专题16 几何证明选讲(专题)-2016年高考数学(文)考纲解读及热点难点试题演练(解析版)

专题16 几何证明选讲
【2016年高考考纲解读】
高考对本内容的考查主要有：
(1)三角形及相似三角形的判定与性质；
(2)圆的相交弦定理，切割线定理；
(3)圆内接四边形的性质与判定；
(4)相交弦定理，本内容考查属B级要求.
【重点、难点剖析】
1．(1)相似三角形的判定定理
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
(2)相似三角形的性质
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
2．(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
3．(1)圆内接四边形的性质定理：
①圆的内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
(2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
4．(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
(2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
(4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
(5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．
6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用.
【题型示例】
题型一相似三角形的判定及性质
【例1】(2015·新课标全国Ⅰ，22)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.
(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．
【解析】
(2)设CE＝1，AE＝x，
由已知得AB＝23，BE＝12－x2.
由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.可得x＝3，所以∠ACB＝60°.
【变式探究】(2015·江苏，21(A))如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.
求证：△ABD∽△AEB.
【解析】
【感悟提升】判定两个三角形相似要注意结合图形的特点灵活选择判定定理
(1)证明三角形相似，往往可以转化为证明角相等，而证明角相等的方法有弦切角、圆周角和圆心角等相关结论．
(2)证明三角形相似时也可以转化为证明线段成比例，而证明线段成比例的方法有射影定理、相交弦定理、割线定理和切割线定理等．
【举一反三】(2015·江苏，21)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.
求证：△ABD∽△AEB.
【解析】
证明因为AB＝AC，
所以∠ABD＝∠C.
又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，
又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.
【变式探究】如图，已知圆上的弧A C＝B D，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．
证明：(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE·CD.
【解析】
【规律方法】在证明角或线段相等时，要注意等量代换．在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理．
【变式探究】如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB.
证明：(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.
【解析】
题型二 直线与圆的位置关系
例2．(2015·天津，6)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，则线段NE 的长为( )
A.8
3 B ．3 C.10
3
D.52
【答案】 A
【解析】 由圆的相交弦定理得CM ·MD ＝AM ·MB ＝29AB 2＝8，CN ·NE ＝AN ·NB ＝29AB 2
＝8，而CN ＝3，所
以NE ＝8
3
，选A. 学科网
2．(2015·广东，15)如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D .若AB ＝4，CE ＝23，则AD ＝________．
【答案】 3 【解析】
3．(2015·新课标全国Ⅱ，22)如图，O 是等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．
(1)证明EF ∥BC ；
(2)若AG 等于⊙O 半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积． 【解析】
(1)由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线．又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF .从而EF ∥BC .
(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上． 连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .
由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2. 因为OM ＝OE ＝2，DM ＝1
2MN ＝3，
所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝103
3
.
所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2
×32＝1633
.学科网 4．(2015·陕西，22)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .
(1)证明：∠CBD＝∠DBA；
(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．【解析】
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