3.4函数单调性与极值

3.4 函数单调性与极值
3.4.1 函数的单调性 3.4.2 函数的极值 3.4.3 函数的最值
3.4.1 函数的单调性
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理3.8 设函数 y f ( x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 3
x ( , 1) 1 (1 , 3) 3 (3, )
f ( x)
0 0
f (x)
3
61
故 的单调增区间为( , 1],(3, ); 的单调减区间为 (1 , 3].
3.4.2 函数的极值
(D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
. 确定函数
的单调区间.
解: f ( x) 6x2 12x 18 6( x 3)( x 1)
来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导
数的符号. 注意1：导数等于零的点和不可导点，都可能是 单调区间的分界点． 注意2:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例1 求函数
f ( x) 1 x5 1 x3的单调区间. 53
解 函数f(x)的定义域为 (-，+)
f ( x) x4 x2 x2( x 1)( x 1),
导（. 1）如果在(a,b)内f ( x) 0，那末函数 y f ( x)
在[a,b]上单调增加； (2) 如果在(a,b)内 f ( x) 0，
那末函数 y f ( x)在[a,b]上单调减少.
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 ,应用Lagange定理,得
注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, f ( x) x3 , f (0) 0, 但x 0不是函数的极值点.
定理3.10(第一充分条件) o
设f ( x)在x x0连续，在U( x0 , )内可微 (1)如果x(x0-，x0),有 f (x) 0,而x(x0，x0+),
从而，当x ( x0 0 , x0 )时
f ( x) 0,
当x ( x0 , x0 0 )时 f ( x) 0.
由第一充分条件，函数 f ( x)在 x0处取得极大值
例7 求函数 f(x)=-x4 + 2x2 的极值. 解 定义域：(-，+)， f ( x) 4x3 4x 4x( x 1)( x 1), 令f ( x) 0, 驻点为 x1=-1， x2=0，x3=1 f ( x) 12x2 4,
注意:
1、函数的极值是一个局部性的概念。
2、函数在间断点和不可微但连续的点 也可能取得极值。
3、可微函数极值点处导数为0。 4、极值点不能取值在区间端点。
定理3.9(必要条件)设 f ( x)在U ( x0 , )内可导，且
x0是 f ( x)的一个极值点,则必有 f ( x0 ) 0. 使f ( x)一阶导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根) 称为函数 f ( x) 的驻点.
证
2 p1 设 f ( x) x p (1 x)p ,0 x 1 f ( x) C[0,1].
f ( x) px p1 p(1 x) p1 ,
令f ( x) 0，得驻点x 1 ,计算得 2
f (0) 1, f (1) 1 , f (1) 1, 2 2 p1
有 f (x) 0, 则 f(x) 在 x0 处取得极大值； (2)如果x(x0-，x0),有 f (x) 0,而x(x0，x0+),
有 f (x) 0, 则 f(x) 在x0处取得极小值；
(3)如果当x(x0-，x0)及x(x0，x0+)时, f ( x) 符号相同,则在处 x0 无极值.
f (1) 8 0, f (0) 4 0, f (1) 8 0,
函数的极大值为 f(-1)=1， f(1)=1 极小值为f(0)=0.
定理3.12 设f(x)在U(x0,)内具有n 阶连续导数，且
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1) ( x0 ) 0, 而f (n) ( x0 ) 0, 则 (1)当 n 为偶数时， f(x0)是极值；当f (n) ( x0 ) 0时, f(x0)为极大值，当f (n) ( x0 ) 0时, f(x0)为极小值.
(2)当 n 为奇数时， f(x0)不是极值；
例3 求 f(x)=(x2-1)3+1的极值.
解 f ( x) 6x( x2 1)2 , 驻点 x1=-1, x2=0,x3=1 f ( x) 6( x2 1)(5x2 1), f (1) 0, f (1) 0,
f ( x) 24x(5x2 3), f (1) 48,, f (1) 48, f(-1)= f(1)=1不是极值. f (0) 6 0, f(0)=0是极小值.
x
g( x) x cos x sin x cos x ( x tan x) 0
x2
x2
思考与练习
1. 设在[0,1] 上 f ( x) 0, 则 f (0), f (1), f (1) f (0) 或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0)
令f ( x) 0，解得x1 1，x2 0，x3 1， 列表分析
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
f (x) 0 0 0
f (x) 增
2减
15
0
减
2 15
增
所以函数f ( x)(,1][1,)上单调递增，
在[1，1]上单调递减.
单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例2
解
y y 3 x2
o
x
例3. 证明
证: 令 f ( x) 1 x ln( x 1 x2 ) 1 x2 , 则f (0) 0
且
f ( x) ln( x
1 x2) x x
1 1

