2018届高考数学滚动检测03向量数列的综合同步单元双基双测(A卷)理

向量 数列的综合
（测试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
1
1n n
a a +<，若353520,64a a a a +==，则4S =（ ） A ．63126或 B ．252 C.126 D ．63 【答案】C 【解析】
考点：（1）等比数列的通项公式；（2）等比数列前n 项和.
2. 【2018湖南五市十校联考】已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和， 396S S S 、、成等差数列，若83a =，则25a a +为（ ）
A. 3
B. 6
C. 8
D. 9 【答案】B
【解析】由题意得936936111
11121,2111q q q S S S q a a a q q q
---=+⇒≠⨯=+--- 6331
212q q q ⇒=+⇒=-，所以882563
34326a a a a q q +=+=⨯-⨯=，选B.
3. 【2018河南豫南豫北联考】已知,60,2,1,,ABC BAC AB AC E F ∆∠===为边BC 的两个三等分点，则AE AF ⋅=（ ） A.
54 B. 109 C. 158 D. 5
3
【答案】D
【解析】∵在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，
∴根据余弦定理可知
AB=2，AC=1，
以C 为坐标原点，CA 、CB 方向为x ，y 轴正方向建立坐标系
∵AC=1，C （0，0），A （1，0），B （0， 又∵E ，F 分别是Rt △ABC 中BC 上的两个三等分点，
则E （0，），F （0，）则23351,,1,3AE AF AE AF ⎛⎫⎛⎫=-=-∴⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
故选D
4. 一个等比数列{}n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A.108 B.83 C.75 D.63 【答案】D 【解析】
考点：等比数列.
5. 【2018安徽蒙城县两校联考】已知非零向量,,a b c 满足0a b c ++=，向量,a b 的夹角为0
150，且
23
b a =
，则向量a 与b 的夹角为（ ） A. 0
60 B. 0
90 C. 0
120 D. 0
150 【答案】B
【解析】因为()
2
22
2023cos1500a c a a b a a b a a a a a ⋅=⋅--=--⋅=--⋅=-+=， 所以a c ⊥，所以a 与c 的夹角为0
90，故选B ．
6. 已知等差数列{}n a 满足23813220a a a -+=，且数列{}n b 是等比数列，若88b a =，则412b b =（ ） A.32 B.16 C.8 D.4 【答案】B 【解析】
试题分析：由2
3813220a a a -+=，得2
8840a a -=，84a =，84b =，2
412816b b b ==.
考点：等差数列，等比数列.
7. 【2018河南漯河中学三模】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则
()
PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ）
A. 3-
B. 6-
C. 2-
D. 83
- 【答案】B
【解析】
∴最小值为6-，故选B 。

点睛：已知图形的向量问题采用坐标法，可以将几何问题转化为计算问题，数形结合的思想应用。

坐标法后得到函数关系，求函数的最小值。

向量问题的坐标化，是解决向量问题的常用方法。

8. 【2018陕西西安长安区二模】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，
n S 为数列{}n a 的前n 项和，则
216
3
n n S a ++ 的最小值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 2
D. 92
【答案】B
【解析】
1313a a a ，， 成等比数列， 22
131131121120a a a a d d d =∴=∴+=+≠，，（），，
解得d=2． 12121n a n n ∴=+-=-（）．
()2122
n n n S n n -=+⨯=．
()()
2
212192162169122432211
n n n n S n n a n n n +-++++∴===++-≥=++++， 当且仅当911n n +=+ 时即2n =时取等号，且216
3
n n S a ++取到最小值4， 故选：A ．
9. 已知直线0x y a -+=与圆心
为C 的
圆2270x y ++-+=相交于,A B 两点，且
4AC BC =，则实数a 的值为（
）
D.【答案】C 【解析】
试题分析：
圆配方
得
(
((2
2
2
x y +-=
.圆心
为
(,3
，半径为
18cos 4,cos ,23
AC BC ACB ACB ACB π
=∠=∠=∠=，三角形ACB
为等边三角形，圆心到直
线AB
的距离为2=
=
，解得a
考点：直线与圆的位置关系.
10. 等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，12321n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，则
2222
123n a a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ）
A.2
(21)n
- B.1(21)3n - C.1(41)3n
- D.41n -
【答案】C. 【解析】
考点：等比数列的通项公式及其前n 项和.
11. 已知向量a e ≠，||1e =，对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-，则（ ） A ．a e ⊥ B ．()a a e ⊥- C ．()e a e ⊥- D ．()()a e a e +⊥- 【答案】C 【解析】
试题分析：若向量a e ≠，||1e =，对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-，则
()(
)
22
22||||a te a e a te a e
-≥-⇔-≥-，所以
22
210t a e t a e
-⋅+⋅-，(
)()
2
24210,a e a e ∆=⋅-⋅-≤
()210a e ∴⋅-≤，()()
2
10,a e a e e
e a e e a e ⋅-=⋅-=⋅-=∴⊥-，故选C.
考点：平面向量的数量积．
【方法点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，考查了转化的思想和一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题.本题解答的关键是根据平面向量数量积的性质把||||a te a e -≥-平方，得到关于t 的一元二次不等式，根据三个二次之间的关系，结合二次函数的图象转化为0∆≤，进一步根据平面向量数量积的性质得到结论，注意1的代换.
12. 设函数f(x)＝x m
＋ax 的导数f ′(x)＝2x ＋1,则数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩
⎭ n ∈(N *
)的前n 项和( )
A ．
1n n - B ．1n n + C ．1
n
n + D ．21n n ++
【答案】C 【解析】
故可知结论为选C.
考点：本试题主要考查了导数的 运算以及裂项法求解数列的和的运用。

