2018届高考数学黄金考点精析精训考点11三角化简与求值理

考点11 三角化简和求值
【考点剖析】
1.最新考试说明：
（1）利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点． （2）考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用． （3）考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 2.命题方向预测：
（1）考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值. （2）公式逆用、变形应用是高考热点． （3）题型以选择题、解答题为主. 3.课本结论总结：
（1）同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin 2
α＋cos 2
α＝1； ②商数关系：sin α
cos α＝tan α.
（2）诱导公式
公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝αcos ，其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝αsin -，cos(π＋α)＝αcos -， tan(π＋α)＝tan α.
公式三：sin(－α)＝αsin -，cos(－α)＝αcos . 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝αcos -. 公式五：)2
sin(απ
-＝αcos ，)2
cos(απ
-＝sin α. 公式六：)2
sin(
απ
+＝αcos ，)2
cos(
απ
+＝αsin -
诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限 (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
①C (α－β)：cos(α－β)＝βαβαsin sin cos cos +； ②C (α＋β)：cos(α＋β)＝βαβαsin sin cos cos -； ③S (α＋β)：sin(α＋β)＝βαβαsin cos cos sin +； ④S (α－β)：sin(α－β)＝βαβαsin cos cos sin -； ⑤T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
；
⑥T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β.
(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①S 2α：sin 2α＝ααcos sin 2；
②C 2α：cos 2α＝cos 2
α－sin 2
α＝2cos 2
α－1＝1－2sin 2
α； ③T 2α：tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α. 4.名师二级结论：
（1）有关公式的逆用、变形等
①tan α±tan β＝)tan tan 1)(tan(
βαβα +； ②cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2
α＝1－cos 2α2
；
③1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
，
)4
sin(2cos sin π
ααα+
=+.
（2）函数αααsin cos )(b a f +=(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2
＋b 2
sin(α＋φ)或f (α)＝
a 2＋
b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．
（3）三种方法
在求值与化简时，常用方法有：
①弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin α
cos α
化成正、余弦．
②和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2
＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． ③巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2
θ)＝tan π4＝….
（4）三个防范
①利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
②在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． ③注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 5.课本经典习题：
(1)新课标A 版第64 页，第 A8 题（例题）已知3tan =α，计算： （1）
α
αααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）ααcos sin ；（3）2
)cos (sin αα+
【经典理由】弦化切的典型例题.
(2)新课标A 版第 130 页，第 例4（3）题（例题）求值：00
15tan 115tan 1-+
【解析】360tan )1545tan(15
tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 10
000
00000==+=-+=-+ 【经典理由】”1“的巧用与”变式“的有机结合.
(3)新课标A 版第 137页，第A5题（例题）已知5
3)30sin(0
=
+α,0
015060<<α,求αcos 的值. 【解析】0015060<<α ，0
001803090<+<∴α；又53)30sin(0=+α ，5
4)30cos(0-=+∴α；
则[
]
0000
030sin )30sin(30cos )30cos(30)30(cos cos αααα+++=-+=
10
3
4321532354-=⨯+⨯-=.
【经典理由】1.求三角函数值时，要注意角的范围；2.注意用已知角表示所求角. 6.考点交汇展示：
(1)与三角函数的图像与性质的交汇 1.【2017课标3，文6】函数1ππ
()sin()cos()536
f x x x =++-的最大值为（ ） A ．
6
5
B ．1
C ．3
5
D ．15
【答案】A
【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-
=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ ，
则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=
+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为
6
5
. 2.【2018届福建省三明市第一中学高三上第一次月考】已知向量
，
，函数的最大值为.
(1)求的大小；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，作出函数在的图象．
【答案】(1)；(2)图象见解析.
试题解析：(1) ＝Asin xcos x＋cos 2x＝A(sin 2x＋cos 2x)
＝Asin(2x＋)．因为f(x)的最大值为6，A>0，所以A＝6.
(2)由(1)得f(x)＝6sin(2x＋)．将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝6sin[2(x＋)＋]＝6sin(2x＋)的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝6sin(4x＋)的图象．因此
的图像如图所示.
