四川省射洪中学校2022-2023学年高二上学期入学考试数学试题附答案

射洪中学高2021级2022年下期入学考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）
1．已知集合{}2,1,0,1,2M =--，()(){}
120N x x x =+-<，则M N ⋂=（ ） A ．{}1,0-
B ．{}0,1
C ．{}1,0,1-
D ．{}0,1,2
2．cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒=（ ）
A ．0
B ．
1
2
C D ．1
3．已知向量()1,2a =-，(),3b m m =-，若a b ⊥，则m =（ ） A ．3-
B ．2-
C ．1
D ．2
4．若tan 3α=，则tan 4πα⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
（ ） A ．2
B ．2-
C ．12
-
D ．
12
5．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则37a a +=（ ） A ．18
B ．24
C ．30
D ．42
6．已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．11a b
>
B ．1122a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()2log 0a b ->
D ．2
1a b
-<
7．圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至．如图是根据蚌埠市（北纬32.92°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬天正午太阳高度角（即ABC ∠）约为80.51°．圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即BD 的长）为7米，则表高（即AC 的长）约为（已知
2tan 33.653︒≈
，29
tan80.515
︒≈）
A ．4.36米
B ．4.83米
C ．5.27米
D ．5.41米
8．在ABC △中，已知2cos a b C =，且222sin sin sin A B C =+，则ABC △的形状是（ ） A ．等腰三角形
B ．等腰直角三角形
C ．直角三角形
D ．等边三角形
9．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564716a a a a +=，则2122210log log log a a a +++=（ ）
A ．20
B ．15
C ．8
D ．23log 5+
10．已知ABC △的三边分别是a ，b ，c ，设向量()
sin sin 3m B A a c =-+，()sin ,n C a b =+，且m n ∥，则B 的大小是（ ）
A ．
6
π B ．
56
π C ．
3
π D ．
23π
11．在锐角三角形中，abc 分别是内角ABC 的对应边，设2A C =，则2c
c b
+的取值范围是（ ）
A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()1,+∞
D ．1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
12．ABC △满足23AB AC ⋅=，60BAC ∠=︒，设M 是ABC △内的一点（不在边界上），定义
()(),,f M x y z =，其中x ，y ，z 分别表示MBC △，MCA △，MAB △的面积，若()3,,2f M x y ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，
则
19
x y
+的最小值为（ ） A ．24
B ．9
C ．16
D ．
323
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13．数列{}n a 前n 项和为n S ，其中n S 是首项为5，公比为5的等比数列，则n a =______． 14．已知向量a 与b 的夹角为45°，2a =，4b =，则a b -=______．
15．设α为锐角，若3cos 65πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则tan 12πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭______．
16．将函数()4cos 2
f x x π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的图像与直线()1g x x =-的所有交点从左至右依次记为1A ，2A ，3A ，
⋯n A ，若()0,1P ，则12n PA PA PA ++
+=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知函数()()2
35f x x a a x b =-+-+．
（Ⅰ）当不等式()0f x >的解集为()1,3-，求实数a ，b 的值；
（Ⅱ）若对任意的实数a ，若不等式()20f <恒成立，求实数b 的取值范围．
18．（12分）已知各项都不相等的等差数列{}n a ，66a =，又1a ，2a ，4a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设()21n n
a
n n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．
19．（12分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为3
4800m ，深为3 m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设长方体底面长为m x ，由于地形限制，0x a <≤，水池总造价为()f x 元．
（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 的最小值．
20．（12分）如图，是四棱柱1111ABCD A B C D -的三视图． （Ⅰ）判定四棱柱是何种几何体，并画出其的直观图； （Ⅱ）求四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球面的面积 （Ⅲ）求四面体11ACB D 的体积；
21．（12分）已知函数()4
4
cos 2sin cos sin f x x x x x =--．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域； （Ⅲ）在锐角ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若02A f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，2a =，求ABC △面积的最大值．
22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和31n
