推导自然数立方和公式两种方法

推导自然数立方和公式两种方法自然数立方和公式是指1³+2³+3³+.+n³的公式，下面我将介绍两种推导方法。

第一种方法是利用数学归纳法来证明。

第一步，当n=1时，1³=1，所以等式成立。

第二步，假设当n=k时，公式成立，即1³+2³+3³+.+k³=k²(k+1)²/4。

第三步，当n=k+1时，(k+1)³=k³+3k²+3k+1，所以(k+1)³+1³=(k+1)³-
k³=3k²+4k+1=(k+1)²(k+2)/4。

因此当n=k+1时，公式也成立。

第四步，根据数学归纳法，我们可以得出1³+2³+3³+.+n³=n²(n+1)²/4对所有正整数n都成立。

第二种方法是利用排列组合的知识来证明。

第一步，考虑从n个不同的自然数中任取3个数的组合数。

这些组合数可以表示为C(n,3)，即从n个不同元素中取出3个元素的组合数。

第二步，根据排列组合的知识，C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6。

因此，对于任意的n，我们有C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6。

第三步，利用上述公式，我们可以得到
1³+2³+3³+.+n³=C(1,3)+C(2,3)+C(3,3)+.+C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6 + n(n-1)(n-2)/6 + n(n-1)(n-2)/6 + . + n(n-1)(n-2)/6 =n²(n+1)²/4。

因此，我们得到了自然数立方和公式为1³+2³+3³+.+n³=n²(n+1)²/4，并且利用两种不同的方法证明了该公式的正确性。