x2
1

x 1
证 只证明情形(1)，情形(2)类似.

f
( x0
)

lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
lim f ( x) xx0 x x0
0
存在 0，当x ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 )时, 有
f ( x) 0 x x0
定理3.12 设 f(x)在U(x0，)内具有n 阶导数，且
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1) ( x0 ) 0, 而f (n) ( x0 ) 0, 则 (1)当 n 为偶数时， f(x0)是极值；当f (n) ( x0 ) 0时, f(x0)为极大值，当f (n) ( x0 ) 0时, f(x0)为极小值.
(2)当 n 为奇数时， f(x0)不是极值；
例3 求 f(x)=(x2-1)3+1的极值.
解 f ( x) 6x( x2 1)2 , 驻点 x1=-1, x2=0,x3=1 f ( x) 6( x2 1)(5x2 1), f (1) 0, f (1) 0,
f ( x) 24x(5x2 3), f (1) 48,, f (1) 48, f(-1)= f(1)=1不是极值. f (0) 6 0, f(0)=0是极小值.
f ( x) 不存在 0 不存在
f (x) 增
增 极大 减 极小 增
x 0不是f ( x)的极值点.
f极大（13）
3
4； 3
f极（ 小 1） 0.
当函数 f ( x) 在驻点处的二阶导数存在且不为零时， 也可以利用定理3.11 来判别 f ( x) 在驻点处是取极 大值还是取极小值. 定理3.11(第二充分条件)设 f ( x) 在 x0处具有二阶导 数,且 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则 (1) 当 f ( x0 ) 0 时 函数 f ( x) 在 x0 处取得极 大值; (2) 当 f ( x0 ) 0 时 函数 f ( x) 在 x0 处取得极 小值.
3.4.3 函数的最值
求一个函数 y = f (x)在区间[a, b]上的最值, 只需将 函数在该区间的不可导点的值、驻点的值以及端点的值 进行比较即可.
例9 求函数 y = 2x3 + 3x2 – 12x +14的在[–3, 4]上的 最大值与最小值.
解 f ( x) 6x2 6x 12 6( x 2)( x 1)
比较大小得， M f (0) f (1) 1;m f (1) 1 . 2 2 p1
1 x p (1 x)p 1 2 p1
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
单调区间的求法
有些函数在定义区间上不是单调的，但在各个 部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 求法：用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点
y
y

x0oBiblioteka x0(是极值点情形)
xo
x
y

y

o
x0
xo
求极值的步骤:

x0
x
(不是极值点情形)
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
(4) 求极值.
1
2
例6 求函数 f ( x) x3 (1 x)3的极值.
解 函数的定义域为 (-，+)，
f
( x)

1 3
2
x 3 (1
2
x ) 3
2 3
1
x 3 (1

1
x) 3

1 3
2
x 3 (1
1
x) 3 (1
3x)
x
=0，x
=1是函数的连续但不可导点，
x

1 是驻点. 3
x
(,0) 0
(0, 13)
1 3
(
1 3
,1)
1
(1,)
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0, 若在(a,b)内，f ( x) 0,
则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
x2

x 1 x2
ln( x 1 x2 ) 0
即
例4.证明 不等式
证: 设 f ( x) x sin x , f ( x) 1 cos x 0 ,
f ( x) f (0) 0 ,
sin x x.
设 g( x) sin x 2 ,
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算
f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142.
比较得最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
例10 设0 x 1, p 1,证明不等式
1 x p (1 x)p 1