2018—2019学年人教版八年级下期末数学试卷含答案解析

2018—2019学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）若a＞b，则下列各式中一定成立的是（）
A．a+2＜b+2 B．a﹣2＜b﹣2 C．＞D．﹣2a＞﹣2b
2．（3分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）
A．x2﹣x﹣2=x（x﹣1）﹣2 B．x2﹣4x+4=（x﹣2）2
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 D．x﹣1=x（1﹣）
3．（3分）下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．（3分）多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
5．（3分）已知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
6．（3分）下列多项式能用完全平方公式分解因式的有（）
A．m2﹣mn+n2B．x2+4x﹣4 C．x2﹣4x+4 D．4x2﹣4x+4
7．（3分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，C′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（）
A．60°B．90°C．120° D．150°
8．（3分）运用分式的性质，下列计算正确的是（）
A．=x4B．=﹣1 C．=D．=0
9．（3分）如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，BC=AB，则BC=（）
A．16cm B．14cm C．12cm D．8cm
10．（3分）若分式方程有增根，则m等于（）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
11．（3分）如图，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则BC的长为（）
A．18 B．14 C．12 D．6
12．（3分）如图，已知直线y1=x+m与y2=kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x 的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．
D．
13．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，BD=8，BC=5，AE⊥BC 于点E，则AE的长等于（）
A．5 B．C．D．
14．（3分）定义新运算“⊕”如下：当a＞b时，a⊕b=ab+b；当a＜b时，a⊕b=ab ﹣b，若3⊕（x+2）＞0，则x的取值范围是（）
A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2 B．x＜﹣2或1＜x＜2 C．﹣2＜x＜1或x＞1 D．x＜﹣2或x＞2
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017．则点B2017的坐标（）
A．（22017，﹣22017）B．（22016，﹣22016）C．（22017，22017）D．（22016，22016）
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
16．（3分）分式有意义的x的取值范围为．
17．（3分）若m=2，则m2﹣4m+4的值是．
18．（3分）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA 于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于．
19．（3分）不等式组（m≠4）的解集是x＞4，那么m的取值范围是．
20．（3分）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC方
向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为．
21．（3分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①
=．其中正确结论的是（只△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S
△EFC
填序号）．
三、解答题（本大题共7个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
22．（7分）（1）分解因式：ax2﹣ay2．
（2）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
23．（7分）（1）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF，求证：DE=BF．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=6．
24．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿X轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2．
（3）直接写出点A2、C2的坐标．
25．（8分）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵10元，用350元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过3200元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
26．（9分）探索发现：=1﹣；=﹣；=﹣…
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）=，=；
（2）利用你发现的规律计算： +++…+
（3）灵活利用规律解方程： ++…+=．27．（9分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH．
（1）如图1，点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF，直接写出BH和AF的数量关系：
（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转
①如图2，判断BH和AF的数量关系，并说明理由；
②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形；如果四方形ABCD
的边长为，求正方形EFGH的边长．
28．（9分）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）直接写出线段BO的长：
（2）求点D的坐标；
（3）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使咀M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）若a＞b，则下列各式中一定成立的是（）
A．a+2＜b+2 B．a﹣2＜b﹣2 C．＞D．﹣2a＞﹣2b
【解答】解：（A）a+2＞b+2，故A错误；
（B）a﹣2＞b﹣2，故B错误；
（D）﹣2a＜﹣2b，故D错误；
故选：C．
2．（3分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）
A．x2﹣x﹣2=x（x﹣1）﹣2 B．x2﹣4x+4=（x﹣2）2
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 D．x﹣1=x（1﹣）
【解答】解：A、没把多项式转化成几个整式积的形式，故A不符合题意；
