四川省成都市第七中学高二数学文下学期期末试卷含解析

四川省成都市第七中学高二数学文下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β的位置关系是（）
A．平行B．相交C．平行或相交D．重合
参考答案：
C
【考点】平面与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】当α∥β时，平面α内有无数条直线与平面β平行；当α与β相交时，平面α内有无数条平行直线与平面β平行．
【解答】解：由平面α内有无数条直线与平面β平行，知：
当α∥β时，平面α内有无数条直线与平面β平行；
当α与β相交时，平面α内有无数条平行直线与平面β平行．
∴α与β的位置关系是平行或相交．
故选：C．
【点评】本题考查两平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
2. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）
A.18
B.24
C.30
D.36参考答案：
C
略
3. 下列函数中，最小值为4的函数是（）
A．y=x+B．y=sinx+（0＜x＜π）
C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+4log x3
参考答案：C
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．
【解答】解：A．x＜0时，y＜0，不成立；
B．令sinx=t∈（0，1），则y=t+，y′=1﹣＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立．
C．y=4，当且仅当x=0时取等号，成立．
D．x∈（0，1）时，log3x，log x3＜0，不成立．
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4. 有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为
A. B.
C. D.
参考答案：
D
5. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）
A. (－∞,－2]
B.
C. D. (－2,+∞)
参考答案：
D
【分析】
先将函数在区间内存在单调递增区间，转化为在区间
上有解，再转化为，进而可求出结果.
【详解】因为在区间内存在单调递增区间，
所以在区间上成立，
即在区间上有解，
因此，只需，解得.
故选D
6. 点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）
A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0
参考答案：
C
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．
【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）
∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP
因此，PQ的斜率k===1
可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0
故选：C
7. 与为同一函数的是（）.
A． B. C. D. 参考答案：B
8. 下列命题，正确的是（）
A.若z∈C，则z2≥0
B.若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i
C.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数
D.若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限
参考答案：
D
略
9. 若集合M={y|y=2x}, P={x|y=}, M∩P=（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
10. 设，满足约束条件且的最小值为7，则（）
A.-5
B.3
C.-5或3
D.5或-3
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数．那么函数的最小正周期为
参考答案：
试题分析：
考点：三角函数化简及性质
12. 两平行线：4x+3y－1=0，8x+6y－5=0间的距离等于 .
参考答案：
13. 已知在上单调递减，则实数的取值范围是_________
参考答案： [-2，1]
14. 已知具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表：若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为 ．
y=6.5x ﹣2.5
【考点】BK ：线性回归方程．
【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，由回归直线的 斜率可求回归直线的方程 【解答】解：∵
，
∴这组数据的样本中心点是（5，30） 把样本中心点（5，30）代入回归直线方程，可得a=﹣2.5
∴回归直线的方程为y=6.5x ﹣2.5 故答案为：y=6.5x ﹣2.5
15. 如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 .
参考答案：
24
16. 展开式中的系数为
-___ _____.
参考答案： 3 略
17. 椭圆
的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上,且直线PA 2斜率的取值范围是[－2,
－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是___________.
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f （x ）=ax （a ∈R ），g （x ）=lnx ﹣1．
（1）若函数h （x ）=g （x ）+1﹣f （x ）﹣2x 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）当a ＞0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．
参考答案：
析：
（1）先求出函数h′（x），欲使h（x）存在单调递减区间，则h′（x）＜0在（0，+∞）上有解，然后利用分离法可得a＞在（0，+∞）上有解，故a大于函数在（0，+∞）上的最小值即可．
（2）先令F（x）=f（x）﹣g（x）=ax﹣lnx+1（a＞0），函数f（x）=ax与g（x）=lnx﹣1的交点个数即为函数F（x）的零点的个数，利用导数研究函数F（x）的最小值，比较最小值与0的大小即可得到F（x）的零点的个数．
答：
解：（1）h（x）=lnx﹣﹣2x（x＞0），
h′（x）=﹣ax﹣2．
若使h（x）存在单调递减区间，则h′（x）=﹣ax﹣2＜0在（0，+∞）上有解．
而当x＞0时，﹣ax﹣2＜0?ax＞﹣2?a＞﹣问题转化为
a＞在（0，+∞）上有解，故a大于函数在（0，+∞）上的最小值．
又=﹣1，在（0，+∞）上的最小值为﹣1，所以a＞﹣1．
（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=ax﹣lnx+1（a＞0）
函数f（x）=ax与g（x）=lnx﹣1的交点个数即为函数F（x）的零点的个数．
F′（x）=a﹣（x＞0）令F（x）=a﹣=0解得x=．
随着x的变化，F（x），F（x）的变化情况如表：
（7分）
①当F（）=2+lna＞0，即a=e﹣2时，F（x）恒大于0，函数F（x）无零点．（8分）
②当F（）=2+lna=0，即a=e﹣2时，由上表，函数F（x）有且仅有一个零点．
③F（）=2+lna＜0，即0＜a＜e﹣2时，显然1＜
F（1）=a+1＞0，所以F（1）F（）＜0?，
又F（x）在（0，）内单调递减，
所以F（x）在（0，）内有且仅有一个零点
当x＞时，F（x）=ln
由指数函数y=（e a）x（e a＞1）与幂函数y=x增长速度的快慢，知存在x0＞
使得从而F（x0）=ln
因而F（）?F （x 0＜0）又F （x
）在（，+∞）内单调递增，
F（x）在[，+∞）上的图象是连续不断的曲线，
所以F（x）在（，+∞）内有且仅有一个零点．
因此，0＜a＜e﹣2时，F（x）有且仅有两个零点．
综上，a＞e﹣2，f（x）与g（x）的图象无交点；
当a=e﹣2时，f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点；
0＜a＜e﹣2时，f（x）与g（x）的图象有且仅有两个交点．
19. （本小题12分）设等差数列的前项和为,已知。

