四川省成都市龙泉驿区第一中学校2017届高三模拟二数学

3 3
3 3
高2014 级第二次模拟联考（第三套）
理数答案
一、选择题：
1－12：B A C D D A C B D B C A
二、填空题：
13．57 14．495 15．64 16. 2 三、解答题：
17．解：（1）因m (cos x
, 1),n ( sin
x
, cos
2 x )，
2 2 2
故 f (x) m n ＋
1
2 3 sin
x
cos
x
cos
2 x
1
2 2 2
2
sin x 1
cos x sin( x
2 2 6
……………… 3 分
又x
0,
，故x
，
……………. 4 分
2
6
1
6 3
1
所以sin(x ) －，
即f (x) 的取值范围是 －， …….6 分
6 2 2
，
2 2
（2） 2b cos A 2c a ，由正弦定理得2 sin B cos A 2 sin C sin A
2sin B cos A 2sin( A B) sin A
整理得s in A 2 sin A cos B ，又 ABC 中，s in A 0
cos B 1
，又 B
0,
2 B
3 ………………..8 分
又b 2 ，由余弦定理得a2 c2 2ac cos B b2
即a2 c2 2ac cos
4
3 (a c)2 3ac 4
3
(a c)2 4
4
(a c)2 16, a c 4 ，又a c b 2
故4 a b c 6即 ABC周长的取值范围是 4，6
…………………
12分
C 3 4 3 C C C 3
4
18．解：（1）由题意 X 的所有可能的取值为 0，1，2，3 ………….. 1 分
C 0C 3
1
其中 P ( X 0)
4 3
7
35
C 1C 2 P ( X 1) 4 3 7
12 35 C 2C 1 18
P ( X 2) 4 3
7
35
所以 X 的分布列为
C 3C 0 P ( X 3) 4 3 7
4
……………3 分
35
18
12
从而 E ( X ) 0 1 2 3
35 35
35
35
7
12
即所求数学期望是
7。

…………..6 分
（2）由题意，设“甲、乙两村是女生”为事件 A ，“丙村为男生”为事件 B ， 其中 n ( A ) A 2 A 1 A 3 30 n ( AB ) 24 4
所以 P (B | A )
n ( A ) 30 5
n ( AB ) A 2 A 1
24
4
……………9 分
即甲、乙两村为女生的情况下，丙村为男生的概率为 5 19．（1）证明：取 B C 的中点 D ，连结 A D 、PD ，。

…………….12 分
AB AC , AD BC 又 PA BC 且 P A AD A 故 B C 平面 P AD
BC PD ，又 D 为 B C 中点，
PBC 为等腰三角形，从而 P B PC
…….5 分
（2）由（1）有 B C 面PAD ，从而平面 ABC 平面 P AD ，
D
过点 P 作 P O AD 于 O ，则 P O 平面 A BC ，所以 P O 4 C
BC 平面 P AD ， A D 平面ABC , PD 平面PBC A
O
PDA 是二面角 P BC A 的平面角
y
x
B
从而由已知得 t an PDA 2 ，又在 R t POD 中， P O 4 从而 O D 2 AB ＝AC =
，BC ＝8 AD 5
…………7 分
以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，
则 A (0, 3, 0)，B (4, 2, 0)，C ( 4, 2, 0)，P (0, 0, 4) 假设在线段 A P 上存在点 M ，使得二面角 A -MC -B 的平面角为 60。

令 A M AP (0,3 , 4 )，
(0 1) ，且 M (0, 3 3, 4 ) BM ( 4, 3 5, 4 )， C B (8, 0, 0)
令平面 M BC 的一个法向量为 n 1 (x , y ,
z )
AC (-4，5，0) …… 8 分 BM n
0 则
1
, 4x (3 5) y 4 z 0
BC n 0 8x 0
1
令 z 1，则 y 4
，即 n
(0,
4 ,
1) …………….. 10 分
5 3
1
5 3
同理平面 A MC 的一个法向量 n 2 (5，4，-3)
∴ 41
2 2 2
cos n 1, n 2
cos 60 1 即 2 1 ， 2
7
或 ＝- 1
， 这与 0 1不符
5
5
即在线段 A P 上不存在点 M ，使得二面角 A -MC -B 的平面角为 60。

