广义雷诺方程的详细推导过程

在将 h 带入，得到：
p h3 h3 p (U h − U 0 )h2 ( − + + U 0 h) x x 6 4 x 2h
化简后得到;
p h3 (U h + U 0 )h (− + ) x x 12 2
第二行为：
p h3 (Vh + V0 )h (− + ) y y 12 2
第三行为：
( h) t
故（10）式可以转化为：
p h3 (U h + U 0 )h p h3 (Vh + V0 )h ( h) (− + ) + (− + )+ =0 x x 12 2 y y 12 2 t
将带有负号的项移到右边去，得到：
(U h + U 0 )h (Vh + V0 )h ( h) h3 p h3 p ( )+ ( )+ = ( )+ ( ) x 2 y 2 t x 12 x y 12 y
h3 p h3 p ( h) ( )+ ( ) = 6 ((U h + U 0 )h ) + 6 ((Vh + V0 )h ) + 12 x x y y x y t
（11）
（11）式是广义形式上的雷诺方程，通常 V,U 以 及 h,ρ都是 x,y 的函数，故对其求偏导数时按照函数之 积的偏导数:
如图所示建立坐标系，X,Y,Z 的方向给定，其中 u,v,w 为流体在各个方向上的速度，取润滑油的主要流向与 X 轴 正向相同，则显而易见 v,w 的速度较小，而由于假设（6） ， 可以得出在 Z 方向上的速度以及速度梯度近乎为 0，层流是 相邻流体层间只有分子热运动造成的动量交换。故而可以 忽略在 Z 方向上速度分量。而由于假设（1）和假设（7） ， 可以忽略重力和惯性力，根据微元体在 X 方向上受力平 衡，有：
(uvw)' = (uv) w' + (uv)' w = (uv) w' + (uv ' + u 'v) w = uvw' + uv ' w + u 'vw
由于一般情况下密度不随着时间和位置变化，简 化假设，实际上并非如此。可以令 Vh + V0 = V , Uh + U0 = U ,
h = w h − w 0 ，得到： t
pdydz + ( + p dz ) dxdy = dxdy + ( p + dx ) dydz （1） z x
得到：
p = （2） z x
由于假设（5）和（6） ，流体必然服从于牛顿黏性定 律：
=
u （3） z
将（3）式带入（2）式，得到：
u p ( ) = （4） z z x
U0 = C2
p h 2 + C1h + U 0 x 2 p h 2 (U h − U 0 ) − = C1h x 2 (U h − U 0 ) p h C1 = − h x 2
U h =
将 C1 和 C2 回代，得到：
p ( z 2 − zh) (U h − U 0 ) z u= + + U0 x 2 h
mx = ( u + u u dx )dydz − udydz = dxdydz x x
同理,其在 Y，Z 方向上的流体质量的变化量为：
my =
mz =
v dxdydz y
w dxdydz z
假设这三个方向上的质量流向都为正，则根据质量守 恒，质量的变化量等于密度的变化量乘以体积，故而 有：
h( x, y )

0
u dz + x
h( x, y )

0
v dz + y
h( x, y )

0
w dz + z
h( x, y )
பைடு நூலகம்
0
dz = 0 t
将（7） （8）两式带入（9）式，得到：
h( x, y )

0
(U h − U 0 ) z p ( z 2 − zh) ( + + U 0 ) dz + x x 2 h (V − V0 ) z p ( z 2 − zh) ( + h + V0 ) dz + y y 2 h w dz + z
mx + m y + mz = − dxdydz t
即：
( u v w + + )dxdydz = − dxdydz x y z t
即：
u v w + + + = 0 （9） x y z t
沿润滑膜厚度方向对（9）式积分，得到：
广义雷诺方程的详细推导过程 1. 基本假设 （1） 忽略体积力（重力，磁力等）的影响 （2） 流体在界面上无滑动，即贴于表面的流体流速与 表面速度相同。 （3） 在润滑膜厚度方向上不计压力的变化，由于膜厚 仅仅为几十个微米或更小，压力不会发生明显的 变化。 （4） 与油膜厚度相比较，轴承表面的曲率半径很大， 因而忽略油膜曲率的影响，并用平移速度代替转 动速度。 （5） 润滑剂是牛顿流体，这对于一般工况下使用的矿 物油而言是合理的。 （6） 流动为层流，油膜中不存在涡流和湍流。 （7） 与粘性力相比较，可以忽略惯性力的影响，包括 流体加速的力和油膜弯曲的离心力，然而，对于 高速大型轴承而言不可忽略。 （8） 沿润滑膜厚度方向上的黏度数值不变。 2. 方程推导： 2.1 微元体平衡条件
h( x, y )
h( x, y )

0
h( x, y )

0

0
dz = 0 t
根据 w=0,以及积分和微分的互换性，得到：
x y t
h( x, y )

0 0
p ( z 2 − zh) (U h − U 0 ) z ( + + U 0 )dz + x 2 h p ( z 2 − zh) (Vh − V0 ) z ( + + V0 ) dz + y 2 h
由于黏度η不是 z 的函数，假设（8） 。p 不是 z 的函 数，假设（3） 。故而两端对 z 积分，得到;

u p = z + C1 （5） z x
在进行积分，得到：
p z 2 u = + C1 z + C2 （6） x 2
利用边界条件确定 C1 和 C2 由于界面上流体速度等于表面速度，假设（2） ，如果 两个固体表面速度为 U0 和 Uh，即当 z=0 时，u= U0，z=h 时，u= Uh，分别带入，得到：
h( x, y )

h( x, y )

0
dz = 0
（10）
对于第一行单独提出来计算：由于 p 不在 z 方向上发
生变化， p 与 z 无关，积分得到：
h( x, y) p z 3 z 2 h p (U h − U 0 ) z 2 (( − + + U 0 z) ) 0 x x 6 4 x 2h
（7）
同理，微元体在 Y 方向上的受力平衡可得到其在 Y 方 向上的速度 v 的表达式：
p ( z 2 − zh) (Vh − V0 ) z v= + + V0 y 2 h
2.2 流体连续性方程
(8)
在微元体中，其质量流量（单位时间通过某个面的质 量 kg/s）为：
m = vs
其中流速恒定，通过的面积恒定，面的邻域流体的密 度不变，方可用该公式，对于在 X 方向上微元体的流 体质量的变化量为：
6(
h3 p h3 p (Uh ) + (Vh ) + 2 (w h − w 0 )) = ( )+ ( ) x y x x y y
这就是简化的雷诺方程，一般情况下可以两边同除以ρ，再 次简化。