2022-2023学年上海市奉贤高一下册5月月考数学模拟试题(含解析)

2022-2023学年上海市奉贤高一下册5月月考数学模拟试题
（含解析）
一、填空题
1．与2023 终边相同的最小正角是______．【答案】223
【分析】用诱导公式（一）转化即可.
【详解】因为20235360223=⨯+ ，所以与2023 终边相同的最小正角是223 .故答案为：223 .
2．已知向量(1,2)OA =- 、(3,)OB m = ，若OA OB ⊥
，则m =_____________．
【答案】
3
2##1.5.【分析】由OA OB ⊥ ，得0OA OB ⋅=
，列方程可求出m 的值.
【详解】因为向量(1,2)OA =- 、(3,)OB m = ，OA OB ⊥
，所以320O m A OB =-+=⋅ ，解得32
m =，
故答案为：
32
.3．设平面α与平面β相交于直线l ，直线a α⊂，直线,b a b M β⊂⋂=，则M __l (用下列符号之一表示：∈、∉、⊂、)⊆．【答案】∈
【分析】确定M α∈，M β∈，得到答案.
【详解】a b M = ，故M a ∈，a α⊂，故M α∈；a b M = ，故M b ∈，a β⊂，故M β∈；
故M a l β∈= 故答案为：∈
4．若tan 2α=-，则tan 4πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭_____．
【答案】3
【分析】直接利用两角差的正切公式代入即可求解．【详解】∵tanα＝﹣2，
则tan 1tan 341tan πααα-⎛
⎫-=
= ⎪+⎝⎭
．故答案为3
【点睛】本题考查两角差的正切公式的应用，属于简单题.
5．函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎣⎦
的单调增区间为______.
【答案】0,3π⎡⎤
⎢⎣⎦
【分析】由0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求得2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令662x πππ≤+≤，即可求得函数的单调增区间.
【详解】由0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，可得2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令662x πππ≤+≤，解得03x π≤≤，
即函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎣⎦的单调增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.
故答案为：0,3π⎡⎤
⎢⎣⎦
.
6．已知向量()2,3a = ，()4,7b =- ，则向量b 在向量a
的方向上的数量投影为__．
【分析】由数量投影的定义、数量积的定义和坐标运算、向量模的坐标运算进行求解即可.
【详解】向量b 在向量a
的方向上的数量投影为：
||cos ,||||||||
a b a b b a b b a a b ⋅⋅==
7．已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若1
2
AE AH AB AD ==，1
3
CF CG CB CD
==，则四边形EFGH 形状为________.【答案】梯形【详解】如图
在ABD 中，∵12AE AH AB AD ==，∴EH BD 且1
2EH BD =，在BCD 中，∵13
CF CG CB CD ==∴FG BD
且1
3
FG BD =
，∴EH FG 且EH FG >，∴四边形EFGH 为梯形，故答案为梯形.
8．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2
AP AB AC =+ ，则PB PD ⋅=
__．
【答案】-1
【分析】首先根据条件1()2
AP AB AC =+
确定点P 位置，然后建立平面直角坐标系并写出各点坐标，
然后根据数量积的坐标运算进行求解即可.
【详解】建立坐标系如图，正方形ABCD 的边长为2
，
则(2,0)B ，(2,2)C ，(0,2)D ，点P 满足
1()2
AP AB AC =+
，所以(2,1)P ，(0,1)PB =- ，(2,1)PD =- ，所以1PB PD ⋅=-
．
故答案为：1
-9．已知关于x 的实系数一元二次方程22(1)10x k x k +-+-=有两个虚根12,x x ，且122x x +=，则满足条件的实数k 的值为________．
【分析】设12i(0),i x a b b x a b =+≠=-，根据题意及根与系数的关系可得211k -=，且∆<0。

由此可得k 的值
【详解】解：设12i(0),i x a b b x a b =+≠=-，
由根与系数的关系可得122
12
11x x k x x k +=-⎧⎨=-⎩，则22221
1a k a b k =-⎧⎨+=-⎩，因为122x x +=
，所以2=，所以211k -=
，解得k =由22(1)4(1)0k k ∆=---<，得1k >或5
3
k <-，
所以k =
10．
定义：复数b ai +是(),z a bi a b R =+∈的转置复数，记为'=+z b ai ．
若z =，则()()''++z z z z
的最大值为______．
【答案】【分析】设i(,)z a b a b R =+∈，则i z b a '=+，求出()z z '+、()z z '+，再由乘积的模等于模的乘积及基本不等式求解．
【详解】解：设i(,)z a b a b R =+∈，则i z b a '=+，
()()i z z a b a b '+=+++，()()i z z a b a b '+=++-，
||z =222a b ∴+=，
|()()||()||()|z z z z z z z z ∴'+'+='+'+
=
当且仅当a b =时等号成立．
故答案为：11．已知将函数()sin()(06,)2
2f x x π
π
ωθωθ=+<<-<
的图象向右平移3
π
个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=对称，则ωθ⋅=________.