B、把多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；
C、是整式的乘法，故C不符合题意；
D、没把多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
4．（3分）多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
【解答】解：∵x2﹣1=（x+1）（x﹣1），
x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
∴多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是：x﹣1．
故选：A．
5．（3分）已知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则有（n﹣2）180°=360°，
解得：n=4，
故这个多边形是四边形．
故选：A．
6．（3分）下列多项式能用完全平方公式分解因式的有（）
A．m2﹣mn+n2B．x2+4x﹣4 C．x2﹣4x+4 D．4x2﹣4x+4
【解答】解：A、m2﹣mn+n2不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点；
B、x2+4x﹣4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点；
C、x2﹣4x+4能用完全平方公式分解因式；
D、4x2﹣4x+4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点．
故选：C．
7．（3分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，C′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（）
A．60°B．90°C．120° D．150°
【解答】解：旋转角是∠BAB′=180°﹣30°=150°．
故选：D．
8．（3分）运用分式的性质，下列计算正确的是（）
A．=x4B．=﹣1 C．=D．=0
【解答】解：A、=x4，所以A选项计算正确；
B、为最简分式，所以B选项的计算错误；
C、为最简分式，所以C选项的计算错误；
D、=1，所以D选项的计算错误；
故选：A．
9．（3分）如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，BC=AB，则BC=（）
A．16cm B．14cm C．12cm D．8cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵▱ABCD的周长为40cm，
∴AB+BC=20cm，
∵BC=AB，
∴BC=20×=8cm，
故选：D．
10．（3分）若分式方程有增根，则m等于（）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【解答】解：分式方程去分母得：x﹣3=m，
由分式方程有增根，得到x﹣1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程得：m=﹣2，
故选：D．
11．（3分）如图，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则BC的长为（）
A．18 B．14 C．12 D．6
【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=．
∵△CDE的周长为24，
∴CD=9，
∴BC=2CD=18．
故选：A．
12．（3分）如图，已知直线y1=x+m与y2=kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x 的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．
D．
【解答】解：根据图象得，当x＜﹣1时，x+m＜kx﹣1．
故选：D．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O，BD=8，BC=5，AE⊥BC 于点E，则AE的长等于（）
A．5 B．C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD=8，
∴BO=DO=4，∠BOC=90°，
在Rt△OBC中，OC===3，
∴AC=2OC=6，
∴AE×BC=BO×AC
故5AE=24，
解得：AE=．
故选：C．
14．（3分）定义新运算“⊕”如下：当a＞b时，a⊕b=ab+b；当a＜b时，a⊕b=ab ﹣b，若3⊕（x+2）＞0，则x的取值范围是（）
A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2 B．x＜﹣2或1＜x＜2 C．﹣2＜x＜1或x＞1 D．x＜﹣2或x＞2
【解答】解：当3＞x+2，即x＜1时，3（x+2）+x+2＞0，
解得：x＞﹣2，
∴﹣2＜x＜1；
当3＜x+2，即x＞1时，3（x+2）﹣（x+2）＞0，
解得：x＞﹣2，
∴x＞1，
综上，﹣2＜x＜1或x＞1，
故选：C．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017．则点B2017的坐标（）
A．（22017，﹣22017）B．（22016，﹣22016）C．（22017，22017）D．（22016，22016）
【解答】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1，
∴AB=OA=1，
∴B（1，1），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，﹣2），B2（﹣4，﹣4），B3（﹣8，8），B4（16，16），∵2017÷4=503…1，
∴点B2017与B2同在一个象限内，
∵﹣4=﹣22，8=23，16=24，
∴点B2017（22017，﹣22017）．
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
16．（3分）分式有意义的x的取值范围为x≠1．
【解答】解：当分母x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义．
故答案是：x≠1．
17．（3分）若m=2，则m2﹣4m+4的值是0．
【解答】解：当m=2时，原式=4﹣8+4=0，
故答案为：0
18．（3分）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA 于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于2．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE=PC=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=2，
故答案为：2．
19．（3分）不等式组（m≠4）的解集是x＞4，那么m的取值范围是m ＜4．
【解答】解：不等式组的解集是x＞4，
得m≤4（m≠4），
∴m＜4，
故答案为：m＜4．
20．（3分）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为4．
【解答】解：∵△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，
∴DE=AB=4，BC﹣BE=6﹣2=4，
∵∠B=∠DEC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC=4，
故答案为：4．
21．（3分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①
=．其中正确结论的是①②△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S
△EFC