二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在等比数列{}n a 中，81=a ，534a a a ⋅=，则=7a ．
【解析】
试题分析：由5
34a a a ⋅=得：
436
17121118.888q a q q a a q =⇒=⇒==⨯= 考点：等比数列通项
14. 设n S 是数列{}n a 前n 项和，且1
11
1,
n n n a a S S ++=-=，则数列{}n a 的通项公式n a = . 【答案】()()()1,11
.21n n n n -=⎧⎪
⎨≥⎪-⎩
【解析】 试题分析：由
11n n n a S S ++=得11111,1n n n n n n S S S S S S +++-=-=-，所以1
n
S 是以首项为1-，公差是1-的等差数
列，故
11,n n n S S n =-=-.当1n >时，()
111n n n a S S n n -=-=-，首项不符合上式，故()()()1,11.21n n a n n n -=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩
.
考点：数列的概念及求通项公式.
【思路点晴】已知n S 求n a 是一种非常常见的题型，这些题都是由n a 与前n 项和n S 的关系来求数列{}
n a 的通项公式，可由数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 的关系是1
1(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意：当1n =时，
1a 若适合1n n S S --，则1n =的情况可并入2n ≥时的通项n a ；当1n =时，1a 若不适合1n n S S --，则用
分段函数的形式表示.
15. 【2018辽宁凌源两校联考】在直角梯形ABCD 中， //AD BC ， 90ABC ∠=︒， 4AB BC ==，
2AD =，梯形所在平面内一点P 满足4BA BC BP -=-，则PC PD ⋅=__________．
【答案】8
【解析】
16. 在ABC ∆所在平面上有三点M N P 、、，满足MA MB MC AB ++=，NA NB NC BC ++=，
PA PB PC CA ++=，则MNP ∆的面积与ABC ∆的面积比为 ．
【答案】1:3 【解析】 试
题
分
析
：
由
MA MB MC AB
++=，得
MB
AB MC MA -=+，即
AM MC AM BM AB MC MA 2=⇒=+=+，M 为线段AC 的一个三等分点，同理可得N P 、的位
置，
MNP ∆的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为13
:． 考点：1．向量加减混合运算及其几何意义；2．相似三角形的性质．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知向量,a b 满足：||2a =，||4b =，()2a b a ∙-=. （1）求向量a 与b 的夹角；
（2）若||22ta b -=，求实数t 的值. 【答案】（1）4
π
θ=；（2）2t =.
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用向量的数量积公式求解；（2）借助向量模的概念建立方程求解. 试题解析：
考点：向量的模的概念和数量积公式等有关知识的综合运用． 18. 已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S ．
（1）求n a ；
（2）将{n a }中的第2项，第4项， ，第n 2项按原来的顺序排成一个新数列{n b }，求数列{n b }的前n 项和n T ．
【答案】（1）32n a n =+（2）13226,(*)n n T n n N +∴=⋅+-∈ 【解析】
试题分析：求等差数列的通项公式，首先由已知条件得到基本项：首项和公差，将等差数列中每隔一项取一项得到的仍是等差数列，因此首先找到等差数列{n b }的基本量，再求和
试题解析：（1）由41014185a S =⎧⎨=⎩ ∴
153a d =⎧⎨=⎩ 3分 由233)1(5+=∴⋅-+=n a n a n n 6分 （2）由已知，223+⋅=n n b 9分
1233(2222)26(21)2.n n n T n n ∴=+++
++=-+
13226,(*)n n T n n N +∴=⋅+-∈ 12分
考点：等差数列通项公式及求和公式。