(2)与函数的奇偶性、单调性的交汇
1.【2017浙江，18】已知函数f （x ）=sin 2
x –cos 2
x –x cos x （x ∈R ）．
（Ⅰ）求)3
2(
π
f 的值． （Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]3
2,
6
[ππ
ππ
． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由函数概念3
2cos 32sin 3232cos 32sin )32(
22πππππ--=f ，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得)sin(ϕω+=x A y ，结合ω
π
2=T 可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增
区间．
2.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】设函数
.
（1）求函数的最小正周期及最大值； （2）求函数
的单调递增区间.
【答案】（1），（2）
【解析】试题分析：（1）化简为,周期最值易得解, （2）
利用整体思想令解得x 的范围即可.
试题解析： （1）
，
∴，.
（2）由
，
，
.
(3)与一元二次方程的交汇
【2016高考上海文数】方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ .
【答案】
566
ππ
或 【解析】3sinx 1cos 2x =+，即23sinx 22sin x =-，所以2
2sin x 3sinx 20+-=，解得1
sinx 2
=
或sinx 2=-（舍去），所以在区间[]π2,0上的解为566
π
π或
. （4）与平面向量的交汇
【2017江苏，16】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b
（1）若a ∥b ,求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.
【答案】（1）5π
6
x =
（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π
6
x =
时，取得最小值，为-.
（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6
f x x x x x x =⋅=⋅==+
a b . 因为
，所以ππ7π[,]666
x +
∈，
从而π1cos()62
x -≤+≤
. 于是，当ππ
66x +
=，即0x =时，取到最大值3；
当π6x +=π，即5π6
x =时，取到最小值-.
【考点分类】
热点一 利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值
1.【2018届山东、湖北部分重点中学高三第一次联考】已知,αβ均为锐角，
【答案】A
A 2.已知tan 2α=-，()1
tan 7
αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3
【解析】12
tan()tan 7tan tan() 3.2
1tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 【方法规律】
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的. (1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
(2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用. 【解题技巧】
在运用两角和与差的三角公式进行化简或求值时，要注意以下三个变换技巧： （1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其方法通常是“配凑”，如：
3
)3
(π
παα-+=,)()(2βαβαα-++=,)()(2βαβαβ--+=等
例.设α为锐角，若3cos 65πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ . .
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其方法通常为“化切为弦”等， 例.新课标A 版第146 页，第 A5(2) 题（例题）计算)310(tan 40sin 00-. 【答案】-1
【解析】)10
cos 10cos 310sin (40sin )310cos 10sin (40sin )310(tan 40sin 00
00000
-=-=- 110
cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40cos 40sin 20
00000-=-=-=-= （3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”（同上例中)10cos 2
3
10sin 2
1
(210cos 310sin 00
-
=- )1030cos(2)10sin 30sin 10cos 30(cos 2)10cos 30cos 10sin 30(sin 20000000000+-=--=-=）
【易错点睛】
在化简与求值时，一定要注意“所求角”与“已知角”的内在联系，往往起到“事半功陪”的效果. 例.已知3sin 25α=
(2)2π
απ<<，1tan()2
αβ-=，则tan()αβ+=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．211- D ．2
11
【答案】A
【解析】可得4cos 25α=-
，则3tan 24
α=-， tan 2tan()
tan()tan[2()] 2.1tan 2tan()
ααβαβααβααβ--+=--=
=-+-
热点二 利用倍角公式以及诱导公式求值
1.【2016高考山东理数】函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（ ）
（A ）
2
π
（B ）π （C ）
2
3π
（D ）2π
【答案】B
【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=+
⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
,故最小正周期22T ππ==,故选B. 2.【2016高考浙江理数】已知2cos 2
x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________．
1
【解析】22cos sin 2)14
x x x π
+++，所以 1.A b ==
【方法规律】
一、利用诱导公式化简求值时的原则
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得. 二、利用倍角公式化简求值
二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝ 2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现． 【解题技巧】
(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝α＋β2－α－β2；α－β
2＝)2
()2(βαβα+-+.