③④（只填序号）．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
设BG=x，则CG=BC﹣BG=6﹣x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2，
∵CG=6﹣x，CE=4，EG=x+2
∴（6﹣x）2+42=（x+2）2
解得：x=3，
∴BG=GF=CG=3，∴②正确；
∵CG=GF，
∴∠CFG=∠FCG，
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，
又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，
∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，
∴∠AGB=∠FCG
∴AG∥CF，∴③正确；
∵==，
=ו3×4=，∴④正确，
∴S
△EFC
故答案为①②③④．
三、解答题（本大题共7个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
22．（7分）（1）分解因式：ax2﹣ay2．
（2）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：（1）原式=a（x2﹣y2）=a（x+y）（x﹣y）；
（2）由①解得x＜2，
由②解得x≥﹣2，
不等式组的解集在数轴上表示如图
；
不等式组的解集为﹣2≤x＜2．
23．（7分）（1）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF，求证：DE=BF．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=6．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∵AE=CF，
∴DF=EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
（2）解：原式=×（a﹣2）=﹣，
当a=6时，原式=﹣1．
24．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿X轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2．
（3）直接写出点A2、C2的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△AB2C2即为所求；
（3）由以上作图知，A2的坐标为（1，1）、C2的坐标为（1，﹣3）．
25．（8分）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵10元，用350元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过3200元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
【解答】解：（1）设每件乙种商品的价格为x元，则每件甲种商品的价格为（x+10）元，
根据题意得：=，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，
∴x+10=70．
答：每件乙种商品的价格为60元，每件甲种商品的价格为70元．
（2）设购买y件甲种商品，则购买（50﹣y）件乙种商品，
根据题意得：70y+60（50﹣y）≤3200，
解得：x≤20．
答：最多可购买20件甲种商品．
26．（9分）探索发现：=1﹣；=﹣；=﹣…
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）=﹣，=﹣；
（2）利用你发现的规律计算： +++…+
（3）灵活利用规律解方程： ++…+=．
【解答】解：（1）=﹣，=﹣；
（2）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；
（3）（﹣+﹣+…+﹣）=，
（﹣）=
﹣=，
=，
解得x=50，
经检验，x=50为原方程的根．
故答案为﹣，﹣．
27．（9分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH．
（1）如图1，点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF，直接写出BH和AF的数量关系：
（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转
①如图2，判断BH和AF的数量关系，并说明理由；
②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形；如果四方形ABCD
的边长为，求正方形EFGH的边长．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AE=B E，∠BEH=∠AEF=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH，
∵在△BEH和△AEF中，
，
∴△BEH≌△AEF（SAS），
∴BH=AF；
（2）①BH=AF，
理由：连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=BE，∠BEA=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH，∠HEF=90°，
∴∠BEA +∠AEH=∠HEF +∠AEH ，
即∠BEH=∠AEF ，
在△BEH 与△AEF 中，
， ∴△BEH ≌△AEF ，
∴BH=AF ；
②如备用图，∵四边形ABDH 是平行四边形，
∴AH ∥BD ，AH=BD ，
∴∠EAH=∠AEB=90°，[来源:学*科*网]
∵四方形ABCD 的边长为
， ∴AE=BE=CE=DE=1，
∴EH===，
∴正方形EFGH 的边长为
．
28．（9分）如图，矩形ABCO 中，点C 在x 轴上，点A 在y 轴上，点B 的坐标是（﹣6，8）．矩形ABCO 沿直线BD 折叠，使得点A 落在对角线OB 上的点E 处，折痕与OA 、x 轴分别交于点D 、F ．
（1）直接写出线段BO 的长：
（2）求点D 的坐标；
（3）若点N 是平面内任一点，在x 轴上是否存在点M ，使咀M 、N 、E 、O 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是（﹣6，8）．
∴∠BAD=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BC=8，
∴BO==10；
（2）由折叠的性质得：BE=AB=6，∠BED=∠BAD=90°，DE=AD，
∴OE=BO﹣BE=10﹣6=4，∠OED=90°，
设D（0，a），则OD=a，DE=AD=OA﹣OD=8﹣a，
在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2，
即（8﹣a）2+42=a2，解得：a=5，
∴D（0，5）；
（3）存在，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣，0）；理由如下：
①当OM、OE都为菱形的边时，OM=OE=4，
∴M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）；
②当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1所示：
则OG=OE=2，
则cos∠MOG=cos∠BOC，
∴，即，
解得：OM=，
∴M（﹣，0）；
③当OM为菱形的对角线，OE为边时，如图2所示：
同②得：M（﹣，0）；
综上所述，在x轴上存在点M，使以M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点
M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．。