n S =-，其中*n ∈N ．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，()132n n n b b a n -=+≥， （ⅰ）证明：数列13n n b -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列； （ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求380n
n T n -⋅<-成立的n 的最小值．
高二上入学考试数学试题答案
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．） BADDC BCBBB AD
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．） 13．1
5,1
45,2
n n n a n -=⎧=⎨
⋅≥⎩；14．10；15．
1
7
；16．2 三、解答题
17．解：（Ⅰ）由()
5223
93
3
a a a
b b ⎧-=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-=-⎪⎩或39a b =⎧⎨=⎩．
（Ⅱ）由2221012021012a a b b a a -+-+<⇒<-+对任意的a ∈R 恒成立，
又2
2
511210122222a a a ⎛
⎫-+=--≥- ⎪⎝
⎭．所以实数b 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．
18．解：（Ⅰ）∵{}n a 为各项都不相等的等差数列，
66a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．∴()()61211156,
3,0,a a d a d a a d d =+=⎧⎪⎪
+=+⎨⎪≠⎪⎩
解得11a =，1d =，∴数列{}n a 的通项公式()111n a n n =+-⨯=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()21n
n n n b a =+-，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ， 则(
)
()122222212342n n T n =++++-+-+-
+．
记122222n A =++
+，12342B n =-+-+-+，
则(
)221
2122
212
n
n A +-=
=--，()()()1234212B n n n ⎡⎤=-++-++
+--+=⎣⎦．
故数列{}n b 的前2n 项和21
22
2n n T A B n +=+=+-． 19．解：（Ⅰ）设底面宽为m y ，则由34800xy =，得1600
y x
=， ∴()()480016001600150120232324000072003f x x x x a x x ⎛⎫⎛
⎫=⨯
+⨯+⨯⨯=++<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（Ⅱ）⎡⎤⎣⎦
（Ⅲ）令()()1600
0t x x x a x
=+
<≤，由(
)80t x ≥=，当且仅当40x =时取“＝”． 当40a ≥时，在40x =时()min 297600f x =；当040a <<时，设任意1x ，(]
20,x a ∈，且12x x <，
∴()()()()()()2112121212121212121600160016001600x x x x x x t x t x x x x x x x x x x x ---⎛⎫
-=+-+=-+= ⎪⎝
⎭，
由12040x x a <<≤<，得1201600x x <<，120x x -<，1216000x x -<， ∴()()120t x t x ->，即()()12t x t x >．∴()t x 在(]
0,a 单调递减． ∴在x a =时，()min 1600240000720f x a a ⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
． 答：（Ⅰ）()()16002400007200f x x x a x ⎛
⎫
=++<≤ ⎪⎝⎭
； （Ⅱ）2,1⎡⎤-⎣⎦
；
（Ⅲ）当40a ≥时，()min 297600f x =，当040a <<时，()min 1600240000720f x a a ⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
． 20．解：（Ⅰ）四棱柱1111ABCD A B C D -是长方体，且其长、宽、高分别为5、4、3，其直观图如下图：
（2）长方体的对角线长即为外接球面直径，设为2R ， 则外接球面的面积为()
2222454350S R πππ==++=．
（3）四面体11ACB D 的体积为1
4604020B ABC V V V -=-=-=长方体三棱锥．
21．解：（Ⅰ）()()()
2
2
2
23cos sin cos
sin sin 2cos 2sin 2224f x x x
x x x x x x π⎛
⎫=+--=-=+
⎪⎝
⎭
， ∴()f x 的最小正周期22
T π
π==． 由32222
42k x k π
ππππ-
≤+
≤+，k ∈Z 得588
k x k ππππ-≤≤-，k ∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为()5,88k k k ππππ⎡
⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦
∈Z ． （Ⅱ）由32024A f A π⎛⎫⎛
⎫
=+=
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
，由A 为锐角，得4A π=． 由余弦定理222
2cos a b c bc A =+-，得2
2
4222b c bc bc bc =+-≥．
∴4bc ≤+，当且仅当b c =时等号成立．∴1
sin 12
ABC S bc A =≤△．
∴ABC △1+．
22．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 的前n 项和31n
n S =-，
所以()()
()1113131 2.32n n n n n n a S S n ---=-=---=≥．
因为1n =时，112a S ==，也适合上式，所以()
1*2.3n n a n -=∈N ．
（Ⅱ）（ⅰ）证明：当2n ≥时，1
1323n n n b b --=+⨯，将其变形为
112233n n n n b b ---=+，即1
12
233n n n n b b ----=，
数列13n n b -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是首项为10
13b =，公差为2的等差数列． （ⅱ）解：由（ⅰ）得，
()1
121213
n
n b n n -=+-=-，所以()()
1*213n n b n n -=-⋅∈N ． 因为()0
1
2
1133353213n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅，所以()1233133353213n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，
两式相减得(
)()121212333213n n n T n -=--++
++-⋅，整理得()()
*131n n T n n =-⋅+∈N ．
∴33180n n
n T n -⋅=-+<-，即381n >．∴5n ≥，min 5n =．。