【答案】3
4
π
-【分析】()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对称，所以
11,4
2
k k Z π
π
ωθπ+=+
∈①，
22,4
3
2
k k Z π
π
π
ωωθπ-
+=+
∈②，由①②结合06,22
ππ
ωθ<<-
<<即可得到答案.【详解】由题意，()()sin()3
3
g x f x x π
π
ωωθ=-=-
+，因为()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对
称，所以
11,4
2
k k Z π
π
ωθπ+=+
∈①，
22,4
3
2
k k Z π
π
π
ωωθπ-
+=+
∈②，由①②，得
12123(),,k k k k Z ω=-∈，又06ω<<，所以3ω=，将3ω=代入①，得11,4
k k Z π
θπ=-
∈，注意到22ππθ-
<<，所以4
πθ=-，所以3
4ωθπ⋅=-.
故答案为：3
4
π
-【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数图象的平移、函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
12．已知2π
3
θ=
，向量()cos ,sin a θθ= ，()1,0b = ，16= OP ，1P 、2P 、3P 是坐标平面上的三点，使得()2112⎡⎤=-⋅⎣⎦ OP OP a OP a ，()
322
2⎡⎤=-⋅⎣⎦ OP OP b OP b ，则3 OP 的最大值为__．
【答案】12
【分析】设()16cos ,sin αα=
OP ，利用向量的线性运算及数量积运算可求得3=
OP ()()240,cos sin θαθ=-，由向量模的运算和三角函数的有界性可求得答案.
【详解】因为16= OP ，不妨设()16cos ,sin αα= OP ，由向量
()cos ,sin a θθ=
，得()
2112⎡⎤=-⋅⎣⎦
OP OP a OP a ()()()26cos ,sin 6cos cos ,sin αααθθθ=--⎡⎤⎣⎦()()12cos cos cos sin cos sin ，ααθθααθθ=----⎡⎤⎣⎦
2
212cos cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin ，ααθαθθααθθαθ⎡⎤=----⎣⎦
()()()12sin sin ,cos sin θθαθαθ
=--，
所以()
3
222⎡⎤=-⋅⎣⎦
OP OP b OP b ()()()()()212sin sin ,cos sin 12sin sin 10，θθαθαθθθα⎡⎤=----⎣⎦
()()240,cos sin θαθ=-，
因为2π3θ=
，所以1cos 2θ=-，sin θ=则32ππ12sin 12sin 33αα⎛⎫⎛
⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ OP ，
所以当πsin 13α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时，3 OP 取最大值12．
故答案为：12.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是设()16cos ,sin αα=
OP 和利用向量的线性运算和数量积的
运算，本题考查了向量的坐标运算、三角恒等变换以及三角函数的性质，考查了学生的运算求解能力.
二、单选题
13．已知向量(3,4)a =- ,则下列能使12(,)a e e R λμλμ=+∈
成立的一组向量12,e e 是()
A ．12(0,0),(1,2)e e ==-
B ．12(1,3),(2,6)
e e =-=-
C ．12(1,2),(3,1)
e e =-=-
D ．121(,1),(1,2)
2
e e =-=- 【答案】C
【分析】根据平面向量基本定理，只要12,e e
不共线即可．
【详解】A 中1e 是零向量，与任何向量共线，B 中212e e =- ，12,e e ，D 中212e e =- ，12,e e
，只有C 中12,e e 不共线，根据平面向量基本定理，存在,λμ使得12e a e λμ=+
．
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量基本定理，掌握平面向量基本定理是解题基础．14．设复数1z 、2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，134z i =+，则12z z =（）
A ．25-
B ．25
C ．724i -
D ．724i
--【答案】A
【分析】求出复数2z ，利用复数的乘法可化简复数12z z .
【详解】由题意可得234z i =-+，因此，()()()2
21234344325z z i i i =+-+=-=-.故选：A.
15．在正方体中，E 、F 、G 、H 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E 、F 、G 、H 四点共面的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】对于B ，证明//EH FG 即可；而对于BCD ，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.