（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前10项和.K
参考答案：
（1）设的公差为，由已知，得
解得………k*s5u**……………………………（4分）
………………………………………………（6分）
（2）由（1）得：……（12分）
略
20. 已知函数f（x）=x（x2﹣ax+3）．
（Ⅰ）若x=是f（x）的极值点，求f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
参考答案：
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，令f′（x）=0，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的最值；
（Ⅱ）问题转化为a≤[（x+）]最小值即可，设g（x）=x+（x≥1），求出函数g（x）的最小值，从而求出a的范围．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x3﹣ax2+3x，得：f′（x）=3x2﹣2ax+3，
由已知得：f′（）=0，解得：a=5，
∴f（x）=x3﹣5x2+3x，f′（x）=3x2﹣10x+3，
由f′（x）=0，解得：x=或3，
f（x）与f′（x）在[﹣1，4]上的变化情况如下：
（﹣1，
）
（，3）
∴函数f（x）在[﹣1，4]上的最小值为﹣9，最大值是；（Ⅱ）f′（x）=3x2﹣2ax+3，
由f（x）在[1，+∞）递增，得：
3x2﹣2ax+3≥0，即；a≤（x+），
要使上式成立，只要a≤[（x+）]最小值即可，
设g（x）=x+（x≥1），
由于g（x）在[1，+∞）是递增，
∴g（x）最小值=2，
∴a≤3，
即a的取值范围是（﹣∞，3]．
点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．21. （14分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
（1）求椭圆的方程
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由
参考答案：
解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意解得
∴椭圆方程为
（2）假若存在这样的k值，由得
∴①
设，，，则②
而
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即∴③
将②式代入③整理解得经验证，，使①成立
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E
略
22. （本小题满分12分）如图，为抛物线的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P
为抛
物线上一动点，且的最小值为8。

（1）求该抛物线方程；
（2）如果过的直线l交抛物线于两点，
且，求直线l的倾斜角的取值范围。

参考答案：
（1）；4分
（2）设直线方程为，与抛物线方程联立：…6分
，，所以斜率的范围是，所以倾斜角的范围是…12分。