.125）2·27．（4）（－19）3×38；（5）（－3x3y）2+（2x2）3·（－y）2+4x6y2；（6）（－2a）6－（－3a3）2+[（－2a）3] 3．(7)、－（0.125）2·27．10、（1）已知10a=5，10b=6，求102a+3b的值;（2）已知a x=4，b x=5，求（ab）2x的值．◆拓展创新已知a=25555，b=34444，c=43333，比较a，b，c的大小．感悟（收获与疑惑）：。
推荐2019八年级数学上册第12章12-1幂的运算12-1-3积的乘方导学案新版华东师大版
12.1.3 积的乘方【学习目标】1、经历探索积的乘方的运算的性质的过程，进一步体会幂的意义，2、了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.【学习重难点】积的乘方的运算；正确区别幂的乘方与积的乘方的异同.【学习过程】一、课前准备1、口述同底数幂的运算法则。
2、口述幂的乘方运算法则。
3、计算：（1） ()34x (2) a 2a ∙ (3) 34x x ∙ 二、学习新知自主学习：计算观察，探索规律做一做：（1）（ab ）2=(ab)·(ab)=(aa)·(bb) = a( )b ( ) (2) (ab)3= = =a( )b ( ) (3) (ab)4= = =a( )b ( ) 提出问题：（1）同学们通过上述这几道题的计算 、观察一下，你能得到什么规律？（2）如果设n 为正整数，将上述的指数改成n 即：()nab ,其结果是什么呢？（ab ）n ＝ 个）（n ab (ab)(ab)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝ • ＝即 （ab ）n ＝ （n 为正整数）这就是说：积的乘方，等于把积的每一个因式 ，再把 相乘。
实例分析：例1、计算：(1)3)2(b (2)23)2(a (3)3)(a - (4)4)3(x -【随堂练习】1．()()322223ab bc a -⋅-=_______________。
2．(-0.125)2=_________3.已知(x 3)5=-a 15b 15，则x=_______4.(0.125)1999·(-8)1999=_______ 5.化简(12+⋅n m a a )2·(-2a 2)3所得的结果为____。
6.( )5=(8×8×8×8×8)(a ·a ·a ·a ·a)【中考连线】已知3=y 5,=x nn ,求 (x 2y)2n 的值。
【参考答案】随堂练习。
2020八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.1 幂的运算 3 积的乘方学案 (新版)华东师大版
3 积的乘方课前知识管理1、积的乘方法则：积的乘方，等于把积的 每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘.字母表达式为：()nn n ab a b =（n 为正整数）.积的乘方法则也可推广到三个或三个以上因式的积的乘方的情形：即：()nn n n abc a b c =（n 为正整数）.法则中的底数可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，指数可以是任意的正整数或表示正整数的式子（单项式或多项式）.2、运用积的乘方法则的关键在于底数，只有,a b 之间的运算是乘法运算（不能是加、减运算），才可以把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.当,a b 之间的运算不是乘法运算，但能转化为乘法运算时，也可以运用此法则，否则不能用此法则.特别注意不要把和的乘方与积的乘方相混淆，一般地，如()nn n a b a b ±≠±. 3、法则的逆用，即()nn na b ab =（n 为正整数）.名师导学互动典例精析：知识点：积的乘方法则 例1、计算：()()()()324322222y x x y x y x yx ⋅+--⋅.【解题思路】题中()()y x y x 222⋅可视为同底数幂的乘法，故可先做乘法，后做幂的乘方；()324y x x ⋅应利用乘法结合律解决. 【解】原式=()()()3636363632436321088y x y x y x y x y x xy x yx =++=⋅+--.【方法归纳】做混合运算，要先认真观察分析题目的结构，包含的运算方法，应采用的运算顺序等，正确选择、灵活运用所学运算性质（法则），并注意防止符号错误.对应练习：计算452)2(c ab 所得的结果是（ ） A. 2022c abB. 20848c b a C. 9648c b aD. 208416c b a知识点：逆用积的乘方公式： nnnab b a )(= 例2、已知：ma =3，mb =2， nmanm b =216，求n 的值.【解题思路】正确理解积的乘方公式，并且能合理地运用公式：nnnab b a )(=，同时把底数都化成6.【解】因为nn n ab b a )(=，并且m a =3，b m =2，所以nm a nm b =216=（m a mb ）n=（3×2）n=63，所以n=3. 【方法归纳】本题的实质是通过逆用幂的运算法则,把原式转化成积的乘方的形式,然后再整体代入,这种逆向使用幂的运算法则的方法,是一种常用的运算方法. 