【详解】对于选项A ，如下图，点E 、F 、H 、M 确定一个平面，该平面与底面交于FM ，而点G 不在平面EHMF 上，故E 、F 、G 、H 四点不共面；
对于选项B ，连结底面对角线AC ，由中位线定理得//FG AC ，又//EH AC ，则//EH FG ，故E 、F 、
G 、H 四点共面
对于选项C ，显然E 、F 、H 所确定的平面为正方体的底面，而点G 不在该平面内，故E 、F 、G 、
H 四点不共面；
对于选项D ，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点E 、G 、H 确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ ，而点F 不在直线PQ 上，故E 、F 、G 、H 四点不共面．
故选：B
16．已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于1
2的个数的最大值是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得3
sin cos sin cos sin cos 2
αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于1
2，再结合特例可得三式中大于1
2的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，
同理22sin cos sin cos 2
βγ
βγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，
故3sin cos sin cos sin cos 2
αββγγα++≤
，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于1
2.
取6
π
α=
，3π
β=
，4
πγ=，
则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222
αββγγα=
<=>=>，故三式中大于1
2的个数的最大值为2，故选：C.
法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：
sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13
sin cos sin cos sin cos sin sin 222
αγββγαγαβ++=++≤，
故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于1
2.取6
π
α=
，3π
β=
，4
πγ=，
则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 424242
αββγγα=
<=>=>，故三式中大于1
2的个数的最大值为2，故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
三、解答题
17．已知复数z 使得2z i R +∈，2z
R i
∈-，其中i 是虚数单位.（1）求复数z 的共轭复数z ；
（2）若复数()2
z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）42i +；（2）()2,2-.【分析】(1)根据2z i R +∈、
2z
R i
∈-，结合复数的加法、除法运算即可求出z ，进而由共轭复数的概念求得z ；(2)复数()2
z mi +在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，
解不等式即可求得m 的范围
【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++∵2z i R +∈∴=2y -又
2224
2255
z x i x x i R i i -+-==+∈--，∴4
x =综上，有42z i =-∴42z i
=+（2）∵m 为实数，且()()()(
)2
2
2
4212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦∴由题意得()2
1240
820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩
，解得22
m -<<故，实数m 的取值范围是()
2,2-【点睛】本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围
18．（1）如图，已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，点M 、N 分别是正方形ABCD 和正方形
BCC B ''的中心，画出过点A 、M 、N 的截面并求出其面积；
（2）在四面体ABCD 中，8AB =，6CD =，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，且5MN =，求AB 与
CD 所成的角．
【答案】（1；（2）90︒．【分析】（1）设过点,,A M N 的截面与平面11ABB A 的交线为l ，证明//MN l ，得1//A B l ，则得截面作法：过A 作直线与1A B 平行，分别与111,B A B B 的延长线交于点,L K ，连接LM 交11A D 于点Q ，直线LM 交11B C 于T ，连接KN 交BC 于P ，直线KN 交11B C 于T '，可证明,T T '重合，得截面APTQ ，然后根据作图中的平行线的性质求得截面面积；
（2）取AC 中点P ，连接,PM PN ，证明MPN ∠是异面直线,AB CD 所成的角或其补角，然后在PMN 中由勾股定理逆定理计算可得．
【详解】（1）如图，连接1,MN A B 111,,AC BC ，则,M N 分别是11AC
，1BC 的中点，∴1//MN A B ，MN ⊄平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，∴//MN 平面11ABB A ，
设过点,,A M N 的截面与平面11ABB A 的交线为l ，则//MN l ，从而1//A B l ，因此过A 作直线与1A B 平行，分别与111,B A B B 的延长线交于点,L K ，连接LM 交11A D 于点Q ，直线LM 交11B C 于T ，连接KN 交BC 于P ，直线KN 交11B C 于T '，
由1
1//AQ B T 得1111A Q LA B T LB =，又由M 是11A C 中点，11//A Q C T 得11111A Q A M
C T C M
==，即1
1AQ C T =，所以11
11
C T LA B T LB =，同理
111
C T KB B T KB '='，又由1//LK A B 得111LA KB
LB KB =，所以1111C T C T B T B T '='
，所以,T T '重合，连接,AQ AP 得截面APTQ ，
因为11ABB A 是正方形且1//A B AK ，所以11112A L A B BK BB AB =====，1112C T B T =
，12
3
C T =，143B T =，
从而可得123BP A Q ==
，14
3
D Q CP ==，
由直角三角形和直角梯形的性质得3
AQ QT TP PA ====，
APTQ 是菱形，
由1A Q BP =且1//A Q BP 得1A BPQ
是平行四边形，1PQ A B ==
则3
AT ==，
菱形1A BPQ
的面积为1233
S =
⨯=
；
（2）取AC 中点P ，连接,PM PN ，因为,M N 分别是,BC AD 的中点，
则//PN CD ，//PM AB ，
所以MPN ∠是异面直线,AB CD 所成的角或其补角，由已知142PM AB ==，132
PN CD ==，又5MN =，所以222PM PN MN +=，所以90MPN ∠=︒，所以异面直线,AB CD 所成的角是90︒．
19．已知(cos sin ,sin )a x x x =+ ，(cos sin ,2cos )b x x x =- ．
(1)记()f x a b =⋅ ，若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的值域．(2)求证：向量a 与向量b 不可能平行．
【答案】(1)()1,2f x ⎡∈-⎣(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角恒等变换和三角函数的性质求解；
（2）利用向量的平行的坐标表示与三角函数求解即可.
