八年级上学期 第二次月考模拟数学试题

八年级上学期 第二次月考模拟数学试题
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A ．（3，1） B ．（3，-1） C ．（-3，1） D ．（-3，-1）
2．在平面直角坐标系中，点()23P -，关于x 轴的对称点的坐标是（ ） A ．()23-，
B ．()23，
C ．()23--，
D ．()23-，
3．如图，点P 在长方形OABC 的边OA 上，连接BP ，过点P 作BP 的垂线，交射线OC 于点Q ，在点P 从点A 出发沿AO 方向运动到点O 的过程中，设AP=x ，OQ=y ，则下列说法正确的是（ ）
A ．y 随x 的增大而增大
B ．y 随x 的增大而减小
C ．随x 的增大，y 先增大后减小
D ．随x 的增大，y 先减小后增大
4．一辆货车早晨7∶00出发，从甲地驶往乙地送货．如图是货车行驶路程y （km ）与行驶时间x （h ）的完整的函数图像（其中点B 、C 、D 在同一条直线上），小明研究图像得到了以下结论：
①甲乙两地之间的路程是100 km ； ②前半个小时，货车的平均速度是40 km/h ； ③8∶00时,货车已行驶的路程是60 km ； ④最后40 km 货车行驶的平均速度是100 km/h ； ⑤货车到达乙地的时间是8∶24， 其中，正确的结论是（ ）
A ．①②③④
B ．①③⑤
C ．①③④
D ．①③④⑤
5．一次函数y ＝﹣2x+3的图象不经过的象限是( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．下列计算正确的是（ ） A ．
5151
+
+-＝25 B ．
51+﹣51
-＝2 C ．
5151
+-⨯
＝1 D ．
5151
--⨯
＝3﹣25 7．函数111y k x b =+与222y k x b =+的部分自变量和对应函数值如下： x -4 -3 -2 -1 y
-1
-2
-3
-4
x -4 -3 -2 -1 y
-9
-6
-3
当12y y >时，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x >-
B ．2x <-
C ．1x >-
D ．1x <-
8．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9．下列各组数是勾股数的是( ) A ．6，7，8 B ．132 C ．5，4，3
D ．0.3，0.4，0.5
10．在平面直角坐标系xOy 中，线段AB 的两个点坐标分别为A （﹣1，﹣1），B （1，2）．平移线段AB ，得到线段A ′B ′．已知点A ′的坐标为（3，1），则点B ′的坐标为（ ） A ．（4，4）
B ．（5，4）
C ．（6，4）
D ．（5，3）
二、填空题
11．已知点P （a ，b ）在一次函数y=x +1的图象上，则b ﹣a=_____． 12．如果点P （m+1，m+3）在y 轴上，则m=_____．
13．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN .连接FN ，并求FN 的长__________．
14．计算：32
()x y -=__________． 15．因式分解：24ax ay -=__________． 16． 在实数范围内分解因式35x x -=___________.
17．已知，点(,1)A a 和点(3,)B b 关于原点O 对称，则+a b 的值为__________．
18．如图，正比例函数y=kx 与反比例函数y=
6
x
的图象有一个交点A(2，m)，AB ⊥x 轴于点B ，平移直线y=kx 使其经过点B ，得到直线l ，则直线l 对应的函数表达式是_________ .
19．若正比例函数y=kx 的图象经过点（2，4），则k=_____．
20．将一次函数y =2x 的图象向上平移1个单位，所得图象对应的函数表达式为__________．
三、解答题
21．建立模型：如图1，已知△ABC ，AC ＝BC ，∠C ＝90°，顶点C 在直线l 上．
（1）操作：
过点A 作AD ⊥l 于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ．求证：△CAD ≌△BCE ． （2）模型应用：
①如图2，在直角坐标系中，直线l ：33y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，将直线l 绕着点A 顺时针旋转45°得到直线m ．求直线m 的函数表达式．
②如图3，在直角坐标系中，点B （4，3），作BA ⊥y 轴于点A ，作BC ⊥x 轴于点C ，P 是直线BC 上的一个动点，点Q （a ，5a ﹣2）位于第一象限内．问点A 、P 、Q 能否构成以点
Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a 的值，若不能，请说明理由．
22．先化简，再求值：
35
(2)362
x x x x -÷+---，其中53x =- 23．如图所示，四边形OABC 是长方形，点D 在OC 边上，以AD 为折痕，将OAD △向上翻折，点O 恰好落在BC 边上的点E 处，已知长方形OABC 的周长16.