19. 【2018辽宁沈阳四校联考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，且121n n a S +=+， *
n N ∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令32log n n c a =， 2
1
n n n b c c +=
⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．
【答案】(1) a n =3
n ﹣1
(2) 11
11342123n T n n ⎛⎫=
-+ ⎪-+⎝⎭
试题解析：
（1）∵a n+1=2S n +1，n ∈N ∗
，n≥2时，a n =2S n ﹣1+1，可得a n+1﹣a n =2a n ，即a n+1=3a n ． n=1时，a 2=2a 1+1=3=3a 1，满足上式．
∴数列{a n }是等比数列，∴a n =3n ﹣1
．
（2） c=log 3a 2n =
=2n ﹣1．
b n ===
，
数列{b n }的前 n 项和T n =+
+
+…+
+
=
20. 【2018全国名校联考】已知向量2,33x x a ksin
cos ⎛
⎫= ⎪⎝⎭,cos ,3x b k ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
,实数k 为大于零的常数，函
数()f x a b =⋅, R x ∈，且函数()f x
的最大值为1
2
. （Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中， ,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若2
A π
π<<， ()0f A =,
且a =,
求AB AC ⋅的最小值. 【答案】（1）
；（2）
.
试题解析：（Ⅰ）由已知()2,,333x x x f x a b ksin
cos cos k ⎛
⎫⎛⎫=⋅=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
221cos
12223cos 33323
22332
x
x x x x
k x x k ksin cos kcos ksin k
sin +⎛⎫=-=-=-- ⎪
⎝⎭2分
222cos sin 2232322342x x k x k
sin π⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5分 因为R x ∈，所以
的最大值为
)
11
2
2
k =
，则1k =6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， (
)21342x f x π⎛⎫=
-- ⎪⎝⎭，所以(
)210342
A f A π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
化简得2sin 34A π⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
因为
2A π
π<<，所以
2512
3412
A π
ππ
<
-< 则2344A ππ-=，解得34
A π=8分
因为2222240cos 22b c a b c A bc bc
+-+-===
，所以22
40b c +=
则2
2
402b c bc +=≥，所以(202
bc ≤
=10分
则(3cos
20142
AB AC AB AC π⋅==-≥
所以AB AC ⋅的最小值为(20112分。

21. 已知{}n a 是公差为正数的等差数列，首项31=a ，前n 项和为S n ，数列{}n b 是等比数列，首项
.20,12,123221=+==b S b a b 且
（1）求{}{}n n b a 和的通项公式.
（2）令(){}n n n c N n b n c 求,+∈⋅=的前n 项和T n .
【答案】解：（1）设}{n a 公差为d ，}{n b 公比为q ，依题意可得：
⎩⎨
⎧=++=∙+20
3912
)3(q d q d ………………2分
解得：,2,3==q d 或18,3
7=-=q d （舍去）
………………4分 12;3-==∴n n n b n a
………………6分
（2）,21-∙=n n n Qc ………………7分
12102232221-∙++∙+∙+∙=∴n n n L T
又n n n L T 22322212321∙++∙+∙+∙=
………………9分
两式作差可得：n n n n L T 2222112∙-++++=-- 12)1(+∙-=∴n n n T
考点：1.等差数列；2.等比数列；3.错位相减法. 22. 已知数列{}n a 满足21
=a ，1124+++=n n n a a ()*∈N n ．
（1）令12+=n
n n
a b ，求证：数列{}n b 为等比数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）求满足
240≥n a 的最小正整数n
【答案】（1）详见解析（2）n
n n a 24-=（3）4
【解析】
试题解析：（1）
1
124+++=n n n a a
即
n n b b 21=+，∴
数列{}n b 是以2为首项以2为公比的等比数列；
（2）由（1）得n
n b 2=，∴
n
n n a 24-=；
（3）由240
24≥-=n n n a ，得162≥n （152-≤n 舍），解得4≥n ，
∴满足
240≥n a 的最小正整数n 为4
．
考点：1．等比数列的判定证明；2．构造法求数列通项公式；3．一元二次不等式解法。