【详解】（1）因为(cos sin ,sin )a x x x =+ ，(cos sin ,2cos )b x x x =- ，
所以22()cos sin 2sin cos cos2sin 2f x a b x x x x x x
=⋅=-+=+ π2
4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
所以πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦，所以()f x ⎡∈-⎣．（2）假设向量a 与向量b 平行，
所以222cos 2sin cos sin cos sin x x x x x x +=-，所以111cos2sin 2sin 2(1cos2)22
x x x x ++=--，所以sin 2cos23x x +=-，所以πsin 2
4x ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭因为πsin 21
4x ⎛⎫+≥- ⎪⎝
⎭，所以πsin 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以向量a 与向量b 不可能平行．
20．燕山公园计划改造一块四边形区域ABCD 铺设草坪，其中2AB =百米，1BC =百米，AD CD =，AD CD ⊥，草坪内需要规划4条人行道DM 、DN 、EM 、EN 以及两条排水沟AC 、BD ，其中M 、N 、E 分别为边BC 、AB 、AC 的中点．
(1)若π2
ABC ∠=，求BCD ∠的余弦值；
(2)若π2ABC ∠=，求排水沟BD 的长；(3)当ABC ∠变化时，求4条人行道总长度的最大值．（单位百米）
【答案】(1)10-
(2)2
百米；
(3)(322百米．
【分析】（1）在直角三角形ABC 和直角三角形ADC 中，分别求出BCA ∠和ACD ∠的正、余弦值，再利用两角和的余弦公式，求BCD ∠的余弦即可；
（2）在三角形BCD 中，使用余弦定理求解即可；
（3）连接DE ，以ABC ∠为参变量，在三角形MDE 和NDE 中，利用
π2MED MEC CED BAC ∠∠=+∠=∠+和π2
NED NEA AED BCA ∠∠∠=+∠=+，结合解三角形知识对DM ，DN 进行求解，并借助函数思想求出DM DN EN EM +++的最大值即可.
【详解】（1）∵2AB =百米，1BC =百米，2ABC π
∠=，
∴在直角三角形ABC 中，AC =
∴sin
5AB BCA AC ∠==，cos 5BC BCA AC ∠==
又∵AD CD ⊥，AD CD =，AC =
∴在等腰直角三角形ACD 中，AD CD ==sin ACD ∠=，cos ACD ∠=∴cos BCD ∠()
cos BCA ACD =∠+∠cos cos sin sin BCA ACD BCA ACD
=∠∠-∠∠
22
=
=
∴BCD ∠的余弦值为10
-.
（2）由第（1）问，当π2ABC ∠=时，cos BCD ∠=2CD =百米∴在三角形BCD 中，
2222cos BD BC CD BC CD BCD
=+-⋅⋅∠2
21212210⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
92=，
∴2
BD =百米.