对应练习：已知3,5==nny x ，求()nxy 2-的值.知识点：综合应用幂的运算法则 例3、设k= 20078×2008)81(，则k 的值为 .A 8 B81C 1D 无法计算【解题思路】这里两个幂的底数不相同，指数也不相同，因此我们不能直接计算，但这并不意味着不能计算，因为2008=2007+1，因此，同学们可以先逆用同底数幂的乘法公式，把2008)81(转化成81)81(2007⋅，然后再逆用积的乘方公式： nnnab b a )(=，问题就可以解决. 【解】因为2008)81(=12007)81(+，所以2008)81(=81)81(2007⋅， 所以20078×2008)81(=20078×81)81(2007⋅=2007)818(⨯×81=81，所以，选B. 【方法归纳】当底数间互为倒数关系时,通常逆用幂的运算法则巧做整合,使之出现底数是1或–1的幂,本题中将20081()8化为200711()()88⨯,是逆用了同底数幂的乘法法则m n m n a a a +⋅=;将2007200718()8⨯化为200718()8⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦是逆用了积的乘方的法则()nnnab a b =⋅. 对应练习：计算:20072008(8)(0.125)-⨯-.知识点：实际应用题例4、某养鸡场需定制一批棱长为3×102毫米的正方体鸡蛋包装箱（包装箱的厚度忽略不计），求一个这样的包装箱的容积．（结果用科学记数法表示） 【解题思路】正方体包装箱的容积等于棱长的立方，在列式时，因棱长为3×102，注意要整体添加括号后再利用积的乘方展开计算.【解】（3×102）3=33×（102）3=27×106=2.7×107（立方毫米）．答：•一个这样的包装箱的容积是2.7×107立方毫米．【方法归纳】本题考查积的乘方和幂的乘方的综合运用，注意正确运用科学记数法表示大数． 对应练习：数学课上老师与同学一起利用球体的体积公式343V r π=计算出地球的体积约是119.0510⨯立方千米，接着老师说：“太阳也可以看作球体，它的半径是地球半径的210倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢？”同学们马上计算起来，不一会儿，学生甲说：“是139.0510⨯立方千米.”学生乙说：“是159.0510⨯立方千米.”学生丙说：“是179.0510⨯立方千米.”谁说得正确呢？为什么？易错警示1、“分别乘方”错为“个别乘方”.例5、计算()23ab .错解：()236abab =错解剖析：本题错解在于只把后一个因式乘方而没有将因式a 乘方.本题应运用“积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘”进行计算. 正解：()2323226()aba b a b ==2、“底数不同”误认为“底数相同”. 例6、计算53()a a -⋅. 错解：535388()()()a a a a a +-⋅=-=-=.错解剖析：本题错解在于把()a -与a “底数不同”误认为“底数相同”.当底数互为相反数时,应先将底数化成同底数,再运用法则计算. 正解：5353538()a a a a a a +-⋅=-⋅=-=-.课堂练习评测知识点1：积的乘方法则1、下列计算正确的是（ ） A 、()666a b a b +=+ B 、()22346ab cab c -=C 、()32633a bca b c -= D 、()()()4284a b ca b c --=-2、如果()3615mn a b ba b ⋅⋅=，那么,m n 的值分别为（ ）A 、2，4B 、2，5C 、3，5D 、3，－53、时空连线，在现实世界里，三个小朋友正在计算幂的乘方和积的乘方运算，在数字世界里，正在形成他们的计算结果，请将它们用实线连接起来．A ．(0.125)2007×(－8)2008①513B ．(513)2008·(235)2007②1C ．(0.125)15·(215)3③8知识点2：逆用积的乘方法则4、当17,7x y ==-时，4142n n x y ++的值为（ ）A 、17B 、－17C 、149D 、－1495、若3912A x y =，则A= .6、计算:（1）3352⋅（2）1516)2()5(-⨯-（3）444)125.0(42-⨯⨯（4）1010)128910()1218191101(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯课后作业练习基础训练1、计算（x 2y ）3的结果是（ ）A ．x 5y B ．x 6y C ．x 2y 3D ．x 6y 32、计算（－3a 2）2的结果是（ ）A ．3a 4B ．－3a 4C ．9a 4D ．－9a 43、计算（－0.25）2008×42008的结果是（ ）A ．－1B ．1C ．0.25D ．440164、下列四个算式：①3366+②)63()62(33⨯⨯⨯③322)32(⨯④2332)3()2(⨯中，结果等于66的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③D. ③④5、计算()[]322--n x的结果是（ ） A.126-n xB.126--n xC.12-n xD.12--n x6、若a 2n=3，则（2a 3n）2=___ _．