()1若OA 长为x ，则B 点坐标可表示为 ； ()2若A 点坐标为()5,0， 求点D 和点E 的坐标.
24．如图，在平面直角坐标系中，已知A （4，0）、B （0，3）．
（1）求AB 的长为____．
（2）在坐标轴上是否存在点P ，使△ABP 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
25．3x y -+（x +y ﹣1）2＝0，求y ﹣2x 的平方根．
四、压轴题
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣
3
4
x+m 分别与x 轴、y 轴交于点B 、A ．其中B 点坐标为（12，0），直线y ＝3
8
x 与直线AB 相交于点C ．
（1）求点A 的坐标． （2）求△BOC 的面积．
（3）点D 为直线AB 上的一个动点，过点D 作y 轴的平行线DE ，DE 与直线OC 交于点E （点D 与点E 不重合）．设点D 的横坐标为t ，线段DE 长度为d ． ①求d 与t 的函数解析式（写出自变量的取值范围）．
②当动点D 在线段AC 上运动时，以DE 为边在DE 的左侧作正方形DEPQ ，若以点H
（
1
2
，t ）、G （1，t ）为端点的线段与正方形DEPQ 的边只有一个交点时，请直接写出t 的取值范围．
27．已知三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，点D （0，－4），M （4，－4）．
（1）如图1，若点C 与点O 重合，A （－2，2）、B （4，4），求△ABC 的面积； （2）如图2，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，若∠AOG ＝55°，求∠CEF 的度数； （3）如图3，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，N 为AC 上一点，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，∠NEC+∠CEF ＝180°，求证∠NEF ＝2∠AOG ．
28．如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点
M 从点B 出发，以3 cm/s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm/s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s)．
(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为 s ； (2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，
①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值； ②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；
(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、
N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
29．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：
（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”
（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”
请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.
30．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .
（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；
（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；
（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，
NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
由第二象限中坐标特点为，横坐标为负，纵坐标为正，由此即可判断. 【详解】
A. （3，1）位于第一象限；
B. （3，-1）位于第四象限；
C. （-3，1）位于第二象限；
D. （-3，-1）位于第三象限； 故选C. 【点睛】
此题主要考察直角坐标系的各象限坐标特点.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据关于x 轴对称的点的坐标与原坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数的性质解答即可. 【详解】
∵P （2，-3）关于x 轴对称，
∴对称点与点P 横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴对称点的坐标为（-2，-3）． 故答案为（-2，-3）． 【点睛】
本题考查的是坐标与图形的变换，关于y 轴对称的点的坐标与原坐标纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于x 轴对称的点的坐标与原坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数；掌握轴对称的性质是解题的关键，
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
连接BQ ，由矩形的性质，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，利用勾股定理得到
222PQ PB BQ +=，然后得到y 与x 的关系式，判断关系式，即可得到答案.