∴排水沟BD 的长为
2百米.（3）设ABC α∠=，BAC β∠=，BCA γ∠=，
∵M 、N 、E 分别为边BC 、AB 、AC 的中点，
∴EM AB ∥，112EM AB ==百米，MEC BAC β∠=∠=，∴EN BC ∥，1122
EN BC ==百米，NEA BCA γ∠=∠=，在三角形ABC 中，由余弦定理得2222cos 54cos AC AB BC AB BC αα+⋅⋅=-=-,
由正弦定理
sin sin sin AC BC AB αβγ==，得sin sin sin BC AC AC ααβ⋅==，sin 2sin sin AB AC AC
ααγ⋅==连接DE ，∵AD CD =，AD CD ⊥，E 为边AC 的中点，∴DE AC ⊥，12
DE AC =，在三角形MDE 中，()πcos cos cos sin 2MED MEC CED ∠∠ββ⎛⎫=+∠=+=- ⎪⎝
⎭，由余弦定理得2222cos DM EM DE EM DE MED
∠=+-⋅⋅21121sin 42
1AC AC β=++⨯⨯⨯()11sin 154cos 2142AC AC
αα=+⨯-+⨯⨯⨯9cos sin 4
αα=-+，在三角形NDE 中，()πcos cos cos sin 2NED NEA AED ∠∠γγ⎛⎫=+∠=+=- ⎪⎝
⎭，由余弦定理得2222cos DN EN DE EN DE NED
=+-⋅⋅∠21112sin 44122AC AC γ=
++⨯⨯⨯()11112sin 54cos 24422AC AC αα=
+⨯-+⨯⨯⨯3cos sin 2
αα=-+，令πcos sin 24t ααα⎛⎫=-+=- ⎪
⎝⎭
∵0πα<<，∴ππ3π444α-<-<，∴(t ∈，
∴13122DM DN EN EM ++++++，
令()32f t =+，易知()f t 在(
t ∈上单调递增，
∴当t =时，()f t 的最大值为f ，
3
2f
32
=
32=+123
222=
++
62=
3
(22
=.
∴DN DM EN EM +++最大值为
(322+，
∴4条走道总长度的最大值为(322百米．【点睛】本题前两问较为简单，难点在第（3）问.对于解三角形中的最值问题，有两种最常用的方法，一种是通过单一变量，构造函数，利用函数单调性和最值解决，另一种是借助不等式知识解决，本题采用了第一种方法.
21．在ABC 中，120CAB ∠=︒.
（1）如图1，若点P 为ABC 的重心，试用AB 、AC 表示AP ；
（2）如图2，若点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），且
1AB AC ==，设(,)AP AB AC λμλμ=+∈R ，求λμ的取值范围；
（3）如图3，若点P 为ABC 外接圆的圆心，设(,)AP m AB n AC m n =+∈R ，求m n +的最小值.
【答案】（1）1133AP AB AC =+ ；（2）[0,1]λμ∈；（3）2.【分析】（1）延长AP 交BC 于D ，利用向量中线公式求出1()2
AD AB AC =+ ，再由P 为ABC 的重心，即可表示；
（2）以
A 为原点，建立平面直角坐标系，表示出(1,0)
B ，13,22
C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，
(cos ,sin )P θθ，利用向量的坐标表示得到21sin 2363πλμθ⎛⎫=
-+ ⎪⎝
⎭，利用三角函数求最值即可（3）由AP mAB nAC =+ ，利用平面向量基本定理得到m 、n 的关系：3122mn m n +=+利用基本不等式求出最小值.
【详解】（1）延长AP 交BC 于D ，则D 是BC 中点，所以1()2AD AB AC =+ 因为点P 为ABC 的重心，
所以22111()33233
AP AD AB AC AB AC ==⋅+=+ ；（2）以A 为原点，建立如图坐标系，
则(1,0)B ，1322C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，
设(cos ,sin )P θθ，20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
因为(,)AP AB AC λμλμ=+∈R ，
所以13(cos ,sin )(1,0),22θθλμ⎛=+- ⎝⎭
，
所以3cos 323sin 3λθθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以221sin cos 2sin sin 2(1cos 2)333333λμθθθθθθθ⎛⎫=
+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭)
1
212cos 21sin 2
3363πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭因为20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以21sin 2[0,1]363πθ⎛⎫-+∈ ⎪⎝
⎭，所以[0,1]λμ∈；（3）因为120CAB ∠=︒，所以120CPB ∠=︒
由AP mAB nAC =+ 可得()()
AP m AP PC n AP PB =+++ 即(1)m n AP mPC nPB
--=+ 平方可得222222(1)2m n AP m PC n PB mnPC PB
--=++⋅ 2
22222(1)||||||2||||cos120m n AP m PC n PB mn PC PB --=++⋅︒ 222(1)m n m n mn
--=+-22221222m n m n mn m n mn ++--+=+-，即3122mn m n +=+根据平行四边形法则可知1m n +>，令m n t +=，则213
t mn -=
，1t >根据基本不等式可得2
()4
m n mn +≤，所以2
2134t t -≤，解得2t ≥或23t ≤所以2t ≥，所以2m n +≥，所以m n +的最小值是2.
【点睛】在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.。