第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的__最__大__值___或__最__小__值__的问题
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1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特 殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.
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3x－5y＋6≥0， (2)若 x，y 满足条件2x＋3y－15≤0，当且仅当 x＝y＝3 时，z＝ax＋y 取最大值，
y≥0，
则实数 a 的取值范围是( C )
A.－23，35 C.－35，23
B.－∞，－35∪23，＋∞ D.－∞，－23∪35，＋∞
解析 不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当
名称
意义
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件
目标函数 关于x，y的解析式
线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足_线__性__约__束__条__件___的解(x，y) 可行域 所有_可__行__解___组成的集合 最优解 使目标函数达到__最__大__值___或_最___小__值__的可行解
解析 根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，
即(a＋7)(a－24)<0，
解得－7<a<24.
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2.在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组－1≤1≤x＋x－y≤y≤3，1表示图形的面积等于(3
D.4
解析 不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形 ABCD，其中 A(0，
2.判定二元一次不等式表示的区域 (1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方. (2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.
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诊断自测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上
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考点二 求目标函数的最值
多维探究
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角度 1 求线性目标函数的最值
x≥1， 【例 1】 (2021·郑州模拟)设变量 x，y 满足约束条件x－2y＋3≥0，则目标函
x－y≥0，
数 z＝2x－y 的最小值为( C )
A.－1
B.0
C.1
D.3
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解析 由约束条件可得可行域如图阴影部分(含边界)所示， 将z＝2x－y变为y＝2x－z， 当z取最小值时，y＝2x－z在y轴截距最大，由y＝2x图 象平移可知，当y＝2x－z过点A时，在y轴截距最大， 由yy＝＝xx，得 A(1，1)，∴zmin＝2×1－1＝1，故选 C.
方.( × )
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( √ ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( √ )
(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴
上的截距.( × )
解析 (1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方. (4)直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴上的截距是bz.
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第七章
第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组
考
2 纲
了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次 不等式组
3 要
求
会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以 解决
内
1
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知识分类落实
范围是( B )
A.(－∞，4] B.[4，＋∞)
C.[5，＋∞)
D.(－∞，＋∞)
解析 画出可行域如图中阴影部分所示，作出直 线x＋2y＝0，平移该直线，易知当直线经过点 A(2，1)时，z取得最小值，zmin＝2＋2×1＝4，再 数形结合可得z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞).
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x＋y－2≤0，
y≥－1，
(C)
A.3，－3
B.2，－4
C.4，－2
D.4，－4
解析 不等式组所表示的平面区域如图所示. 其中 A(－1，－1)，B(2，－1)，C12，12， 画直线l0：y＝－2x，平移l0过B时，zmax
＝4，平移l0过点A时， zmin＝－2.
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4.(2020·浙江卷)若实数 x，y 满足约束条件xx－＋3y－y＋31≥≤00，， 则 z＝x＋2y 的取值
不等式组 各个不等式所表示平面区域的_公__共__部__分__
2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋
By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1
＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.
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3.线性规划的有关概念
（x－a）2＋（y－b）2；③斜率型：形如 z＝xy－－ba. (2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求 解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合 题意的可行域里，寻求最优解.
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【 训 练 1 】 (1)(2021·东 北 三 省 三 校 联 考 ) 若 实 数 x ， y 满 足 不 等 式 组
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2
考点分层突破
考点聚焦
题型剖析
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
自主演练
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1.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为
( B)
A.(－24，7)
B.(－7，24)
C.(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D.(－∞，－24)∪(7，＋∞)
x＋y－1≥0，
x－y＋1≥0， 则目标函数 2x＋y－4≤0，
z＝x－x－y＋4 2的最大值是(
B
)
A.1
B.－14
C.－54
5 D.4
解析 画出不等式组所对应的平面区域，如图中阴影部分(包含边界)所示.
z＝x－x－y＋4 2＝1－xy－－64，设 z′＝xy－－64，
则 z′表示可行域内的点与 P(4，6)连线所在直线的斜率，
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2.不等式组xx－ －3y＋y＋26<≥0 0，表示的平面区域是( B )
解析 x－3y＋6≥0表示直 线x－3y＋6＝0及其右下方 部分，x－y＋2＜0表示直 线x－y＋2＝0左上方部分， 故不等式表示的平面区域 为选项B.
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y≤x， 3.已知 x，y 满足约束条件x＋y≤1，则 z＝2x＋y＋1 的最大值、最小值分别是
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x－y＋5≥0， 6.(2021·成都诊断)已知 x，y 满足x＋y≥0， 若使得 z＝ax＋y 取最大值的点
x≤3， (x，y)有无数个，则 a 的值为___－__1___. 解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直 线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝ kAB＝1，∴a＝－1.
年产量/亩
莴笋
5吨
西红柿 4.5吨
年种植成本/亩 1万元 0.5万元
每吨售价 0.5万元 0.4万元
那么，该农户一年种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)的最大值为 _____4_3__万元.