【详解】
解，如图，连接BQ ，
由题意可知，△OPQ ，△QPB ，△ABP 是直角三角形， 在矩形ABCO 中，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，则 OP=a x -，CQ b y =-， 由勾股定理，得：
222()PQ y a x =+-，222PB x b =+，222()BQ a b y =+-，
∵2
2
2
PQ PB BQ +=，
∴2
2
2
2
2
2
()()y a x x b a b y +-++=+-， 整理得：2
by x ax =-+，
∴2
21()24a a y x b b
=--+，
∵1
0b
-
<， ∴当2a x =时，y 有最大值2
4a
b
；
∴随x 的增大，y 先增大后减小； 故选择：C. 【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理找到y 与x 的关系式，从而得到答案.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据折线图，把货车从甲地驶往乙地分为三段，再根据图象的时间和路程进行计算判断. 【详解】
①甲乙两地之间的路程是100 km ，①正确；
②前半个小时，货车的平均速度是：400.580?km/h ÷=，②错误； ③8∶00时,货车已行驶了一个小时，路程是60 km ，③正确；
④最后40 km 货车行驶的平均速度就是求BC 段的速度，时间为1.3-1＝0.3小时，路程为90-60=30km ，平均速度是300.3100?km /h ÷=，④正确；
⑤货车走完BD 段所用时间为：401000.4÷=小时，即0.46024⨯=分钟 ∴货车走完全程所花时间为：1小时24分钟， ∴货车到达乙地的时间是8∶24，⑤正确； 综上：①③④⑤正确； 故选：D 【点睛】
本题考查了一次函数的应用，能够正确理解函数图象的横、纵坐标表示的意义，理解问题的过程，并能通过图象得到自变量和函数值之间的数量关系是解题的关键.
5．C
解析：C 【解析】
试题解析：∵k=-2＜0， ∴一次函数经过二四象限； ∵b=3＞0，
∴一次函数又经过第一象限，
∴一次函数y=-x+3的图象不经过第三象限， 故选C ．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用二次根式的加减法对A 、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断；利用完全平方公式对D 进行判断． 【详解】
解：A ==A 选项错误；
B 2
12==，所以B 选项错误； C 15151
14
--==，所以C 选项正确；
D 、
151-=，所以D 选项错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据表格可确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断． 【详解】
解：根据表格可得y 1=k 2x+b 1中y 随x 的增大而减小，y 2=k 2x+b 2中y 随x 的增大而增大． 且两个函数的交点坐标是（-2，-3）． 则当x ＜-2时，y 1＞y 2． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了函数的性质，正确确定增减性以及两函数交点坐标是关键．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】
解：A ．此图案是轴对称图形，不符合题意； B ．此图案不是轴对称图形，符合题意； C ．此图案是轴对称图形，不符合题意； D ．此图案是轴对称图形，不符合题意； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证222+=a b c 即可．
【详解】
解：A 、222768+≠，故此选项错误；
B
C 、222345+=，故此选项正确；
D 、0.3，0.4，0.5，勾股数为正整数，故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
由题意可得线段AB 平移的方式，然后根据平移的性质解答即可．
【详解】
解：∵A （﹣1，﹣1）平移后得到点A ′的坐标为（3，1），
∴线段AB 先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，
∴B （1，2）平移后的对应点B ′的坐标为（1+4，2+2），即（5，4）．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平移变换的性质，一般来说，坐标系中点的平移遵循：上加下减，左减右加的规律，熟练掌握求解的方法是解题关键．
二、填空题
11．1
【解析】
∵点P （a ，b ）在一次函数y=x+1的图象上，
∴b=a+1，
∴b -a=1，
故答案为1.
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是把点P （a ，b ）代入一次函数
解析：1
【解析】
∵点P （a ，b ）在一次函数y=x +1的图象上，
∴b=a+1，
∴b -a=1，
故答案为1.