(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等 【易错点睛】
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
例.已知α是锐角，且1cos()63π
α+
=，则5sin(2)6
πα+的值为____________.【答案】7
9-
【解析】5sin(2)6πα+
sin[2()]62ππα=++cos 2()6πα=+22cos ()16
πα=+-79=-. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．
例.设1
sin 44
πθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则sin 2θ=（ ） A ．7
8 B ．18 C ．1
8-
D ．78-
【答案】D ．
【解析】由已知及倍角公式得217sin 2cos 212sin 12.24168ππθθθ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+=--+=-+⨯=-
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦．
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 例.新课标A 版第138 页，第 A19(3)题（例题）化简：x x x 2cos cos sin 【答案】
1
sin 44
x 【解析】x x x x x x x x x x x 4sin 4
1
42cos 2sin 222cos 2sin 22cos cos sin 22cos cos sin ====
.
【热点预测】
1.【2018届安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】
A. B. -1 C. D. 1
【答案】D 【解析】，
故选：D.
2.【2016高考浙江文数】设函数2
()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B
3.【2016高考新课标3理数】若3tan 4
α=
，则2
cos 2sin 2αα+=（ ）
(A)
6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625
【答案】A 【解析】由3
tan 4
α=
，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以
2161264
cos 2sin 24252525
αα+=
+⨯=，故选A ． 4.已知1sin 23α=，则2cos ()4
πα-=( ) A ．
13 B ．13- C ．2
3 D ．2
3
-
【答案】C
【解析】22sin 1222cos 14cos 2απαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-322311=+
=，故选C. 5.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2sin 4παα⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则sin 2α的值为（ ） A.
118 B.118- C.1718 D.1718
- 【答案】D
6.【2017课标II ，理14】函数()2
3sin 4f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是 。

【答案】1 【解析】
7.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1
sin 3
α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79
- 【解析】
8.已知A 是角α终边上一点，且A 点的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则
2
1
2sin cos cos ααα
+＝ ． 【答案】
2533
【解析】由题意34cos ,sin 55αα=
=，因此221125
4332sin cos cos 332()555
ααα
==
+⨯⨯+． 9.【【百强校】2017届河北武邑中学高三上学期周考】
的值为__________.
两式
10.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+
π4)=35,则tan(θ–π
4
)= . 【答案】4
3
-
【解析】由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+
=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛
⎫=-= ⎪⎝⎭, 因为2222k k θ3ππ+
<<π+π()k ∈Z ,所以722444
k k θ5πππ
π+<-<π+()k ∈Z , 从而4sin 45θπ⎛⎫-
=- ⎪⎝
⎭,因此4tan 43θπ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭．故填43-． 11.【【百强校】2017届河北武邑中学高三上学期周考】
的值.
【答案】当α为第一象限角时，
；当α为第二象限角时，
∴α为第一或第二象限角.
当α为第一象限角时，
当α为第二象限角时，
12.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点,,A B C 均在单位圆上,已知点A 在第一象限的横坐标是3
,5
点B 在第二象限,点()1,0.C
（1）设,COA θ∠=求sin 2θ的值； （2）若AOB ∆为正三角形,求点B 的坐标
【答案】()
24
125()2B ⎝⎭
13. 【2017山东，理16】设函数()sin()sin()62f x x x π
πωω=-+-，其中03ω<<.已知()06
f π
=.
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平
移
4
π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ
-上的最小值. 【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值3
2
-.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3
x π
ω=-
由题设知()06
f π
=及03ω<<可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3
f x x π
=-
从而()))4312
g x x x πππ
=+
-=-. 根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233
x πππ
-∈-，进一步求最小值. 试题解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62
f x x x π
π
ωω=-
+-，
所以1
()cos cos 2
f x x x x ωωω=
--
3
cos 2
x x ωω=
-
1
sin )2x x ωω=
)3
x π
ω=-
由题设知()06
f π
=，
所以
6
3
k ωπ
π
π-
=，k Z ∈.
故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=.
14.如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，
且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3
π
，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ． （Ⅰ）若3
1
1=
x ，求2x ； （Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．
【答案】（Ⅰ）21cos()cos 32x π
=+=
=
αα-α．（Ⅱ）4π=α． 【解析】（Ⅰ）由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3
x π
=+α．………………2分 因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3
=
α，
所以 sin 3
==
α． ………………3分
所以 21cos()cos 32x π=+==
αα-α． ………………5分。