一元四次方程-16.04.05

(5)
时，有
1
第1章
一元四次方程
1 2 by d 1 1 2 2 1 2 x bx y b c y x 2 2 4 1 2 2 b c y 4
可知：
2
(6)
by 2d 2 x 2 bx y x b 2 4 y 4c (7) b 2 4 y 4c 费拉里法就是首先把公式(5)中的 y 求解出来（一元三次方程） ，然后再求 x 解上式中的 （两个一元二次方程） 。
xk
b 1
k 2
8 b2 c 3
4
k 1, 2,3, 4
(20)
当 m 0 时，首先按下式计算 n by 2d n m 然后即可求得一元四次方程的四个根：
(21)
b m x 1 b m x 2 b m x3 x b m 4
xn
b 1
n 2
8 b2 c 3
4
n 1, 2,3, 4
(27)
8 2 上式相当于公式(24)中的 m T 0, S b c 3
6
第1章
一元四次方程
3 求根公式（四次项系数不为零）
或
b 2 2 y0 c 3 y0 d 2 y0 y0 e y2 4 0
(10)
将上式和 y y0 代入方程(4)可得：
2
第1章
一元四次方程
2 1 1 c 2 x 2 bx y0 0 2 x 2 bx 0 4 4 3
上式右端是一个关于 x 的一元二次方程，当 1 1 1 by d 4 b 2 c y y 2 e 2 4 4
3 2 2 2 2
2
(4)
y cy bd 4e y 4c b e d 0
费拉里法 .............................................................................................................1
求根公式（四次项系数为一） .........................................................................6 求根公式（四次项系数不为零） .....................................................................7 求根公式（维基百科） .....................................................................................8 求根公式（MATLAB） .....................................................................................8
2 2i 2 2i 1
4
2 2i 2 2i
4
8 2i 8 2i

2 2i 2 2i 1
4
2 2i 2 2i
4
2

2 2i 2 2i i
(17)
k 1, 2,3
1 1 3 i n 2 2 1 3 i 2 2
n 0,3, 6, ,3m, n 1, 4, 7, ,3m 1, n 2,5,8, ,3m 2,
(18)
将 y y1 , y y2 , y y3 分别代入 m b 2 4 y 4c ，就能得到三组 y, m 。 请选择 m 最大或 m 0 的一组作为 y, m 的数值。
(12)
Q
(13) (14) (15) (16)
D Q 2 P3
u 3 Q D （取模的较大值）
v P u （u 为零，则 v 也取值为零）
y 有三种取法：
y1 u v c 3 y u 2 v c 3 2 2 y3 u v c 3 4k k 1 yk u v c 3 上式中
(25)
8 2 k 1 4k m b c 4 u v 3 16 2 k 1 4 k S 2b c 4 u v 3 8bc 16d 2b3 T m
(26)
上式中 k 可取值 1, 2,3 。取值时最好选择 m 最大的，这样计算 T 时数值就比 较稳定了。如果 k 取值 1, 2,3 时 m 始终为零，则求根公式应该改为：
4
1.4.2 算例 2
求解 x 1 0 x 4 4 x3 6 x 2 4 x 1 0
4
上式 b 4, c 6, d 4, e 1
P 0, Q 0, D 0, u 0, v 0 y 有三重根 y1 y2 y3 u v c 3 2 ，此时 m 0 。因此：
b m
4
2
8 y n 8 y n 8 y n 8 y n (22)
b m
4
2
b m
4
2
b m
4
2
写成通解形式就是
b 1
k 2
xk
m 1
k 1
k 2 k 2 b 1 m 8 y 1 n 4
1.2 特殊情况
2 方程(5)一般有三个根，一般情况下选取 b 4 y 4c 最大的 y 即可。 2 但是有一种情况， 那就是方程(5)三个根的 b 4 y 4c 均为零。 这意味着方
程(5)有三重根，假定这个根为 y0 。方程(5)就应该是：
y y0
3
2 3 0 y 3 3 y0 y 2 3 y0 y y0 0
2 2
(2)
(3)
1 2 2 1 上式两边再加上 x bx y y ，可得 2 4 1 1 2 2 1 2 1 1 2 x bx y b c y x by d x y e 2 2 4 2 4
I
第1章
一元四次方程
第 1 章 一元四次方程
1 费拉里法
历史上第一个被明确记载的一元四次方程求根方法就是费拉里法。本节将 对其进行说明。
1.1 算法思路
一元四次方程
x 4 bx3 cx 2 dx e 0
可变换为下 dx e
1 上式两边加上 bx 可得： 2 2 1 1 2 2 x bx b c x dx e 2 4
一元四次方程
Hanford 2016 年 04 月 05 日
目
录
目 录
第1章 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 3 4 5 一元四次方程 ...............................................................................................1 算法思路 ........................................................................................................1 特殊情况 ........................................................................................................2 计算公式 ........................................................................................................3 算例 ................................................................................................................4
2
(11)
也就是说：方程(5)有三重根 y0 时，只要求解上式即可。
1.3 计算公式
费拉里法求解一元四次方程 x 4 bx3 cx 2 dx e 0 的计算公式如下：
P
c 2 12e 3bd 9 27d 2 2c3 27b 2e 72ce 9bcd 54
2
(23)
1.4 算例
1.4.1 算例 1
4
第1章
一元四次方程
求解 x 4 1 0 上式中 b c d 0, e 1
4 8 2 2 P , Q 0, D ,u ,v 3 3 3 3 3
y 取 y1 u v c 3 0 时， m 0 。 y 取 y2 u 2 v c 3 2i ，则
b 1
n 2
m 1 4
n 1
S 1
n 2
T
n 1, 2,3, 4
(24)
上式中
m b 2 4 y 4c 2 2 S b m 8y T 8n 2bm
k 1 4k 将 y yk u v c 3 代入上式，可得
x1,2 b b 2 8 y 1 4
5
第1章
一元四次方程
x3,4
b b 2 8 y 1 4
2 求根公式（四次项系数为一）
对费拉里法求得的通解，即公式(23)做个变形，就得到了一元四次方程
x 4 bx 3 cx 2 dx e 0 的求根公式：
xn
(8)
上式与公式(5)比较，可得：
c 3 y 0 2 bd 4 e 3 y0 2 2 3 4c b e d y0
2 上式联合 b 4 y0 4c 0 可求得
(9)
b 2 2 y0 c 3 y0 d 2 y0 y0 e y2 4 0
m 8i 2 2i, n 0 x1 x2 x3 x4 2 2i 2 2i
2 2i
4
2
8 2i 8 2i

2 2i 2 2i i
4
2 2i
4
2
2

3
第1章
一元四次方程
现在看 m 的数值 当 m 0 时，一元四次方程有两对重根：
b x1,2 b x3,4
8 b b 2 c b 8y 3 4 4 8 b b 2 c b2 8 y 3 4 4
2
(19)
写成通解形式就是