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是把点P （a ，b ）代入一次函数的解析式．
12．﹣1．
【解析】∵点P （m+1，m+3）在y 轴上，
∴m+1=0，
∴m=-1．
故答案为：-1．
解析：﹣1．
【解析】∵点P （m+1，m+3）在y 轴上，
∴m+1=0，
∴m=-1．
故答案为：-1．
13．【解析】
【分析】
设，则，由翻折的性质可知，在Rt △ENC 中，由勾股定理列方程求解即可求出DN ，连接AN ，由翻折的性质可知FN=AN ，然后在Rt △ADN 中由勾股定理求得AN 的长即可．
【详解】
解析：89
【解析】
【分析】
设NC x =，则8DN x ，由翻折的性质可知8EN DN x ==-，在Rt △ENC 中，由勾股定理列方程求解即可求出DN ，连接AN ，由翻折的性质可知FN=AN ，然后在Rt △ADN 中由勾股定理求得AN 的长即可．
【详解】
解：如图所示，连接AN ，
设NC x =，则8DN x ，
由翻折的性质可知：8EN DN x ==-，
在Rt ENC 中，
有222EN EC NC =+，()22284x x -=+，
解得：3x =，
即5DN cm ．
在Rt 三角形ADN 中， 2222
8589AN AD ND ， 由翻折的性质可知89FN
AN ．
【点睛】 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，利用勾股定理的到关于x 的方程是解题的关键．
14．【解析】
【分析】
根据积的乘方法则进行计算.
【详解】
故答案为：
【点睛】
考核知识点：积的乘方.理解积的乘方法则是关键.
解析：62x y
【解析】
【分析】
根据积的乘方法则进行计算.
【详解】
()2
323262()x y x y x y -=-= 故答案为：62
x y
【点睛】
考核知识点：积的乘方.理解积的乘方法则是关键. 15．【解析】
【分析】
运用提公因式法求解，公因式是2a.
【详解】
故答案为：
【点睛】
考核知识点：因式分解.掌握提公因式法是关键.
解析：()22a x y -
【解析】
【分析】
运用提公因式法求解，公因式是2a.
【详解】
()2422ax ay a x y -=-
故答案为：()22a x y -
【点睛】
考核知识点：因式分解.掌握提公因式法是关键.
16．【解析】
提取公因式后利用平方差公式分解因式即可，
即原式=.故答案为
解析：(x x x -
【解析】
提取公因式后利用平方差公式分解因式即可，
即原式=2(5)(x x x x x -=-.故答案为(.x x x
17．【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点坐标的特点，即可得到答案.
【详解】
解：∵点和点关于原点对称，
∴，，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点坐标特点，解题的关键是熟记
解析：4-
【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点坐标的特点，即可得到答案.
【详解】
解：∵点(,1)A a 和点(3,)B b 关于原点O 对称，
∴3a =-，1b =-，
∴3(1)4a b +=-+-=-；
故答案为：4-.
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点坐标特点，解题的关键是熟记平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．
18．y=x-3
【解析】
【分析】由已知先求出点A 、点B 的坐标，继而求出y=kx 的解析式，再根据直线y=kx 平移后经过点B ，可设平移后的解析式为y=kx+b ，将B 点坐标代入求解即可得.
【详解】当x=2
解析：y=
32x-3 【解析】
【分析】由已知先求出点A 、点B 的坐标，继而求出y=kx 的解析式，再根据直线y=kx 平移后经过点B ，可设平移后的解析式为y=kx+b ，将B 点坐标代入求解即可得.
【详解】当x=2时，y=
6x =3，∴A(2，3)，B （2，0）， ∵y=kx 过点 A(2，3)，
∴3=2k ，∴k=
32， ∴y=32
x ， ∵直线y=32
x 平移后经过点B ， ∴设平移后的解析式为y=
32x+b ， 则有0=3+b ，
解得：b=-3，
∴平移后的解析式为：y=
32x-3， 故答案为：y=32
x-3. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法，一次函数图象的平移等，求出k 的值是解题的关键.
19．2
【解析】
解析：2
【解析】
4=22k k ⇒=
20．y=2x+1．
【解析】
由“上加下减”的原则可知，将函数y=2x 的图象向上平移1个单位所得函数的解析式为y=2x+1，
故答案为y=2x+1．
解析：y=2x+1．
【解析】
由“上加下减”的原则可知，将函数y=2x 的图象向上平移1个单位所得函数的解析式为y=2x+1，
故答案为y=2x+1．
三、解答题
21．（1）详见解析；（2）132y x ＝＋；（3）32a ＝或14
a ＝
． 【解析】
【分析】
（1）根据AAS 即可证明△DAC ≌△ECB ；
（2）过点B 作BC ⊥BA ，交直线l 2于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ．根据33y x =+得到AO ＝3，OB ＝1，根据△DCB ≌△OBA 可得点C 的坐标为（－4，1），再根据待定系数法即可求解；
（3）根据题意分两种情况分别作图即可求解.