……12 分
20．解：（1）因 F 1 （0， 2 ）、 F 2 （0， - 2
）为椭圆焦点，且以
F 1 F 2 为直径的圆 2
2
y
x 恰与椭圆有两个交点，故令椭圆标准方程为
a 2
b 2
1 (a b 0) ，
则 b c ， a 1 2
从而所求椭圆方程为 2x 2 y 2 1
………….3 分
（2）由题意，直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 为 y kx m ，A (x 1, y 1 ), B (x 2 ,
y 2 )
y kx m
2 2
2
，消去 y 得 (2 k ) x
2x 2 y 2
1 + 2kmx m 1 0
由 0可得 k
2 2m
2
2（※） 2km m
2
1
x 1 x 2 2 , x 1 x 2 2
2 k
2 k
又 AQ 2QB ， ( x 1, m y 1 ) 2(x 2 , y 2 m ) x 1 2x 2
50
2( x 1 x 2 ) x 1x 2
…… 6 分
……8 分
2km 即 2 2
2 k
m 2 1
2 k
2
，整理得： (9m 2 1)k 2 2m 2
2 0 ，
当 9m 2
1 0 时， 2m
2
2 0，不合题意
……….. .. 10 分
当 9m 2 1 0 时， k 2
2m
2 2 2m
2 代入（※）式得 k
2m
2
2
1 9m 2
1 m
2 1，故 1 m 1 或 1 m 1 1 9m 2
9
3
3
即所求 m 的取值范围是 1 m 1 或 1 m 1
3
3
……………..12 分 …
21．解：（1） f (x ) ax 1 ln x f ' ( x ) a 1
( x 0
x
) …………….1 分 当 a 0 时， f ' (x ) 0 恒成立 故 f (x ) 在定义域内单调递减，没有极值点
……………….2 分
当 a 0 时，由 f ' (x ) 0得 a 1 0 x 1
，
x a
此时 f (x ) 在 (0, 1 ) 上单调递减，在 ( 1 , ) 单调递增。

…………….3 分
a
a
f (x ) 在定义域内的极值点有一个
综上：当 a 0 时， f (x ) 没有极值点；当 a 0 时， f (x ) 有一个极值点。

… 4 分
（2）证明：若函数 f (x ) 在 x 1处取得极值， 则由（1）有 a 0 ，且 1
＝1 a
即
a 1， ……….……..5 分
f (x ) x 1 ln x 且 f (x ) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, )单调递增 f (x )＝b 的两个零点为 x 1 , x 2 ,不妨令 x 1 x 2 ，则有 0 x 1 1， x 2 1 当 x 2 2 时，显然 x 1 x 2 2 故只需证明1 x 2 2 时， x 1 x 2 2 从而只需证 x 1 2 x 2 ， 0 2 x 2 1且 f (x ) 在 (0,1) 上单调递减 故需证 f x 1
f (2 x 2 )，又 f x 1
f (x 2 ) b 故上式等价于证明 f x 2 证明如下：
f (2 x 2 )
……………….. 7 分
构造函数 (x )
f (x ) f (2 x )
1 x 2
1 1
2(x 1)2
即 (x ) 2x 2 ln x ln(2 x )，则 '(x ) 2
x 2 x x (2 x )
故 (x )在(1, 2) 上单调递减，从而 (x ) (1) 0 即 f x
f (2 x )，从而不等式 f
x 2
f (2 x 2 ) 得证 所以 x 1 x 2 2 得证
……………… 9 分
（3）证明：由（2）有，当 a 1时，
f (x ) x 1 ln x 在 (1, )上单调递增，从而 f (x ) f (1) 0 x (1, ) 时， x 1 ln x
故 g (x )
ln
x 2 1 x 2 1
1
1
……………10 分
x 2
x
2 100
2 2
2
3 x 2
1
1
1
2 2 2
从而当 i N
时，
i
1
g (i ) 1 2 3 100 1
1
1
1 1
1
1
1 1 7 又1
1
1
22
3
2
1002
100
4 2 3 3 4 99 100
4 2 4
7
从而当 i N 时， g (i )
i 1
4
22．解： (本小题满分10分)
………….. 12 分
(Ⅰ)∵ 4sin ，∴ 2 4 sin ， ∴曲线 C 的普通方程为 x 2 y 2 4 y 0 ，
………2分
x 2cos
∴曲线 C 的参数方程为
y 2 2sin
( 为参数).
………5分 (Ⅱ)方法一：设斜率为 的直线与 l 的夹角为γ（定值），M 到 l 的距离为 d ， 则|MQ |
d
sin
，所以 d 取最小值时，|MQ |最小．
………7分
| 2 cos( ) 4 |
令 M (2 cos , 2 2sin )，则 d 4 ，
当
3 时， d 最小． ∴点 M 的坐标为 M (- ,
4
2
2) .………….10分
(Ⅱ)方法二：设斜率为的直线与l 的夹角为γ（定值），M 到l的距离为d，
3
2
2
2
a +
b +a -b
a
a +
b +a -b
a a +
b +a -b
a
a +
b +a -b
a
2，2
⎩
则|MQ
|
d
sin
，所以d取最小值时，|MQ|最小．………7分
所以，M 是过圆心垂直于l的直线y -x 2 与圆（靠近直线l端）的交点．
………9分
x2 ( y
2)2 4
由 x -,
，得
x
,
或
（舍去）．
y -x 2 y
2,
y
-
+2,
∴点M的坐标为M(- 2) ．………10分
2x 3 x
2
23．解： (1) f (x) 1 (1 x
2)
3 2x (x 1)
……. 2 分
图象如下：4 分
（2）由a b a b a f (x) 得，f(x) 恒成立，
只需f (x) min ，
2
f (x) 2 2
………………7 分
解不等式 x 1 x 2 2 ，
x 2 即 2x 3 2
x 1
，或1 x 2 ，或
3 2x 2
…………….. 9 分
解得 1 x 5
即为所求 x 的取值范围。

……………..10 分 2 2。