7、若22=n x ，则=nx6，已知22=x ，3=n y ，则=nxy 3)(提高训练8、1221)()(-+∙n n a a 等于（ ） A. 34+n aB. 14+n aC. 14-n aD. na49、若n 为正整数，且72=n x ，则n n x x 2223)(4)3(-的值为（ ） A. 833 B. 2891 C. 3283 D. 1225 10、ba 28⋅等于（ ）A. ab16 B. ba +16C. ba +10D. ba +3211、计算：（23）100×（112）100×（14）2007×4200812、计算：（－2x 2y ）3+8（x 2）2·（－x ）2·（－y ）3．13、一个正方体物体的棱长为310cm ，则它的体积是多少?若每立方厘米的重量为2.5⨯103克，则这个正方体的质量是多少千克?14、已知273×94=3x，求x 的值．15、对于任意正整数a ，b ，规定：a△b=（ab ）3－（2a ）b，试求3△4的值．16、已知999999=P ，909911=Q ，试说明Q P =。
2019最新版年八年级数学上册第12章12.1幂的运算12.1.2幂的乘方导学案华东师大版
) a • a = aa 2(a )(a )12.1.2 幂的乘方【学习目标】1.经历探索幂的乘方性质，进一步体会幂的乘方。
2.了解幂的乘方运算性质，并能利用性质进行计算和解决一些实际问题。
【 学习重难点】1.幂的乘方运算性质。
2.幂的乘方运算性质的灵活运用。
【学习过程】一、课前准备计算 ⑴ a 3 + a 3 =（2） a 2·a 3 = （3） a 2 a 4 + a 3 a 3 =二、学习新知自主学习：1、做一做：（1）(23)2=___________(根据幂的意义)=_________（根据同底数幂的乘法法则）=（2）(a 4)3=________(根据幂的意义)=_________（根据同底数幂的乘法法则）= a (_____(3)( n )=_________ × __________=____________( 根 据m nm +n)=a(______ )(4) (a m )5=_ ____________________ =___________________=a (______ )（5）（ ）m n =________________________________________ (幂的意义)（ ）=a_________________________________________________ （同底数幂的乘法法则）=_____________________________ _______(乘法的意义 )2 、 通 过 以 上 计 算 ， 你 有 什 么 发 现 ？ 冪 的 乘 方 ，_________________________,_____________________________。
3、m n =____________________(m 、n 为正整数)精品试卷，推荐下载 1a n(a-2(34、想一想：(m)与n)m相等吗？为什么？实例分析：例1、计算：（1）(103)5；（2）(b5)4【随堂练习】1、如果a3m=4，则a6m=2、如果a2m=3，则(a3m)4=3、计算：⑴(x3)⑵-(x m)5⑶a3)•a5【中考连线】已知10a=5，10b=6.求102a+3b【参考答案】随堂练习1、162、363、(1)x6(2)-x5m中考连线241(3)a14精品试卷，推荐下载2秀精品试卷，推荐下载3。
华东师大版数学八年级上册导学案：12.1.3积的乘方(无答案)
12.1.3积的乘方学习目标： 1、 会进行积的乘方运算，进而会进行混合运算。
2、 理解积的乘方法则的推导过程。
3、 弄清楚幂的运算的根据，避免各种不用运算法则的混淆，突出幂的运算法则的基础性，注意区别与联系。
学习重点：积的乘方运算学习难点：弄清楚幂的运算的根据，避免各种不用运算法则的混淆，突出幂的运算法则的基础性，注意区别与联系。
预学案1、 预习课本P20-P21，完成试一试和云图中的问题。
2、 计算：_____________3222==⨯；()()()_____________3232322==⨯⨯=⨯； 从而得到：()______________3232222==⨯=⨯； 进而猜想：()2ab 与22b a 是否相等？__________________________ 3、 探索，概括：⑴()()()()()222b a b b a a ab ab ab =••== ⑵()_____________________________________3=ab ⑶()_____________________________________4=ab ⑷()_________________________________=nab 于是我们得到了积的乘方公式：______________________________积的乘方法则：_______________________________________________4、 计算：⑴()32b ⑵()232a ⑶()3a - ⑷()43x -5、由积的乘方法则，可以得出：()____________________=n abc （n 为正整数）探究案1、 计算：①()2324-y x ②()()n n n b a b a 221•-2、 ①______________22=b a ②_____________________33=b a那么__________________=n n b a3、 计算：()2008200981-8-⎪⎭⎫⎝⎛⨯ ()()2002200225.04-⨯- 22009⨯（21）20104、①已知3,2==n m a a ，求n m a 32+的值？