【详解】
（1）∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°
∵AD ⊥l ，BE ⊥l ，
∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，
∴∠ACD ＋∠DAC ＝90° ，
∴∠DAC ＝∠ECB
∵在△DAC 和△ECB 中，∠ADC ＝∠CEB ，∠DAC ＝∠ECB ，AC ＝CB
∴△DAC ≌△ECB （AAS ）
（2）过点B 作BC ⊥BA ，交直线l 2于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ．
由直线l ：33y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，
可求点A 坐标为（0，3），点B 坐标为（－1，0），
∴AO ＝3，OB ＝1．
由△DCB ≌△OBA 可得，DC ＝OB ＝1，DB ＝OA ＝3，
∴点C 的坐标为（－4，1）
设直线m 的解析式为：y ＝kx ＋b ，把（0，3），（－4，1）代入，
求得132y x ＝＋ ． （3）如图3，由△AEQ ≌△QFP 可得AE ＝QF ，3－（5a －2）＝4－a ，
求得14
a ＝ ． 如备用图，由△AEQ ≌△QFP 可得AE ＝QF ，（5a －2）－3＝4－a ， 求得3
2a ＝ ．
【点睛】
本题考查一次函数综合题，主要考查了点的坐标、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用． 22．()133x +15【解析】
【分析】
先根据分式混合运算法则进行化简，再代入已知值求值.
【详解】
解：35(2)362
x x x x -÷+--- =()2345()3222
x x x x x --÷---- =()239322
x x x x --÷-- =()()()
323233x x x x x --⨯-+- =()
133x +
当3x =时，原式
15
== 【点睛】
考核知识点：二次根式化简求值.先根据分式性质进行化简是关键.
23．()1(),8x x -;()25D 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()1,3E .
【解析】
【分析】
（1）由周长16，以及OA 长为x ，可得AB 的长度，即可求出B 的坐标；
（2）运用勾股定理得4BE =，可得()1,3E ，设OD x =，则DE x =，在DCE 中，运用勾股定理222,DE CD CE =+列出方程，求解方程即可.
【详解】 ()1∵长方形OABC 的周长16，OA 长为x
∴BC=OA=x ，AB=8-x
∴B (),8x x -
故答案为： (),8x x -
()2∵A （5，0）
∴OA=BC=5，
∴AB=OC=3
∴B(5,3)
由折叠可知：AE=OA=5，DE=OD
在ABE △中，90,3,5,ABE AB AE ∠=︒==由勾股定理得4BE =，
∴CE=1
故()1,3E
设OD x =，则DE x =，在DCE 中，222,DE CD CE =+
∴()22213x x =+-
解得53
x =， 故5D 0,3⎛⎫
⎪⎝⎭.
【点睛】
本题属于四边形综合题,主要考查了矩形的性质,折叠的性质,勾股定理，解答此题时注意坐标与图形的性质的运用以及方程思想的运用.
