最新人教版初中数学八年级上册《12.2 三角形全等的判定(第4课时)》精品教学课件

才能和△APQ全等？
课堂检测
解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝AC，
想一想
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角 三角形是否适用？
探究新知
A
A′
问题 1.两个直角三角形中，斜
边和一个锐角对应相等，
这两个直角三角形全等吗？
为什么？
B
C B′
C′
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应
相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直 角三角形全等吗？为什么？
∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°.
巩固练习
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一
端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的
距离相等吗？请说明你的理由.
解：BD=CD. 因为∠ADB=∠ADC=90°, 在Rt△ABD和Rt△ACD中,
AB=AC, AD=AD, 所以Rt△ABD≌Rt△ACD.(HL)
A．1
B．2
C．3
D．4
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB 与△ADC 全等（填“全等”或“不全等”），根 据 HL （用简写法）.
课堂检测
4. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.
求证：△EBC≌△DCB.
证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
A
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
（1） AD=BC
（ HL ）
（2） BD=AC
（ HL ）
（3）∠ DAB= ∠ CBA （ AAS ）
（4） ∠ DBA= ∠ CAB （ AAS ）
D A
C B
探究新知
变式题2
如图，AC,BD相交于点P ， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分
别为C,D ， AD=BC.求证：AC=BD.
D
HL
C P
探究新知
素养考点 2 利用直角三角形全等解决实际问题
例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与 右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF,
AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).
A′
C′
探究新知
判一判
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画
“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等； （AAS ）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等； （AAS或ASA ）
（3）一个锐角和斜边对应相等；
（ AAS）
（4）两直角边对应相等；
（ SAS ）
（5）一条直角边和斜边对应相等.
所以BD=CD.
链接中考 1.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC,DB相交于点O． 求证：OB=OC．
证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中， ቊBCDB==BCCA,, ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO．
链接中考
2.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB， DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC 是等边三角形．
人教版 数学 八年级 上册
12.2 三角形全等的判定 第4课时
导入新知
小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同
的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长 度DF相等,小明说只要测量出左边滑梯AB的长度就可
以知道右边滑梯有多高了,小明的说法正确吗?
导入新知
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三 角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
E
D
BC=CB .
B
C
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
课堂检测
能力提升题
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90 °.
B
∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.
任意画出一个Rt△ABC ，使∠C=90°.再画一个 Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 ° ， B′C′=BC ， A ′B ′=AB ， 把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们 能重合吗？
A
B
C
探究新知
画图思路
N A
B
C
M
C′
（1）先画∠M C′N=90°.
探究新知
Rt△ABE≌Rt△CBF.
证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∠ABE＝∠CBF＝90°， ∵AB＝CB，AE＝CF , ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
探究新知
例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的 高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝ AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF. 即BC＝BE.
(1) 你能帮他想个办法吗？ 根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角. 根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角.
导入新知
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发
现它们分别对应相等。于是，他就肯定“两个直角三角形是全 等的”.
斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等. 你相信这个结论吗？ 让我们来探究一下吧！
AC=BD .
定方法的书写格式. A
B
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). 利用全等证明两条线段
∴ BC﹦AD.
相等，这是常见的思路.
探究新知
变式 题 1
如图，∠ACB =∠ADB=90 ° ，要证明△ABC≌△BAD，还
需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内 填写出判定它们全等的理由.
【回顾总结】
1.同桌之间相互交流本课学习收获。 2.老师引导学生总结归纳本课学习知识点，并 总结交流本课学习心得
课后作业
01 完成课后练习题 02 课时练习题（选取）
基础巩固题
1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ D ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等
课堂检测
2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点
E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，
则 CH的长为（ A ）
（HL ）
探究新知
素养考点 1 利用“HL”定理判定直角三角形全等
例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD.
求证：BC﹦AD.
证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D 都是直角.
应用“HL”的前提条 件是在直角三角形中.
D
C
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
AB=BA,
这是应用“HL”判
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
课堂小结
内容
斜边和一条直角边对应相 等的两个直角三角形全等.
“斜边、 直角边”
前提 条件
在直角三角形中
使用 方法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条 件中至少有一个条件是一对对应边相等）
Rt△ABD≌Rt△BAC A
B
AC=BD
探究新知
变式题3
如图：AB⊥AD，CD⊥BC ， AB=CD ，判断AD和BC的
位置关系.
A
HL
B
D
Rt△ABD≌Rt△CDB
∠ADB=∠CBD
C
AD∥BC
巩固练习
如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为 AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求证：
探究新知
方法点拨
证明线段相等可通过证明三角形全等解决， 作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方 法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时 应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
巩固练习
如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，AE
＝DF，AB＝DC，求证：AC＝DB. 证明：AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°. 在Rt△ABE和Rt△DCF中， AE=DF , AB＝DC, ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)， ∴∠ABC＝∠DCB. 在△ABC和△DCB中， AB＝ DC,∠ABC＝∠DCB, BC ＝CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS)， ∴AC＝DB .
素养目标
2. 能运用三角形全等的判定方法判断两个 直角三角形全等.
1. 探究直角三角形全等的判定方法.
探究新知 知识点 三角形全等的判定——“HL”定理
旧知回顾 我们学过的判定三角形全等的方法.
SSS ASA SAS AAS
探究新知 B
思考
A
C
如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_A__C__、 _B_C___，斜边是__A_B___.
画图思路
N
A
B
C M B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.
探究新知
画图思路
N
A
A′
B
C M B′C′源自（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′.
探究新知
画图思路 N
A
A′
B
C M B′
C′
（4）连接A′B′.
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
探究新知
“斜边、直角边”判定方法
探究新知 B
A E
D
想一想
如图，已知AC=DF，BC=EF， ∠B=∠E，△ABC≌△DEF 吗？ C
我们知道，证明三角形全等 不存在SSA定理. F
探究新知 B
A E
D
想一想
如果这两个三角形都是直
C
角三角形，即∠B=∠E=90°，
且AC=DF，BC=EF，现在能
判定△ABC≌△DEF吗？
F
探究新知
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F， ∴∠AED=∠CFD=90°， ∵D为AC的中点，∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，ቊADDE==DDCF， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF， ∴∠A=∠C，∴BA=BC，∵AB=AC， ∴AB=BC=AC， ∴△ABC是等边三角形．
课堂检测
A
E
F C
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
D
AB=CD,
AF=CE. ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴BF=DE.
课堂检测
拓广探索题
如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝
5cm，一条线段PQ＝AB，P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直
于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC
“SSA”可以判定两个直
角三角形全等，但是“边
文字语言：
边”指的是斜边和一直角
斜边和一条直角边对应相等的两个直边角，三而角“角形”全指等的是直角.
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
B
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
AB=A′B′,
A
C
B′
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).