【湘教考】2016届高三数学(理)一轮复习课时达标第8章解析几何8.7

一、选择题 1．(2013·郑州模拟)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )
A.π6或5π6
B.π4或3π4
C.π3或2π3
D.π2
【解析】 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ，得6
sin 2θ
＝12，
∴sin θ＝2
2，∴θ＝π4或3π4. 【答案】 B
2．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C: y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )
A.13
B.23
C.23
D.223
【解析】 设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2， 直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点P (－2，0)．
如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ， BN ⊥l 于N ，
由|F A |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |， ∴点B 为AP 的中点，连接OB ， 又∵点O 是PF 的中点，
则|OB |＝1
2|AF |， ∴|OB |＝|BF |，
∴点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为()1，22，∴k ＝22－01－（－2）
＝22
3.
【答案】 D
3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．不确定
【解析】 设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，
于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝1
2|AB |＝半径，故相切． 【答案】 C 4．(2013·聊城模拟)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物
线C 的焦点，若F A →＝－4FB
→，则直线AB 的斜率为( )
A ．±23
B ．±32
C ．±34
D ．±4
3
【解析】 ∵F A →＝－4FB →，∴|F A →|＝4|FB →|，
设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，
如图所示，点A 、B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1、B 1，过A 作BB 1
的垂线，交线段B 1B 的延长线于点M ，
则|BM |＝|AA 1|－|BB 1| ＝|AF |－|BF |＝3t .
又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ， ∴|AM |＝|AB |2－|BM |2＝4t ，
∴tan ∠ABM ＝4
3.
由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±
4
3.
【答案】 D
5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A ＋FB ＋FC ＝0，则|F A |＋|FB |＋|FC |等于( )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
【解析】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1，0)． 由F A ＋FB ＋FC ＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，
|F A |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋x 2＋x 3＋3
2p ＝6. 【答案】 B
6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( )
A ．(2，22)
B ．(2，－22)
C ．(2，±2)
D ．(2，±22)
【解析】 如图所示，由题意，
可得|OF |＝1，由抛物线的定义， 得|AF |＝|AM |，
∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，
∴S △AMF S △AOF
＝1
2×|AF |×|AM |×sin ∠MAF
12×|OF |×|AF |×sin （π－∠MAF ）
＝3，
∴|AF |＝|AM |＝3，设A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y 2
04，y 0，
∴y 20
4＋1＝3，解得y 0＝±2 2. ∴点A 的坐标是(2，±22)． 【答案】 D 二、填空题
7．焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的抛物线的标准方程是________． 【解析】 焦点坐标是3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点，即是(－4，0)或(0，
3)，故抛物线标准方程为y2＝－16x或x2＝12y.
【答案】y2＝－16x或x2＝12y
8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1，0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若AM＝MB，则p＝________．【解析】如图，由AB的斜率为3，
知∠α＝60°，
又AM＝MB，∴M为AB的中点．
过点B作BP垂直准线l于点P，
则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.
∴|BP|＝1
2|AB|＝|BM|.
∴M为焦点，即p
2＝1，∴p＝2.
【答案】 2
9．右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水位下降1 m后，水面宽________m.
【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系，则A的坐标为(2，－2)．
设抛物线方程为x2＝－2py代入点A得p＝1，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为(x0，－3)，则x20＝－2×(－3)，x0＝±6，所以水面宽度为2 6.
【答案】2 6
10．已知直线l1：4x－3y＋11＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
【解析】因为x＝－1恰为抛物线
y2＝4x的准线，所以可画图观察．
如图，连接PF，d2＝PF，
∴d1＋d2＝d1＋PF≥FQ
＝|4×1－3×0＋11|
42＋（－3）2
＝
15
5＝3.
【答案】 3
三、解答题
11．(2013·厦门模拟)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2) 均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
∵点P(1，2)在抛物线上，
∴22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，
则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2
x 2－1(x 2
≠1)，
∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1
，
∴y 1＋2＝－(y 2＋2)．∴y 1＋y 2＝－4.