24．（1）5；（2）（0，8），（0，-3），（0，-2），70,6⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，（9，0），（-1，0），
（-4，0），7,08⎛⎫
⎪⎝⎭
；理由见解析 【解析】
【分析】 （1）根据A 、B 两点坐标得出OA 、OB 的长，再根据勾股定理即可得出AB 的长
（2）分三种情况，AB=AP ，AB=BP ，AP=BP ，利用等腰三角形性质和两点之间距离公式，求出点P 坐标．
【详解】
解：（1） ∵A （4，0）、B （0，3）．
∴OA=3，OB=4，
5AB ∴==
（2）当点P 在y 轴上时
当AB=BP 时， 此时OP=3+5=8或OP=5-3=2，
∴P 点坐标为（0，8）或（0，-2）；
当AB=AP 时，此时OP=BO=3，
∴P 点坐标为；（0，-3）；
当AP=BP 时，设P(0，x)，∴= 7
:6x =-；∴P 点坐标为70,6⎛⎫
- ⎪⎝⎭
当点P 在x 轴上时
当AB=AP 时， 此时OP=4+5=9或OP=5-4=1，
∴P 点坐标为（9，0）或（-1，0）；
当AB=BP 时，此时OP=AO=4，
∴P 点坐标为（-4，0）；
当AP=BP 时，设P(x ，0)，∴= :7
8x =；∴P 点坐标为7,08⎛⎫
⎪⎝⎭
综上所述：符合条件的点的坐标为：（0，8），（0，-3），（
0，-2），70,6⎛⎫- ⎪⎝⎭，（9，
0），（-1，0），（-4，0），7
,08⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查等腰三角形性质、两点之间距离公式和勾股定理，学生只要掌握这些知识点，解决此问题就会变得轻而易举，需要注意的是，在解题过程中不要出现漏解现象．
25．±2．
【解析】
【分析】
直接利用非负数的性质得出关于x ，y 的方程组进而得出答案．
【详解】 3x y -+(x +y ﹣1)2=0，
∴3010x y x y -+=⎧⎨+=⎩
﹣， 解得：12x y =-⎧⎨
=⎩， 故2224y
x =+=﹣， 则y ﹣2x 的平方根为：±2．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根以及偶次方的性质，正确得出x ，y 的值是解题关键．
四、压轴题
26．（1）点A 坐标为（0，9）；（2）△BOC 的面积＝18；（3）①当t ＜8时，d ＝﹣98t+9，当t ＞8时，d ＝98t ﹣9；②12≤t≤1或7617≤t≤8017
． 【解析】
【分析】
（1）将点B 坐标代入解析式可求直线AB 解析式，即可求点A 坐标；
（2）联立方程组可求点C 坐标，即可求解；
（3）由题意列出不等式组，可求解．
【详解】
解：（1）∵直线y＝﹣
3
4
x+m与y轴交于点B（12，0），
∴0＝﹣
3
4
×12+m，
∴m＝9，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣
3
4
x+9，
当x＝0时，y＝9，
∴点A坐标为（0，9）；
（2）由题意可得：
3
8
3
9
4
y x
y x
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，
解得：
8
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴点C（8，3），
∴△BOC的面积＝
1
2
×12×3＝18；
（3）①如图，
∵点D的横坐标为t，
∴点D（t，﹣
3
4
t+9），点E（t，
3
8
t），
当t＜8时，d＝﹣
3
4
t+9﹣
3
8
t＝﹣
9
8
t+9，
当t＞8时，d＝
3
8
t+
3
4
t﹣9＝
9
8
t﹣9；
②∵以点H（
1
2
，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点，
∴
1
2
≤t≤1
或
91
9
82
9
91
8
t t
t t
⎧
-+≤-
⎪⎪
⎨
⎪-+≥-
⎪⎩
，
∴
1
2
≤t≤1或
76
17
≤t≤
80
17
．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，不等式组的应用，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
27．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）作AD⊥ x轴于D,BE⊥x轴于E,由点A,B的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;
（2）作CH∥x轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出
∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;
（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．
【详解】
