人教版九年级上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质练习题附答案

22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 第1课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质
01 基础题
知识点1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质
1．(山西农业大学附中月考)若二次函数y ＝x 2＋bx ＋5配方后为y ＝(x －2)2＋k ，则b ，k 的值分别为(D)
A ．0，4
B ．0，1
C ．－4，5
D ．－4，1 2．(南充中考)抛物线y ＝x 2＋4x ＋3的对称轴是(C)
A ．直线x ＝1
B ．直线x ＝－1
C ．直线x ＝－2
D ．直线x ＝2
3．(怀化中考)二次函数y ＝3x 2＋6x －1的开口方向、顶点坐标分别是(A)
A ．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)
B ．开口向下，顶点坐标为(1，4)
C ．开口向上，顶点坐标为(1，4)
D ．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)
4．(阳泉市平定县月考)抛物线y ＝x 2－2x ＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在(A)
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．(天水中考)二次函数y ＝ax 2＋bx －1(a ≠0)的图象经过点(1，1)，则a ＋b ＋1的值是(D)
A ．－3
B ．－1
C ．2
D ．3
6．(吕梁市孝义县期末)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 、y 的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为(D)
A ．y 轴
B ．直线x ＝5
2
C ．直线x ＝2
D ．直线x ＝3
2
7．点P 1(1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(C)
A ．y 3>y 2>y 1
B ．y 3>y 1>y 2
C ．y 1>y 2>y 3
D ．y 1＝y 2>y 3
8．(广东中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是(D)
A ．函数有最小值
B ．对称轴是直线x ＝1
2
C ．当x<1
2，y 随x 的增大而减小
D ．当－1<x<2时，y>0
9．(南通中考)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点是(－4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线x ＝－1． 10．(阳泉市平定县月考)已知抛物线y ＝x 2－3x －4.
先确定该抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再在下面网格中画出抛物线．
解：y ＝x 2－3x －4＝(x －32)2－254
.
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝3
2，
顶点坐标为(32，－25
4)．
画图如图所示．
知识点2 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象变换
11．(山西中考)将抛物线y ＝x 2－4x －4先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的表达式为(D)
A ．y ＝(x ＋1)2－13
B ．y ＝(x －5)2－3
C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－3
12．(上海中考)如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的解析式是y＝x2＋2x＋3．
02中档题
13．(牡丹江中考)若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(－2，3)，则2c－4b－9的值是(A)
A．5 B．－1 C．4 D．18
14．(山西农业大学附中月考)若二次函数y＝(m＋1)x2－mx＋m2－2m－3的图象经过原点，则m的值为(C) A．－1或3 B．－1
C．3 D．－3或1
15．(山西中考)抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移得到y＝－2x2，平移方法是(D)
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
16．(眉山中考)若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－ax(B)
A．有最大值a
4B．有最大值－a
4
C．有最小值a
4D．有最小值－a
4
17．(阳泉市盂县期中)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：
给出下列说法：
①抛物线与y轴的交点为(0，6)；②抛物线的对称轴在y轴的左侧；③抛物线一定经过点(3，0)；④在对称轴左侧y 随x的增大而增大．
从表中可知，其中正确的个数为(B)
A．4 B．3 C．2 D．1
18．(辽阳中考)如图，抛物线y＝x2－2x－3与y轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P.若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为(A)
A．1＋ 2 B．1－ 2
C.2－1 D．1－2或1＋ 2
提示：令x ＝0，则y ＝－3，∴点C 的坐标为(0，－3)． ∵点D 的坐标为(0，－1)， ∴线段CD 中点的纵坐标为 1
2
×(－1－3)＝－2. ∵△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形， ∴点P 的纵坐标为－2.
∴x 2－2x －3＝－2，解得x 1＝1－2，x 2＝1＋2， ∵点P 在第四象限，∴点P 的横坐标为1＋ 2.故选A.
19．如图，抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4a 与x 轴相交于点A 、B ，且过点C(5，4)． (1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
解：(1)把点C(5，4)代入抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4a ，得25a －25a ＋4a ＝4，解得a ＝1. ∴该二次函数的解析式为y ＝x 2－5x ＋4. ∵y ＝x 2－5x ＋4＝(x －52)2－9
4，
∴顶点P 的坐标为(52，－9
4
)．
(2)答案不唯一，如：先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的二次函数解析式为y ＝(x －5
2＋3)2
－94＋4＝(x ＋12)2＋7
4，即y ＝x 2＋x ＋2.