②已知29,63==n m ，求1423+-n m 的值？③若,6321244-++=•x x x 求x 的值？12.1.3 积的乘方巩固案 1、在①()2222x x x =•,②()422ab b a =,③()222ab b a =,④()()()75431212a a a a ===中，计算正确的有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个2、()__________3-324=b a ；()[]________33=n a3、如果()m n b a b a 432=，那么m=__________,n=________。
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八年级数学上册12.1幂的运算3积的乘方导
学案新版华东师大版
12、1幂的运算
3、积的乘方学习目标：
1、理解、掌握和运用积的乘方的法则；
2、通过探索，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得的；
3、通过类比，对三个幂的运算法则在应用时进行选择和区别重点：积的乘方法则的理解和应用难点：积的乘方法则的推导过程的理解预习
1、口述同底数幂的乘法运算法则；
2、口述幂的乘方运算法则；
3、根据要求完成下列各小题（1）若x3xa =x5，则a= ；（2）（）x5 =x8；（3）若，，则＝（）；
A、20
B、9
C、54
D、45（4）若，，则=( )；
A、2a+b
B、a2b
D、2ab感受新知观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?
一、探索（1）(ab)2 = (ab)
• (ab)
= aa • bb = a ( )b( )根据上面的推理过程，请把下面两道题做出来（2）（ab）3＝__________________________＝
__________________________＝ a ( )b( )
二、发现积的乘方试猜想：（ab）n = ?其中 n是正整数※证明：（ab）n＝＝＝anbn∴（ab）n ＝ anbn （n为正整数）语言叙述积的乘方法则：推广：
1、三个或三个以上的积的乘方等于什么？
2、逆运用可进行化简：anbn = (ab)n （n为正整数）
三、实例例计算（1）（2b）3；（2）（2a3）2；（3）（－a）3；（4）（－3x）4解：练习
1、计算：(1)
(ab)8 (2)
(2m)3 (3)
(-xy)5 (4)
(5ab2)3 (5)
(2102)2 (6)
32、判断下列计算是否正确，并说明理由：(1)（ab2)3=ab6 ( )
(2)
(3xy)3=9x3y3 ( )(3)
(-2a2)2=-4a4 ( )
(4)
ab2)2=a2b4 ( )（）※
3、逆用法则进行计算我们知道（ab）n ＝ a nbn 那么 a nbn＝（ab）n例：244
40、1254解：244
40、1254＝(2
40、125)4＝1根据例题，试求下面两题的解（1） (－
4)xx(0、25)xx （2）－82000(－0、125)2001
四、巩固直接写出结果①(5ab)2= ②(－xy2)3=③(－2xy3)4 = ④(－210)
3=⑤(－3x3)2－[(2x)2]3 = ⑥(－3a3b2c)4=⑦(－anbn+1)3 = ⑧0、5xx2xx=⑨ (－0、25)326 = ⑩ (－0、125)
8230=
1、积的乘方使用范围：底数是积的乘方
2、在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数，也可以是整式
3、要注意运算过程和符号自我检测
1、下列各式中，与x5m+1相等的是（
）
A、（x5)m+1
B、（xm+1)5
C、 x (x5)m
D、 x x5 xm
2、x14不可以写成（
）
A、x5 (x3)3
B、 (－x)
(－x2)
(－x3)
(－x8)
C、(x7)7
D、x3 x4 x5 x
23、若，则m= ；
4、若n是正整数，且m=-1，则的值是；
5、（1）a6y3=( )3；(2)81x4y10=( )2 ；(3)若(a3ym)2=any8, 则m= ,n=
6、计算(1)（-2x2y3)3 (2)
(-3a3b2c)4（9）2(x3)2 x3－(3x3)3＋(5x)2 x
77、先化简，再求值：，其中a=1,b=-1；
8、如果（an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值
9、试比较47，164，85 的大小
10、试比较3555,4444,5333的大小、。