解：（1）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图1,
∵A（﹣2,2）、B（4,4）,
∴AD＝OD＝2,BE＝OE＝4,DE＝6,
∴S△ABC＝S梯形ABED﹣S△AOD﹣S△AOE＝
1
2
×（2+4）×6﹣
1
2
×2×2﹣
1
2
×4×4＝8;
（2）作CH // x轴,如图2,
∵D（0,﹣4）,M（4,﹣4）,
∴DM // x轴,
∴CH // OG // DM,
∴∠AOG＝∠ACH,∠DEC＝∠HCE,
∴∠DEC+∠AOG＝∠ACB＝90°,
∴∠DEC＝90°﹣55°＝35°,
∴∠CEF＝180°﹣∠DEC＝145°;
（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC＝∠ACB＝90°,
而∠HEC+∠CEF＝180°,∠NEC+∠CEF＝180°,
∴∠NEC＝∠HEC,
∴∠NEF＝180°﹣∠NEH＝180°﹣2∠HEC,
∵∠HEC＝90°﹣∠AOG,
∴∠NEF＝180°﹣2（90°﹣∠AOG）＝2∠AOG．
【点睛】
本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
28．（1）20
3
；（2）①t＝
8
3
；②a＝
18
5
；（3）t＝6.4或t＝
10
3
【解析】
【分析】
（1）根据时间＝路程÷速度即可求得答案；
（2）①由题意得：BM＝CN＝3t，则只可以是△CMN≌△BAM，AB＝CM，由此列出方程求解即可；
②由题意得：CN≠BM，则只可以是△CMN≌△BMA，AB＝CN＝12，CM＝BM，进而可得3t＝10，求解即可；
（3）分情况讨论，当△CMN≌△BPM时，BP＝CM，若此时P由A向B运动，则12－2t＝20－3t，但t＝8不符合实际，舍去，若此时P由B向A运动，则2t－12＝20－3t，求得t
＝6.4；当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，可得3t＝10，t＝10
3
，再将t＝
10
3
代入分别求得AP，BP的长及a的值验证即可．【详解】
解：（1）20÷3＝20
3
，
故答案为：20
3
；
（2）∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DCB，
∵△CNM与△ABM全等，
∴△CMN≌△BAM或△CMN≌△BMA，
①由题意得：BM＝CN＝3t，∴△CMN≌△BAM
∴AB＝CM，
∴12＝20－3t，
解得：t＝8
3
；
②由题意得：CN≠BM，
∴△CMN≌△BMA，
∴AB＝CN＝12，CM＝BM，
∴CM＝BM＝1
2 BC，
∴3t＝10，
解得：t＝10 3
∵CN＝at，
∴10
3
a＝12
解得：a＝18
5
；
（3）存在
∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DCB，
∵△CNM与△PBM全等，
∴△CMN≌△BPM或△CMN≌△BMP，
当△CMN≌△BPM时，则BP＝CM，
若此时P由A向B运动，则BP＝12－2t，CM＝20－3t，∵BP＝CM，
∴12－2t＝20－3t，
解得：t＝8 (舍去)
若此时P由B向A运动，则BP＝2t－12，CM＝20－3t，∵BP＝CM，
∴2t－12＝20－3t，
解得：t＝6.4，
当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，
∴CM＝BM＝1
2 BC
∴3t＝10，
解得：t＝10 3
当t＝10
3
时，点P的路程为AP＝2t＝
20
3
，
此时BP＝AB－AP＝12－20
3
＝
16
3
，
则CN＝BP＝16 3
即at＝16
3
，
∵t＝10
3
，
∴a＝1.6符合题意
综上所述，满足条件的t的值有：t＝6.4或t＝10 3
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质的综合运用，解决本题的关键就是用方程思想及分类讨论思想解决问题，把实际问题转化为方程是常用的手段．
29．（123
【解析】
【分析】
（1）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，证明△ABM≌△CAN，得到
AM=CN，AN=BM，即可得出AB；
（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于点P，Q两点，在l1上取M，N使
∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB≌△CAN，得到CN=AM，再通过△PBM和△QCN算出PM和NQ的值，得到AP，最后在△APB中，利用勾股定理算出AB的长；
（3）在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交l3于点P，过A作l3的垂线，交l3于点Q，证明△BCN≌△CAM，得到CN=AM，在△BPN和△AQM中利用勾股定理算出NP和AM，从而得到PC，结合BP算出BC的长，即为AB.
【详解】
解：（1）如图，分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，由题意可得：∠BAC=90°，
∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，
∴∠MAB=∠NCA，
在△ABM和△CAN中，
=
=
=
AMB CNA
MAB NCA
AB AC
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴AM=CN=2，AN=BM=1，
∴AB=22
25
1=
+；
（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，
在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠MAB+∠NAC=60°，
∵∠ABM+∠MAB=60°，
∴∠ABM=∠NAC，
在△AMB和△CNA中，
=
=
=
AMB CNA
ABM NAC
AB AC
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
，
∴△AMB≌△CNA（AAS），
∴CN=AM，
∵∠AMB=∠ANC=120°，
∴∠PMB=∠QNC=60°，
∴PM=
1
2
BM，NQ=
1
2
NC，
∵PB=1，CQ=2，
设PM=a，NQ=b，
∴222
1=4
a a
+，222
2=4
b b
+，
解得：3
=3a ，23=3
b ， ∴CN=AM=222323⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
=43， ∴AB=22AP BP +=()22AM PM BP ++=221；
（3）如图，在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，
过B 作l 3的垂线，交于点P ，过A 作l 3的垂线，交于点Q ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴BC=AC ，∠ACB=60°，
∴∠BCN+∠ACM=120°，
∵∠BCN+∠NBC=120°，
∴∠NBC=∠ACM ，
在△BCN 和△CAM 中，
BNC CMA NBC MAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCN ≌△CAM （AAS ），
∴CN=AM ，BN=CM ，
∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，
∴BN=2NP ，
在△BPN 中，222BP NP BN +=，
即22224NP NP +=，
解得：NP=33
， ∵∠AMC=60°，AQ=3，
∴∠MAQ=30°，
∴AM=2QM ，
在△AQM 中，222AQ QM AM +=，
即22234QM QM +=，
解得：QM=3，
∴AM=23=CN ，
∴PC=CN-NP=AM-NP=
43， 在△BPC 中，
BP 2+CP 2=BC 2，
即BC=22224322123BP CP ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB=BC=2213
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得
CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；
（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．
【详解】
（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒
9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒
BD是ABC
∠的角平分线，DE AB
⊥
CD ED
∴=
在BCD
∆和BED
∆中，
CD ED
BD BD
=
⎧
⎨
=
⎩
()
BCD BED HL
∴∆≅∆
BC BE
∴=
EBC
∴∆是等边三角形；
（2）如图，延长ED使得DF MD
=，连接MF
3
,0
90A
ACB
∠=︒∠=︒，BD是ABC
∠的角平分线，DE AB
⊥
60,
ADE BDE AD BD
∴∠=∠=︒=
60,18060 MDF ADE MDB ADE BDE
∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF
∴∆是等边三角形
,60
MF DM F DMF
∴=∠=∠=︒
60
BMG
∠=︒
DMF DM B M
G
G D
M G
∴∠+∠=+∠
∠，即FMG DMB
∠=∠
在FMG
∆和DMB
∆中，
60
F MDB
MF MD
FMG DMB
∠=∠=︒
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
()
FMG DMB ASA
∴∆≅∆
GF BD
∴=，即DF DG BD
+=
AD DF DG MD DG
∴=+=+
即AD DG MD
=+；
（3）结论：AD DG ND
=-，证明过程如下：
如图，延长BD使得DH ND
=，连接NH
由（2）可知，60,18060,
ADE HDN ADE BDE AD BD
∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN
∴∆是等边三角形
,60
NH ND H HND
∴=∠=∠=︒
60
BNG
∠=︒
HND BND BND
BNG
∠+∠=+∠
∴∠，即N
HNB D G
∠=∠
在HNB ∆和DNG ∆中，60H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()HNB DNG ASA ∴∆≅∆
HB DG ∴=，即DH BD DG +=
ND AD DG ∴+=
即AD DG ND =-．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．。