由①－②得，y 2
1－y 22＝4(x 1－x 2)，
∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4
y 1＋y 2
＝－1(x 1≠x 2)．
12．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于M ，N 两点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的面积为2(O 为坐标原点)．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)是否存在直线l ，使得以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)当直线l 与x 轴垂直时，则|MN |＝2p ，
∴S △OMN ＝12·2p ·p 2＝p 2
2＝2，即p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .
(2)∵直线l 与x 轴垂直时，不满足．设正方形的第三个顶点为P . 故可设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (0，y 0)，
联立⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，
可化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，
x 1x 2＝1.
代入直线l 可得MN 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫
k 2
＋2k
2，2k ，
且⎩⎪⎨
⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，
则线段MN 的垂直平分线为y －2k ＝－1k ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －1－2k 2，
故P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，3k ＋2k 3.
又PM ·PN ＝0，则x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0. 即x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝0，
∴1－4－y 0·4k ＋y 20＝0，化解得ky 2
0－4y 0－3k ＝0，
由y 0＝3k ＋2
k 3代入上式，化简得(3k 4－4)(k 2＋1)＝0.
解得k ＝±44
3.
∴存在直线l ：y ＝±44
3(x －1)．
13．已知三点O (0，0)，A (－2，1)，B (2，1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足||MA →＋MB →＝||
OM →·（OA →＋OB →）＋2. (1)求曲线C 的方程；
(2)动点Q (x 0，y 0)(－2＜x 0＜2)在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l .问：是否存在定点P (0，t )(t ＜0)，使得l 与P A ，PB 都相交，交点分别为D ，E ，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求t 的值．若不存在，说明理由．
【解析】 (1)由MA
→＝(－2－x ，1－y )，MB →＝(2－x ，1－y )，
|MA
→＋MB →|＝（－2x ）2＋（2－2y ）2， OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0，2)＝2y ，
由已知得（－2x ）2＋（2－2y ）2＝|2y ＋2|， 化简得曲线C 的方程：x 2＝4y .
(2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件，
则直线P A 的方程是y ＝t －12x ＋t ，PB 的方程是y ＝1－t
2x ＋t .
曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，它与y 轴的交点为N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，－x 204.
由于－2<x 0<2，因此－1<x 0
2<1.
①当－1<t <0时，－1<t －12<1
2，存在x 0∈(－2，2)，
使得x 02＝t －1
2，即l 与直线P A 平行， 故当－1<t <0时不符合题意．
②当t ≤－1时，t －12≤－1<x 02，1－t 2≥1>x 0
2， 所以l 与直线P A ，PB 一定相交，
分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t －12x ＋t ，y ＝x 02x －x 204，和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－t 2x ＋t ，
y ＝x 02x －x 2
04， 解得D ，E 的横坐标分别是
x D ＝x 20＋4t 2（x 0＋1－t ），x E ＝x 20＋4t
2（x 0＋t －1）
，
则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4t x 20－（t －1）
2，又|NP |＝－x 20
4－t ， 有S △PDE ＝12×|NP |·|x E －x D |＝1－t 8·（x 20＋4t ）
2
（t －1）2－x 20
.
又S △QAB ＝12×4·⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－x 204＝4－x 202，
于是S △QAB S △PDE
＝41－t ·（x 20－4）[x 20－（t －1）2
]
（x 20
＋4t ）2
＝41－t ·x 40－[4＋（t －1）2]x 20＋4（t －1）
2
x 40＋8tx 20＋16t
2. 对任意x 0∈(－2，2)，要使S △QAB S △PDE
为常数，
即只须t 满足⎩⎨⎧－4－（t －1）2
＝8t ，
4（t －1）2＝16t 2
，
解得t ＝－1，此时S △QAB
S △PQE
＝2，
故存在t ＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.。