北师八年级上册数学第7章 平行线的证明 全章热门考点整合应用

9 如图，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠EDC ＋∠ECD＝90°，∠A＝100°，求∠B的度数．
解：∵CE 平分∠BCD，DE 平分∠CDA，
∴∠EDC＋∠ECD＝12(∠ADC＋∠BCD)＝90°. ∴∠ADC＋∠BCD＝180°. ∴AD∥BC. ∴∠A＋∠B＝180°. ∵∠A＝100°， ∴∠B＝80°.
(答案不唯一)
【2020·杭州采荷中学期末】有下面四个命题：
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①若 x＜0，则 x2＝－x；
②在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边 的平方； ③函数 y＝－2x 中，y 随 x 的增大而减小； ④样本 8，8，9，10，12，12，12，13 的中位数与 众数分别是 12，12. 其中真命题的序号是__①__②__③____．
＝12×120°＝60°. 过点 E 作 EH∥AB，∴∠BEH＝∠ABE. 又∵AB∥CD，∴EH∥CD.∴∠DEH＝∠CDE. ∴∠BEH＋∠DEH＝∠ABE＋∠CDE，即∠BED＝60°.
15 【教材P185复习题T9拓展】如图，在△ABC中，AD是边BC 上 的 高 ， AE是 ∠BAC的平分线 ． 若∠ B＝50°， ∠ C＝ 70°，求∠EAD的度数．试猜想：若∠B＝α，∠C＝β(β＞ α)，则∠EAD的度数是多少？(用含α，β的式子表示)
【原创题】某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发 7
现，可以把它抽象成数学问题(如图所示)：已知AB∥CD，
∠BAE＝87°，∠DCE＝121°，则∠E的度数是( )
A．28°B．34°C．46°D．56°
B
8 【中考·日照】将一副直角三角尺按图中所示位置
摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝( D ) A．30°B．25°C．20°D．15°
10 【2020·北京】如图，AB和CD相交于点O，则下列结论 正确的是( ) A A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1>∠4＋∠5 D．∠2<∠5
11 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， △ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于 点E. (1)求∠CBE的度数；
北师版八年级上
第七章平行线的证明
全章热门考点整合应用
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1D 2D 3 4 ①②③
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D
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D
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B
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D
答案呈现
9 10 A 11 12
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答案呈现
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下列属于定义的是( D )
A．太阳从东方升起
B．同角的补角相等
C．若a＝b，则a＋c公路的两侧铺设平 行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道 对接，另一侧铺设的角度大小应为( ) A．120°B．100°C．80°D．60° D
6 如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是( D ) A．AB∥EF，CD∥EF B．∠1＝∠A C．∠ABC＋∠BCD＝180° D．∠3＝∠2
解：如图，过点F作FG∥AB， ∴∠BFG＝∠ABF. 又∵AB∥CD，∴FG∥CD. ∴∠CDF＝∠DFG. ∴ ∠ ABF ＋ ∠ CDF ＝ ∠ BFG ＋ ∠DFG＝∠BFD＝120°.
∵BE 平分∠ABF，DE 平分∠CDF， ∴∠ABE＝12∠ABF，∠CDE＝12∠CDF.
∴∠ABE＋∠CDE＝12(∠ABF＋∠CDF)
∠BAF＝12∠BAC.
∴∠DBF＝∠FBC＋∠DBC＝12∠ABG＝90°. ∴∠F＋∠BDF＝90°.∴∠BDF＝90°－∠F.
∵∠BDF＝∠ABD＋∠BAD＝12(∠ABC＋∠BAC)， ∠ABC＋∠BAC＝180°－∠C， ∴∠BDF＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C. ∴90°－∠F＝90°－12∠C， 即∠F＝12∠C. ∴∠F＝12×40°＝20°.
17 如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝107°， ∠ABC＝121°，求∠C的度数．
【点拨】本题运用数形结合思想，根据图形 构造平行线解决问题．
解：如图，过点B作BF∥AE交ED于点F. ∵BF∥AE，∠A＝107°， ∴∠ABF＝180°－107°＝73°. 又∵∠ABC＝121°， ∴∠FBC＝121°－73°＝48°. ∵AE∥CD，BF∥AE， ∴BF∥CD. ∴∠C＝180°－∠FBC＝132°.
解：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°－∠A＝50°. ∴∠CBD＝130°. ∵BE 是∠CBD 的平分线，
∴∠CBE＝12∠CBD＝65°.
(2) 过 点 D 作 DF ∥ BE ， 交 AC 的 延 长 线 于 点 F ， 求 ∠F的度数．
解：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°， ∴∠CEB＝90°－65°＝25°. ∵DF∥BE， ∴∠F＝∠CEB＝25°.
如图，已知AB∥CD，求证：∠B＋∠D＋∠BED 13
＝360°.
【点拨】本题还有其他解法，如 连接BD等．
证法一：如图①，过点E作EF∥AB. ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥CD. ∴∠2＋∠D＝180°. ∵EF∥AB， ∴∠1＋∠B＝180°. ∴∠1＋∠B＋∠2＋∠D＝360°. ∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°.
猜想：∠EAD＝12(β－α)．
在 △ABC 中 ， ∠ A － ∠ B ＝ 30° ， ∠ C ＝ 4 ∠ B. 求 16
∠A，∠B，∠C的度数．
【点拨】已知三角形的三个内角之间的关系求内角 的度数，可利用方程思想来解决，其中三角形内角 和定理就是等量关系．
解：设∠B＝x°，则∠A＝30°＋x°， ∠C＝4x°. 在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°. ∴(30＋x)＋x＋4x＝180， 解得x＝25. ∴∠A＝30°＋25°＝55°，∠B＝25°， ∠C＝4×25°＝100°.
解：∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180° －50°－70°＝60°.
∵AD 是边 BC 上的高， ∴∠ADB＝90°. ∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－50°＝40°. ∵AE 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAE＝12∠BAC＝12×60°＝30°. ∴∠EAD＝∠BAD－∠BAE＝40°－30°＝10°.
证 法 二 ： 如 图 ② ， 过 点 E 作 EF ∥ AB. ∵ AB ∥ CD ， EF∥AB，∴EF∥CD. ∴∠2＝∠D. ∵EF∥AB， ∴∠1＝∠B. ∵∠1＋∠2＋∠BED＝360°， ∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°.
如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF， 14 ∠BFD＝120°.求∠BED的度数．
D．三角形的外角是三角形内角的一条边与另一
条边的反向延长线组成的角
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下列句子属于命题的是( D )
A．画线段AB
B．任何一个角都有余角吗
C．画角的平分线
D．两点之间线段最短
3 请给假命题“两个锐角的和是钝角”举出一个反例： _∠__α_＝__2_0_°__，__∠__β_＝__3_0_°___，__∠__α_＋__∠__β_＜__9_0________．
12 【2021·天津南开中学月考】如图，∠CBG是△ABC的外 角，BF平分∠CBG，AF平分∠BAC，BD平分∠ABC.若 ∠C＝40°，求∠F的度数．
【点拨】解决角度之间的关系的问 题时，常利用三角形内角和定理， 把所求的角和已知角联系起来．
解：∵BF 平分∠CBG，BD 平分∠ABC，AF 平分 ∠BAC， ∴∠FBC＝12∠CBG，∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC，