江苏省扬州市江都区真武中学等九校联谊2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (有解析)

江苏省扬州市江都区真武中学等九校联谊2019-2020学年八年级上学
期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1. 下列图案中是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 在实数−2
3、π、√3、−3.1
4、√4中无理数的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 3. 下列是勾股数的一组是( )
A. 1，3，4
B. 3，4，5
C. 4，5，6
D. 5，7，12
4. 如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD 的是( )。

A. BD =DC ，AB =AC
B. ∠ADB =∠ADC ，BD =DC
C. ∠B =∠C ，∠BAD =∠CAD
D. ∠B =∠C ，BD =DC
5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为AC 上一点，且DA =DB =5，又△DAB 的面积为10，
那么DC 的长是( )
A. 4
B. 3
C. 5
D. 4.5
6. △ABC 的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是( )
A. a =13，b =12，c =5
B. a =1.2，b =1.6，c =2
C. a =1
3，b =1
4，c =1
5 D. a =4
3，b =5
3，c =1 7. 等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是( )度．
A. 25
B. 40
C. 25或40
D. 60
8.如图，直线l1//l2//l3，一个等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，
∠ACB=90°，AC交l2于点D.已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则AB
BD
的值为()
A. 4√2
5B. √34
5
C. 5√2
8
D. 20√2
23
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9.25800=______ (精确到十位)．
10.9的平方根是______；0的平方根是______；√4=______．
11.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于
点D，DE⊥BC于E，AD=3，DC=4，
则DE=______．
12.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=
90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点
D重合，折痕为MN，则线段BN的长为
______．
13.已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走了5km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距
________km．
14.已知在△ABC中，AB=5，BC=7，BM是AC边上的中线，则BM的取值范围为____．
15.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则CB=______．
16.在△ABC中，AB=AC=8cm，∠B=60°，则BC=______cm．
17.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，
则∠CBD的度数为________°．
18. 已知，直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =20°，在直线AC 上找
一点P ，使△ABP 是等腰三角形，则∠APB 的度数为______． 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 已知x ，y 都是有理数，且满足方程：2x −√3y =6y +x
2√3−20，求x 与y 的值．
四、解答题（本大题共9小题，共88.0分） 20. 计算：−22+(1
3)−2+(π−√5)0+√−1253
．
21. 如图所示，画出△ABC 关于直线MN 的轴对称图形．
22. 如图所示，已知∠1=∠2，∠C =∠D ，求证：AC =BD ．
23.如图，已知AC、BD相交于点O，AD=BC，AC=BD，求证：OA=OB．
24.如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的
角平分线，且PD//AB，PE//AC，求△PDE的周长．
25.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点
D，交BC于点E.已知∠BAE=20°，求∠C的度数．
26.已知：如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，
点M是BC的中点，且MN⊥DE，垂足为点N
(1)求证：ME=MD；
(2)如果BD平分∠ABC，求证：AC=4EN．
27.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在线段BC上，且BE=CD，连接AD、AE，过点D作
DF⊥AE，垂足为H，交AC于点F，过点E作EG⊥AC，垂足为G．
(1)若DH=4，AD=5，HF=1，求AF的长；
(2)若∠BAC=90°，求证：AF=2CG．
28.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的
路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．
(1)当t=2时，求△ACP的面积；
(2)王老师提出一个问题：“当t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？”聪明的小亮通过探索，
得到如下思路：第一步：连结AP，若AP平分∠CAB，则点P在CB边上．过点P作PD⊥AB，垂足为D，则△ACP≌△ADP，这时可求得AD，DB的长；第二步：在△PDB中，根据勾股定理，建立关于t的方程，通过解方程可求出t的值．请你根据小亮的思路，在备用图1中补全图形，并求出t的值；
(3)请你利用备用图2来继续探索：当t为何值时，△ACP是等腰三角形？(直接写出结论)
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：A、不是轴对称图形，本选项错误；
B、是轴对称图形，本选项正确；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、不是轴对称图形，本选项错误．
故选B．
结合轴对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.答案：B
解析：解：π、√3是无理数，
故选：B．
根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
3.答案：B
解析：解：A、∵12+32≠42，∴此选项不符合题意；
B、∵42+32=52，∴此选项符合题意；
C、∵42+52≠62，∴此选项不符合题意；
D、∵52+72≠122，∴此选项不符合题意．
故选：B．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
本题考查了勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可．
4.答案：D
解析：解：A∵.BD=DC，AB=AC，AD=AD∴根据SSS可以判定△ABD≌△ACD；
B.∵∠ADB=∠ADC，BD=DC，AD=AD∴根据SAS可以判定△ABD≌△ACD；
C.∵∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴根据AAS可以判定△ABD≌△ACD；
D .∵∠B =∠C ，BD =DC ，AD =AD ∴根据SSA 不可以判定△ABD≌△ACD ； 故选(D)
全等三角形的判定取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：不存在SSA 这样一种判定方法．
5.答案：B
解析：
本题考查的是三角形的面积，勾股定理有关知识，在Rt △ABC 中，∠C =90°得出BC 是△DAB 的高，然后再利用三角形的面积及勾股定理进行解答即可． 解：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°， ∴BC ⊥AC ，即BC 是△DAB 的高， ∵△DAB 的面积为10，DA =5， ∴1
2DA ·BC =10， ∴BC =4，
∴CD =√BD 2−BC 2=√25−16=3． 故选B ．
6.答案：C
解析：解：A 、因为52+122=132，所以是直角三角形； B 、因为1.22+1.62=22，所以是直角三角形； C 、因为(1
4)2+(1
5)2≠(1
3)2，所以不是直角三角形； D 、因为(4
3
)2+(1)2=(5
3
)2，所以是直角三角形．
故选C ．
根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7.答案：C
解析：解：当顶角为50°时，底角为(180°−50°)÷2=65°． 此时它的一条腰上的高与底边的夹角为90°−65°=25°．
当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为90°−50°=40°
故选C．
当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想．
8.答案：A
解析：
本题主要考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，平行线分线段成
比例的有关知识，先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2//l3，求出DG即可．
解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG=1，EG=BF=3，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
{∠BFC=∠CEA ∠CBF=∠ACE BC=AC
，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE=BF=3，CF=AE=4，∴BG=EF=CF+CE=7，
∴AB=√BG2+AG2=5√2，∵l2//l3，
∴DG
CE =1
4
，
解得：DG=3
4
，
∴BD=BG−DG=7−3
4=25
4
，
∴AB
BD =4√2
5
．
故选A．
9.答案：2.580×104
解析：解：25800=2.580×104(精确到十位)．
故答案为2.580×104．
先利用科学记数法表示，然后把个位上的数0四舍五入即可．
本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
10.答案：±3；0；2
解析：
本题考查了平方根以及算术平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义，算术平方根的定义分别填空即可．
解：9的平方根是±3；
0的平方根是0；
√4=2．
故答案为：±3，0，2．
11.答案：3
解析：解：∵∠A=90°，
∴DA⊥BA，
又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
∴DE=AD，
∵AD=3，
∴DE=3，
故答案为：3．
根据角平分线的性质得到DE=AD=3．
本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12.答案：4
解析：
本题考查了翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9−x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9−x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BND中，x2+32=(9−x)2，
解得x=4．
故线段BN的长为4．
故答案为：4．
13.答案：√34
解析：
此题主要考查学生对勾股定理的理解及实际生活中的运用．因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角．两人走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离．
解：如图，
∵∠AOB=90°，OA=4km，OB=3km
∴AB=√AO2+BO2=√34．
故答案为√34．
14.答案：1<BM<6
解析：
本题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.延长BM到D，使BM=DM，连接AD，通过证明△BMC≌△DMA，可得BC=AD，根据三角形的三边关系，得出即可．
解：如图，延长BM到D，使BM=DM，连接AD，
∵BM是中线，
∴AM=CM，∠BMC=∠DMA，
∴△BMC≌△DMA(SAS)，
∴BC=AD=7，
∴AD−AB<BD<AD+AB，
∴7−5<BD<7+5，
即2<BD<12，
∴1<BM<6．
故答案为1<BM<6．
15.答案：2√7
解析：
本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线的性质，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
由直角三角形斜边上的中线性质得出AB=8，由勾股定理求出CB即可．
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，
∴AB=2CD=8，
∴CB=√AB2−AC2=√82−62=2√7;
故答案为：2√7．
16.答案：8
解析：解：∵在△ABC中，AB=AC=8cm，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=8cm．
故答案为：8．
由在△ABC中，AB=AC=8cm，∠B=60°，可判定△ABC是等边三角形，继而可求得答案．
此题考查了等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形定理的应用是解此题的关键．
17.答案：45
解析：
此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，利用线段的垂直平分线的性质得出∠A=∠ABD=30°是解题的关键．
根据三角形的内角和定理，求出∠ABC=∠ACB=75°，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，从而得出∠CBD=45°．
解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC =∠ACB =75°，
∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，
∴AD =BD ，
∴∠A =∠ABD =30°，
∴∠CBD =∠ABC −∠ABD =75°−30°=45°．
故答案为45．
18.答案：10°或20°或80°或140°
解析：解：
∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAC =20°，
∴当AB =BP 1时，∠BAP 1=∠BP 1A =20°，
当AB =AP 3时，∠ABP 3=∠AP 3B =12∠BAC =
1
2×20°=10°，
当AB =AP 4时，∠ABP 4=∠AP 4B =12×(180°−20°)=80°，
当AP 2=BP 2时，∠BAP 2=∠ABP 2，
∴∠AP 2B =180°−20°×2=140°，
∴∠APB 的度数为：10°、20°、80°、140°．
故答案为：10°或20°或80°或140°．
分四种情况：①AB =BP 1时，②当AB =AP 3时，③当AB =AP 4时，④当AP 2=BP 2时，分别讨论，根据等腰三角形的性质求出答案即可．
此题主要考查了等腰三角形的判定，分类讨论思想的运用是解题关键．
19.答案：解：∵2x −√3y =6y −20+x
2√3，
∴{2x =6y −20−y =x 2
， 解得：{x =−4y =2
．
解析：根据已知等式列出方程组，求出方程组的解即可得到x 与y 的值．
此题考查了实数的运算，以及解二元一次方程组，列出正确的方程组是解本题的关键． 20.答案：解：原式=−4+9+1−5
=1．
解析：直接利用零指数幂的性质和立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
21.答案：解：如图所示：△A′B′C′即为所求．
解析：分别得出A ，B ，C 点关于直线MN 的对称点，进而得出答案．
此题主要考查了轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．
22.答案：证明：在△ABC 和△BAD 中，
{∠C =∠D ∠2=∠1AB =BA
，
∴△ABC≌△BAD ，
∴AC =BD ．
解析：本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是准确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
欲证明AC =BD ，只要证明△ABC≌△BAD 即可；
23.答案：证明：在△ABD 和△BAC 中，
∵{AD =BC AC =BD AB =BA
, ∴△ABD≌△BAC(SSS)，
∴∠ABD =∠BAC ，
∴OA =OB ．
解析：本题考查全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题关键.首先利用SSS 证得△ABD≌△BAC ，根据全等三角形的性质得出∠ABD =∠BAC ，再根据等腰三角形的性质即可得证．
24.答案：解：∵BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，
∴∠ABP =∠PBD ，∠ACP =∠PCE ，
∵PD//AB ，PE//AC ，
∴∠ABP =∠DPB ，∠ACP =∠CPE ，
∴∠PBD =∠DPB ，∠PCE =∠CPE ，
∴BD =PD ，EC =PE ，
∵BC =5cm ，