03 综合题
20．设二次函数y 1，y 2的图象的顶点坐标分别为(a ，b)，(c ，d)．若a ＝－2c ，b ＝－2d ，且开口方向相同，则称y 1是y 2的“反倍顶二次函数”．
(1)请写出二次函数y ＝x 2－x ＋1的一个“反倍顶二次函数”；
(2)已知关于x 的二次函数y 1＝x 2＋nx 和二次函数y 2＝2x 2－nx ＋1.若函数y 1恰是y 2的“反倍顶二次函数”，求n 的值．
解：(1)∵y 2＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34，顶点坐标为(12，3
4)，
∴y 1的顶点坐标为(－1，－3
2
)．
又∵开口方向相同，∴二次函数y ＝x 2－x ＋1的一个“反倍顶二次函数”可以是y 1＝(x ＋1)2－3
2
.
(2)∵y 1＝x 2
＋nx ＝(x ＋n 2)2－n 24，y 2＝2x 2
－nx ＋1＝2(x －n 4)2－n 2
－88
，
由题意，得－n 2
4＝(－2)×(－n 2－88
)，解得n ＝±2.
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
01 基础题
知识点1 利用“三点式”求二次函数解析式
1．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋1的图象经过点(1，3)，则该二次函数的解析式为y ＝x 2＋x ＋1． 2．(河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是(1，4)．
3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝0时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝0.求这个二次函数的解析式．
解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝6，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝1.
∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2－3x ＋1.
4．如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标．
解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0.解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3. ∴该抛物线的解析式是y ＝x 2－2x －3. (2)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，
∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－4)．
知识点2 利用“顶点式”求二次函数解析式
5．(上海中考)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是y ＝2x 2－1(答案不唯一)．(只需写一个)
6．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 与y 的部分对应值如下表：
则此二次函数的解析式为y ＝－2x 2－12x －13.
7．已知抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y 轴的交点是(0，－4)，求这个二次函数的解析式． 解：∵抛物线的顶点坐标是(3，－1)， ∴设二次函数解析式为y ＝a(x －3)2－1. 又∵图象过点(0，－4)，
∴－4＝a(0－3)2－1，解得a ＝－13
.
∴这个二次函数的解析式为y ＝－1
3(x －3)2－1.
知识点3 利用“交点式”求二次函数解析式
8．(教材P57习题T6变式)如图所示，抛物线的函数解析式是(D)
A ．y ＝1
2x 2－x ＋4
B ．y ＝－1
2x 2－x ＋4
C ．y ＝1
2
x 2＋x ＋4
D ．y ＝－1
2
x 2＋x ＋4
9．(教材P40练习T2变式)(百色中考)经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的解析式是y ＝－3
8(x －4)(x
＋2)(或写成y ＝－38x 2＋3
4
x ＋3)．
10．已知抛物线与x 轴交于点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，且过点(2，4)，求抛物线的解析式． 解：∵抛物线与x 轴交于点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为(1，0)． 设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋3)(x －1)， 将点(2，4)代入，得
4＝a(2＋3)(2－1)，解得a ＝4
5
.
∴抛物线的解析式为y ＝4
5(x ＋3)(x －1)，
即y ＝45x 2＋85x －125.
02 中档题
11．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是(D)
A ．y ＝x 2－x －2
B ．y ＝－12x 2－1
2x ＋2
C ．y ＝－12x 2－1
2x ＋1
D ．y ＝－x 2＋x ＋2
12．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点是(－1，－3)，则b ，c 的值分别是(D)
A ．b ＝2，c ＝4
B ．b ＝2，c ＝－4
C ．b ＝－2，c ＝4
D ．b ＝－2，c ＝－4 13．二次函数的图象如图所示，则其解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3．
14．(杭州中考)设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解
析式为y＝1
8x
2－1
4x＋2或y＝－
1
8x
2＋3
4x＋2．
15．(宁波中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．
解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)．
∵抛物线过点C(0，－3)，
∴－3＝a(－1)×(－3)．
解得a＝－1.
∴y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3.
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)．
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y＝－x上．
16．(牡丹江中考)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，对称轴是直线x＝－3，B(－1，
0)，F(0，1)，请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)直接写出抛物线顶点E的坐标，并判断AC与EF的位置关系，不需要说明理由．
解：(1)∵B(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝－3， ∴A(－5，0)． 根据题意，得
⎩
⎪⎨⎪⎧－25－5b ＋c ＝0，－1－b ＋c ＝0. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝－5.
∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－6x －5. (2)E(－3，4)，AC ∥EF.
03 综合题
17．(凉山中考)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，－3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标．
解：(1)由题意，得 y ＝ax 2＋bx －3.
将A(－1，0)、B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得
⎩
⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，9a ＋3b －3＝0， 解得⎩⎪⎨
⎪
⎧a ＝1，b ＝－2.
∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2－2x －3.
(2)当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短， 此时直线l 为x ＝－b
2a
＝1，
∴P(1，0)．。