2016-2017学年广东省深圳市南山区高二(上)期末数学试卷(理科)

2016-2017学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理
科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设命题P：∀x∈R，x2+2＞0．则￢P为（）
A．B．
C．D．∀x∈R，x2+2≤0
2．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5
3．（5分）“”是“”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件
4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与k﹣互相垂直，则k的值是（）
A．1 B．C．D．
5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．
8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）
A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7
9．（5分）若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+
的最小值是（）
A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣2
10．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）
A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2]
11．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）
A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x
12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）
A．B．C．D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．
14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为．
15．（5分）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是
的必要条件，则a的取值范围为．
16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且
与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n ∈N+）
（1）求a1，a2，a3的值
（2）求数列{a n}的通项公式．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a ﹣c）cosB．
（1）求角B的值；
（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．
19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．
21．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（2）证明：CD∥EF
（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．
（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．
2016-2017学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设命题P：∀x∈R，x2+2＞0．则￢P为（）
A．B．
C．D．∀x∈R，x2+2≤0
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即￢P：，
故选：B
2．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5
【解答】解：公差d=﹣2，S3=21，
可得3a1+×3×2×（﹣2）=21，
解得a1=9，
故选：B．
3．（5分）“”是“”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件
【解答】解：当+2kπ时，满足但不一定成立，即充分性不成立，
当时，成立，即必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与k﹣互相垂直，则k的值是（）
A．1 B．C．D．
【解答】解：+=（3，1，6），k﹣=（2k﹣1，k，4k﹣2），
∵+与k﹣互相垂直，∴3（2k﹣1）+k+6（4k﹣2）=0，
解得k=，
故选：D．
5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，
AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，
可得：13=9+AC2+3AC，
解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．
故选：A．
6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，
解得=．
故选：D．
7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．
【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0
∴lga•lgb≤（）2=（）2=1
当且仅当a=b=10时等号成立
即lga•lgb的最大值是1
故选B．
8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）
A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7
【解答】解：由，
+3=2（a n+3），
得a n
+1
∵a1+3=4≠0，
∴数列{a n+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，
则，
∴．
故选：A．
9．（5分）若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+
的最小值是（）
A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣2
【解答】解：由题意可得直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y ﹣6=0的圆心（1，2），
故有2a+2b=2，即a+b=1．
再根据+=+=3++≥3+2=2+2，当且仅当=时，取等号，
故+的最小值是3+2，
故选：C．
10．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）
A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2]
【解答】解：由z=x﹣2y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=，过点C（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，
代入目标函数z=x﹣2y，得z=3，
∴目标函数z=x﹣2y的最大值是3．
当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，
此时z最小，
由，得，即B（1，2）
代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=﹣3
∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3．
故﹣3≤z≤3，
故选：B
11．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）
A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x
【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，
由定义得：|BD|=a，
故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，
∵|AF|=3，|AC|=3+3a，
∴2|AE|=|AC|
∴3+3a=6，从而得a=1，
∵BD∥FG，
∴，
求得p=，
因此抛物线方程为y2=3x，
故选：B
12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）
A．B．C．D．
=，
【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S
△ABC
∴bcsinA=bc=，
∴bc=3，①
又a=2，A是锐角，
∴cosA==，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，
∴b+c=2②
由①②得：，
解得b=c=．
故选A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．
【解答】解：∵AC=，A=45°，C=75°，B=180°﹣A﹣C=60°，
∴由正弦定理，可得：BC===．
故答案为：．
14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为﹣5．
【解答】解：由，得log3（3a n）=log3a n+1，
∴a n
=3a n，且a n＞0，
+1
∴数列{a n}是公比为3的等比数列，
又a2+a4+a6=9，∴=35．
∴=．
故答案为：﹣5．
15．（5分）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是
的必要条件，则a的取值范围为．
【解答】解：若x∈N是的必要条件，
则M⊆N，
若a=1时，不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集N=∅，此时不满足条件．
若a＜1，则N=（a，2﹣a），则满足，得，此时a≤﹣，
若a＞1，则N=（2﹣a，a），则满足，得，此时a≥，
综上，
故答案为：
16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且
与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．
【解答】解：如图，
由题意，A（﹣c，），
∵=2，∴，且x C﹣c=c，得x C=2c．
∴C（2c，），代入椭圆，
得，即5c2=a2，解得e=．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n
∈N+）
（1）求a1，a2，a3的值
（2）求数列{a n}的通项公式．
【解答】解：（1）由，取n=1，得，
∵a n＞0，得a1=1，
取n=2，得，解得a2=2，
取n=3，得，解a3=3；
（2）∵+a n，①
∴，②
+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，
②﹣①得（a n
+1
∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，则a n+1﹣a n=1，
∴{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a n=1+（n﹣1）×1=n．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a ﹣c）cosB．
（1）求角B的值；
（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵bcosC=（2a﹣c）cosB，
∴由正弦定理sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB，
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，…（2分）
∴sin（B+C）=2sinAcosB，…（3分）
又A+B+C=π，
∴sinA=2sinAcosB，…（4分）
∴，
又B为三角形内角…（5分）
∴…（6分）
（2）由题意得2b=a+c=6，…（7分）
又，
∴…（9分）
∴ac=9…（10分）
∴…（12分）
19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．【解答】解：（1）由题意，得a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，
所以a1=1，a4=8，或a1=8，a4=1，
由{a n}是递增的等比数列，知q＞1所以a1=1，a4=8，且q=2，
∴，即a n=2n﹣1；
（2）由（1）得，
所以
所以，
两式相减，得
，
得．
20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．
【解答】解：（1）设，
由，
整理得+y2=1，x≠
（2）设MN的中点坐标为（x0，y0），
联立得（2k2+1）x2+4kx=0，
所以，
由x0+2y0=0，得k=1，
所以直线的方程为：y=x+1
21．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（2）证明：CD∥EF
（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
【解答】证明：（1）∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．
∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，
∵DF∩EF=F，
∴AF⊥平面EFDC，
∵AF⊂平面ABEF，
∴平面ABEF⊥平面EFDC．
（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，
可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角，
由CE⊥BE，BE⊥EF，
可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．
可得∠DFE=∠CEF=60°．
∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，
∴AB∥平面EFDC，
∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，
∴AB∥CD，∴CD∥EF．
解：（3）以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，
则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，），A（2a，2a，0），
∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，），=（﹣2a，0，0），
设平面BEC的法向量=（x1，y1，z1），
则，取x1=，则=（），
设平面ABC的法向量为=（x，y，z），
则，取y=，得，
设二面角E﹣BC﹣A的平面角为θ．
则cosθ===﹣，
∴二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．
22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．
（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．
【解答】解：（Ⅰ）焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在，
设AB：y=kx+1，
联立x2=4y，消去y得，x2﹣4kx﹣4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），G（x，y），
则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
所以，
所以，
消去k，得重心G的轨迹方程为；
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，，
因为，所以DG∥ME，（注：也可根据斜率相等得到），
，
D点到直线AB的距离，
所以四边形DEMG的面积
，当且仅当，即时取等号，
此时四边形DEMG的面积最小，
所求的直线AB的方程为．。