∴△PDE 的周长为：PD +DE +PE =BD +DE +EC =BC =5(cm)．
解析：由BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD//AB ，PE//AC ，易证得△PBD 与△PCE 是等腰三角形，继而可求得△PDE 的周长．
此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
25.答案：解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠C=∠EAC，
∴∠CAB=∠EAC+20°=∠C+20°，
∵∠C+∠CAB=90°，
∴2∠C+20°=90°，
∴∠C=35°；
解析：由线段垂直平分线的性质可求得∠EAC=∠C，再结合三角形内角和定理可求得∠C；
本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
26.答案：证明：(1)∵BD是边AC上的高，
∴∠BDC=90°，
∵点M是BC的中点，
∴DM=1
2
BC，
同理，EM=1
2
BC，
∴ME=MD；
(2)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，．
∵BD是边AC上的高，
∴∠ADB=∠CDB=90°．
在△ABD和△CBD中，
{∠ABD=∠CBD BD=BD
∠ADB=∠CDB
，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，∴AD=CD，
∵CE是边AB上的高，
∴∠CEA=90°，
∴AC=2ED，
∵ME=MD，MN⊥DE，∴DE=2EN，
∴AC=4EN．
解析：(1)根据直角三角形的性质得到DM=1
2BC，EM=1
2
BC，等量代换即可证明；
(2)证明△ABD≌△CBD，根据全等三角形的性质得到AD=CD，根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质证明．
本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
27.答案：(1)解：在Rt△ADH中，∵AD=5，DH=4，
∴AH=√52−42=3，
在Rt△AHF中，AF=√AH2+FH2=√32+12=√10．
(2)证明：作DM⊥AC于M．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°
∵BE=CD，
∴△ABE≌△ACD，
∴AD=AE，∠BAE=∠CAD，
∴∠CAE=∠BAD，
∵AE⊥DF，
∴∠AHF=90°，
∵∠DAF=90°−∠BAD，∠DFA=90°−∠CAE，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DA=DF，
∴AE=AD，
∵AB//DM，∴∠ADM=∠BAD=∠EAG，
∵∠AMD=∠AGE=90°，
∴△DAM≌△AEG，
∴AM=GE，
∵∠C=45°，EG⊥AC，
∴△GEC是等腰直角三角形，
∴EG=CG，
∵AD=DF，DM⊥AF，
∴AM=FM，
∴AF=2CG．
解析：(1)利用勾股定理即可解决问题；
(2)作DM⊥AC于M.想办法证明DA=DF，△DAM≌△AEG即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28.答案：解：(1)∵AC=6cm，PC=2×2=4cm，
∴S△ABC=1
2AC⋅PC=1
2
×6×4=12cm2；
(2)如图1，∵∠C=90°，
∴AB=√AC2+BC2=10，
根据题意得：△ACP≌△ADP，
∴AD=AC=6cm，BD=AB−AD=4cm，
PD=PC=2t，
∴PB=8−2t，
在R t△PDB中，PD2+BD2=PB2，
∴(2t)2+42=(8−2t)2，
解得：t=1.5；
(3)①如图2，若P在边BC上时，AC=CP=6cm，
此时用的时间为3s，△ACP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
(i)如图3，
若使AP=CA=6cm，此时BP=4cm，P运动的路程为8+4=12cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii)如图4，
若CP=AC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD=3.6，
所以AP=2PD=7.2cm，
所以P运动的路程为18−7.2=10.8cm，
则用的时间为5.4s，△ACP为等腰三角形；
ⅲ)如图5，
若AP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为8+5=13cm
则所用的时间为6.5s，△ACP为等腰三角形．
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△ACP为等腰三角形．
解析：(1)根据速度为每秒2cm，求出出发2秒后CP的长，然后根据面积公式即可得到结果；(2)如图1，由勾股定理得到AB=√AC2+BC2=10，根据已知条件得到△ACP≌△ADP，于是得到AD=AC=6cm，BD=AB−AD=4cm，根据勾股定理列方程即可得到结论；
(3)①如图2，若P在边BC上时，AC=CP=6cm，此时用的时间为3s，△ACP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：(i)若使AP=CA=6cm，此时BP=4cm，P运动的路程为8+4= 12cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii)若CP=AC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD=3.6，所以AP=2PD=7.2cm，
所以P运动的路程为18−7.2=10.8cm，则用的时间为5.4s，ACP为等腰三角形；ⅲ)若AP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为8+5=13cm，则所用的时间为6.5s，△ACP为等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了勾股定理和分类讨论的思想．。