2016届高考数学文一轮复习课时提升练第1节坐标系新人教版选修4-4

课时提升练(六十) 坐标系
一、选择题
1．在以O 为极点的极坐标系中，直线l 的极坐标方程是ρcos θ－2＝0，直线l 与极轴相交于点M ，以OM 为直径的圆的极坐标方程是( )
A ．ρ＝2cos θ
B ．ρ＝2sin θ
C ．2ρ＝cos θ
D ．ρ＝2＋cos θ
【解析】 直线l ：ρcos θ－2＝0的直角坐标方程是x ＝2，直线l 与x 轴相交于点M (2,0)，以OM 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2
＋y 2
＝1，即x 2
－2x ＋y 2
＝0，化为极坐标方程是ρ2
－2ρcos θ＝0，
即ρ＝2cos θ. 【答案】 A
2．在极坐标系中，曲线ρcos θ＋ρsin θ＝2(0≤θ＜2π)与θ＝π
4的交点的极坐标
为( )
A ．(1,1) B.⎝
⎛⎭⎪⎫1，π4
C.⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4 D.⎝
⎛⎭⎪⎫－2，π4
【解析】 将θ＝π
4代入到ρcos θ＋ρsin θ＝2，得ρ＝2，
∴交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4. 【答案】 C
3．将曲线y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3按照φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝3y
变换后的曲线的最小正周期与最大值
分别为( )
A ．π，2
3
B ．4π，3
2
C ．2π，3
D ．4π，6
【解析】 ∵φ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝2x ，
y ′＝3y ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x ′2，y ＝y ′
3，
∴
y ′
3
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ′2
＋π3，
即y ′＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2x ′＋π3，
∴T ＝2π
12＝4π，最大值为6.
【答案】 D
4．(2014·北京通州模拟)下面直线中，平行于极轴且与圆ρ＝2cos θ相切的是( ) A ．ρcos θ＝1 B ．ρsin θ＝1 C ．ρcos θ＝2
D ．ρsin θ＝2
【解析】 由ρ＝2cos θ得ρ2
＝2ρcos θ，即x 2
＋y 2
＝2x ，所以圆的标准方程为(x －1)2
＋y 2
＝1，所以圆心坐标为(1,0)，半径为1，与x 轴平行且与圆相切的直线方程为y ＝1或y ＝－1，则极坐标方程为ρsin θ＝1或ρsin θ＝－1，所以选B.
【答案】 B
5．(2013·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2
B ．θ＝π
2(ρ∈R )和ρcos θ＝2
C ．θ＝π
2(ρ∈R )和ρcos θ＝1
D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1
【解析】 由ρ＝2cos θ，得ρ2
＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x ＝0，即(x －1)2
＋y 2
＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π
2
(ρ∈R )和ρcos θ＝2. 【答案】 B
6．在极坐标系中，直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为 ( )
A ．2 2
B ．2 3
C ．4 2
D ．4 3
【解析】 直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2
＝16，
圆心到直线的距离d ＝|－22|
12＋1
2
＝2 ∴截得的弦长为2r 2
－d 2
＝242
－22
＝4 3. 【答案】 D 二、填空题
7．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，π3，则|CP |＝________. 【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2
＋y 2
＝4x ，即(x －2)2
＋y 2
＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3.
【答案】 2 3
8．(2014·陕西高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是
________．
【解析】 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为
ρ⎝
⎛⎭
⎪⎫
3
2
sin θ－12cos θ
＝1，32y －12x ＝1即12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －32y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
12×3－32×1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－322＝1.
【答案】 1
9．在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．
【解析】 直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0化为直角坐标方程为x －y ＋2＝0，曲线C ：ρ＝2化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝4.如图，直线被圆截得弦AB ，AB 中点为M ，则|OA |＝2，|OB |＝2，从而|OM |＝2，∠MOx ＝3π
4
.
∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 三、解答题
10．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.
(1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标；
(2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上． 【解】 (1)由公式⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ
得M 的直角坐标为(1，－3)；
N 的直角坐标为(2,0)； P 的直角坐标为(3，3)．
(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－0
3－2＝ 3.
∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上． 11．已知圆C 的极坐标方程ρ＝2a sin θ，求： (1)圆C 关于极轴对称的圆的极坐标方程． (2)圆C 关于直线θ＝3π
4
对称的圆的极坐标方程．
【解】 法一：设所求圆上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)．
(1)点M (ρ，θ)关于极轴对称的点为M (ρ，－θ)，代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin(－θ)，即ρ＝－2a sin θ为所求．
(2)点M (ρ，θ)关于直线θ＝3π4对称的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，3π2－θ，
代入圆C 的方程ρ＝2a sin
θ，得
ρ＝2a sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π2－θ，
即ρ＝－2a cos θ为所求．
法二：由圆的极坐标方程ρ＝2a sin θ. 得ρ2
＝2ρa sin θ，
利用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ＝x 2
＋y 2
. 化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2ay .
即x 2
＋(y －a )2
＝a 2
，故圆心为C (0，a )，半径为|a |.
(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0，－a )，圆的方程为x 2
＋(y ＋a )2
＝a 2
，即x 2
＋y 2
＝－2ay . ∴ρ2
＝－2ρa sin θ，故ρ＝－2a sin θ为所求．
(2)由θ＝3π4得tan θ＝－1，故直线θ＝3π
4的直角坐标方程为y ＝－x ，
即x 2
＋(y －a )2
＝a 2
关于直线y ＝－x 对称的圆的方程为(－y )2
＋(－x －a )2
＝a 2
， 即(x ＋a )2
＋y 2
＝a 2
，于是x 2
＋y 2
＝－2ax . ∴ρ2
＝－2ρa cos θ.
此圆的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ.
12．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－
5)，点M 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心，4为半径．
(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)试判定直线l 和圆C 的位置关系．
【解】 (1)由题意，直线l 的普通方程是y ＋5＝(x －1)·tan π3，此方程可化为y ＋5
sin
π
3
＝
x －1
cos π3，令y ＋5
sin π3＝x －1
cos π3＝a (a 为参数)，得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝12
a ＋1，
y ＝32a －5
(a 为参数)．
如图所示，设圆上任意一点为Q (ρ，θ)，则在△QOM 中，由余弦定理，得
QM 2＝QO 2＋OM 2－2·QO ·OM cos ∠QOM ，
∴42＝ρ2＋42
－2×4ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π2.
化简得ρ＝8sin θ，即为圆C 的极坐标方程． (2)由(1)可进一步得出圆心M 的直角坐标是(0,4)． 直线l 的普通方程是3x －y －5－3＝0，
圆心M 到直线l 的距离d ＝|0－4－5－3|3＋1＝9＋3
2＞4，
所以直线l 和圆C 相离．。