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解析 设莴笋和西红柿的种植面积分别为x，y亩，一年的种植总利润为z万元.
x＋y≤30， 由题意可得xx＋ ≥00， .5y≤25，
(如图中阴影部分表示).由图知，要使原不等式组表
示的平面区域的形状为三角形，只需动直线 l：x＋
y＝a 在 l1，l2 之间(包含 l2，不包含 l1)或 l3 上方(包
含 l3)，故 0<a≤1 或 a≥43.
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感悟升华
平面区域的形状问题主要有两种题型： (1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状； (2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域， 但要注意对参数进行必要的讨论.
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感悟升华
1.解线性规划应用题的步骤. (1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划 问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题； (3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案. 2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字 母表示变量，列出线性约束条件，写出目标函数，转化成线性规划问题.
x＋a≥0，
小值为－4，则实数 a＝( B )
A.1
B.2
C.4
D.8
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分
所示，当直线 z＝x＋2y 经过点 C－a，a－3 5时，z 取得 最小值－4，所以－a＋2·a－3 5＝－4，解得 a＝2.
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感悟升华
线性规划两类问题的解决方法 (1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的 目 标 函 数 有 ： ① 截 距 型 ： 例 如 z ＝ ax ＋ by ； ② 距 离 型 ： 形 如 z ＝
y≥0，
z＝0.5×5x＋0.4×4.5y－(x＋0.5y)＝1.5x＋1.3y， 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
当直线z＝1.5x＋1.3y经过点A时，z取得最大值， 又xx＋＋y0＝.5y3＝0，25，解得 x＝20，y＝10， 即A(20，10)，代入z＝1.5x＋1.3y可得z＝43.
1)，D(1，0)，边长 AD＝ 2，则正方形的面积 S＝ 2× 2＝2.
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x－y≥0， 3.若不等式组2y≥x＋0，y≤2，表示的平面区域的形状是三角形，则 a 的取值范围是
x＋y≤a
( D)
A.43，＋∞
B.(0，1]
C.1，34
D.(0，1]∪43，＋∞
解析
x－y≥0，
作出不等式组2x＋y≤2，表示的平面区域 y≥0
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角度 2 求非线性目标函数的最值
【例
2】 (1)已知实数
x，y
x－y＋1≤0，
满足x＋2y－8≤0，则 x≥1，
z＝x＋y 2的取值范围是__23_，__76_ __.
x－y＋1≤0， 解析 作出不等式组x＋2y－8≤0，表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是 一 D(个2，三3角)，形x＋区y 2域的(包几含何边意x≥界义1)是，可三行角域形内的任三一个点顶(点x，的y坐)与标点分P别(－为2B，(10，)连2线)，的C斜1，率72，， 连接 PB，PC，由于直线 PB 的斜率为23，直线 PC 的 斜率为76，由图可知 z＝x＋y 2的取值范围是23，76.
容 索
2
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考点分层突破
引
3
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课后巩固作业
1
知识分类落实
回扣知识
夯实基础
知识梳理
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1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有 不包括_边__界__直__线__
Ax＋By＋C≥0 点组成的平面区域
包括_边__界__直__线_
索引
由xx＋ －yy－ ＋11＝ ＝00，得 A(0，1)，由x2＋x＋y－y－1＝ 4＝0，0 得 B(3，－2)， 由x2－ x＋y＋y－1＝ 4＝0， 0 可得 C(1，2). 结合图易知 z′min＝10－ －64＝54，所以 zmax＝1－54＝－14， 所以目标函数的最大值是－14.故选 B.
索引
2x－y≤0，
(2)(2020·景德镇模拟改编)若变量 x，y 满足约束条件x＋y－3≤0，则(x－1)2＋y2
4
x≥0，
的最小值为__5______.
解析
2x－y≤0， 画出约束条件x＋y－3≤0，表示的可行域，如图中阴影部分所示.
x≥0
设 z＝(x－1)2＋y2，则其几何意义是区域内的点到定点(1，0)的距离的平方，由图
5.(2020·汉中质检)不等式组x－y－1≥0，所表示的平面区域的面积等于
1
y≥0
___4_____.
解析 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
通过右图，可以发现不等式组表示的平面区域以点
A32，12，B(1，0)和 C(2，0)为顶点的三角形区域(含边 界)，因此 S△ABC＝12×(2－1)×12＝14.
目标函数的斜率满足－23<－a<53，即－35<a<23时，z＝ ax＋y 仅在 x＝y＝3 时取得最大值，故选 C.
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考点三 实际生活中的线性规划问题
师生共研
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【例4】 (2020·安庆联考)某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过30亩， 投入资金不超过25万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：
知点(1，0)到直线 2x－y＝0 的距离最小，点(1，0)到直线 2x－y＝0 的距离 d＝
2|22＋×（1－－01|）2＝
2 ，则 5
zmin＝d2＝54，
所以(x－1)2＋y2 的最小值为45.
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角度 3 求参数值或取值范围
x＋3y＋5≥0， 【例 3】 (2021·太原调研)已知实数 x，y 满足x＋y－1≤0， 若 z＝x＋2y 的最