苏教版高中数学必修二课件2.1.5平面上两点间的距离

合集下载

苏教版数学必修2课件：第2章 2.1.5+2.1.6 点到直线的距离

上一页
返回首页
下一页
∵D是BC的中点，∴Dx2＋2 3，y2＋2 4. 而点C在直线CE上，点D在直线AD上，
2x2＋3y2－16＝0， ∴2·x2＋2 3－3·y2＋2 4＋1＝0，解得xy22＝＝52，， ∴C(5,2)．即|AC|＝ 5－12＋2－12＝ 17.
P的坐标为(a，a＋4)，已知PM＝PN，由两点间距离公式可得
[a－－2]2＋[a＋4－－4]2
＝ a－42＋a＋4－62，
解得a＝－32，从而a＋4＝52，
所以点P的坐标为－32，52.
上一页
返回首页
下一页
点到直线的距离与两平行线间的距离公式的应用
(1)若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是_______．
阶
阶
段
段
一
2．1.5 平面上两点间的距离
三
2．1.6 点到直线的距离
学
阶段二
业分层测
评
上一页
返回首页
下一页
1．理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能进行简单应用． (重点、难点) 2．熟练掌握中点坐标公式． 3．会求两条平行直线间的距离．(易错点)
上一页
返回首页
下一页
[基础·初探] 教材整理1 两点间的距离公式阅读教材P97～P98，完成下列问题．平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝___x_2_－__x1__2＋___y_2_－__y_1_2 __. 特别地，当x1＝x2＝0，即两点在y轴上时，P1P2＝|y1－y2|；当y1＝y2＝0，即两点在 x轴上时，P1P2＝|x1－x2|.
上一页
返回首页

平面上两点间的距离课件苏教版必修2

重合时，距离为零。
距离的对称性
03
A和B之间的距离等于B和A之间的距离，即d(A, B) = d(B, A)。
两点间距离的定理
勾股定理
对于直角三角形，直角边的平方和等于斜边的平方，即c² = a² + b²，其中c是斜边，a和b是直角边。
毕达哥拉斯定理
在任何直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即c² = a² + b²。
适用范围
适用于任意坐标系中两点间的距离计算。
利用坐标系求解
01 02
坐标系中两点间距离公式
d=∣x2−x1∣∣y2−y1∣√(x2−x1)2+(y2−y1)2text{d} = frac{sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}{sqrt{|begin{matrix} x_2 - x_1 y_2 - y_1 end{matrix}|}}d=∣x2−x1∣y2−y1∣√(x2−x1)2+(y2−y1)2
应用
多点间的距离在几何学、物理学、工程学等领域有广泛应用，例如计算多边形的周长、物体的运动轨迹等。
距离在各个领域的应用
01
数学领域
距离的概念是几何学中的基本概念，用于描述点与点之间的位置关系。在解析几何、微分几何等领域，距离的概念具有广泛的应用。
02
物理学领域
在物理学中，距离的概念用于描述物体之间的位置关系和运动轨迹。例如，在经典力学和电磁学中，两点间的距离和物体运动轨迹的距离是描述物理现象的重要参数。
勾股定理
直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
求解步骤
先确定两点间的连线与x轴、y轴的交点坐标，再根据勾股定理计算两点间的距离。

2018年高中数学第2章平面解析几何初步 2.1.5 平面上两点间的距离课件8 苏教版必修2

解得 a＝4，b＝－2， ∴AB＝2 5.
当堂测、查疑缺
请选择
1234
2．已知 A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则ACCB的值为_________．
当堂测、查疑缺
请选择
1234
2．已知 A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则ACCB的值为_____2____．
解析由两点间的距离公式，得 AC＝ [3－－12]＋4－02＝4 2，CB＝ 3－52＋4－
填要点、记疑点
1．两点间的距离公式
若平面上两点 P1、P2 的坐标分别为 P1(x1，y1)，P2(x2，y 点间的距离公式为 P1P2＝ x2－x12＋y2－y12 . 特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离为 OP＝ x
2．中点坐标公式
平面上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2 的中点是 M
过点 A，M，C 向 x 轴作垂线，垂足分别为 A1，M1，C1，则 A1，M1，C1 的横坐标分别为－1，x,6，由 A1M1＝M1C1 得 x－(－1)＝6－x，解得 x＝－12＋6＝52，同理得 y＝3＋2－1＝1，所以线段 AC 的中点 M 的坐标为52，1.
探要点、究所然
且 PA＝|3－(－2)|＝5，PB＝|3－(－1)|＝4，
所以在 Rt△APB 中，AB＝ PA2＋PB2＝ 52＋42＝ 41.
探要点、究所然
探究点一：两点间的距离
思考 3 依据思考 2 中求 A(－1,3)，B(3，－2)间的距离的方法 “问题”中四边形 ABCD 是否为平行四边形？
答由思考 2 我们求得 AB＝ 41，同理可得 CD＝ 41，则 AB＝CD，同理 AD＝BC，所以 ABCD 是平行四边形．

高中数学 2.1.5平面上两点间的距离课件苏教版必修2

栏目链接
点 A(0，400)关于 x 轴的对称点 A′(0，－400)，由两点式，得直
线
A′B
的方程为
y＝54x－400.令
y＝0，得
x＝320，即点
P(320，0)．
栏目
链
故抽水站(点 P)在距点 O 320 m 处时，到 A、B 两厂的水管长度接
之和最短．
规律总结：在建立平面直角坐标系时，适当的坐标系能
使运算更加简便(如本例以两直角边为坐标轴建立坐标系)，
栏目
链
故在建坐标系时要有效地利用条件中的垂直、对称等关接
系．
►变式训练
2．A、B两个厂距一条河分别为400 m和100 m，且在河的同
侧，A、B两厂之间距离500 m，把小河看做一条直线，今在
栏目
链
接
分析：结合四边形的有关知识，判断边的长度以及边所在直线的平行及垂直关系．
解析：∵kAB＝－13，kCD＝－13，kAD＝3，kBC＝3，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB⊥AD，CD⊥BC，即四边形 ABCD 为栏
目
矩形．
链
接
又∵AB＝3 10，AD＝3 10，AC＝6 5，BD＝6 5，
小河边上建一座抽水站，供A、B两厂用水，要使抽水站到A、
B两厂铺设的水管长度之和最短，问抽水站应建在什么地方？
栏目
链
接
分析：这是一个对称问题，点A关于河的对称点A′与点B的连
线，交小河于点P，则PA′＋PB＝PA＋PB，此点即为所求(证
明略)．
解析：如右图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A(0，400)，点B(a，100)，过点B 作BC⊥AO于点C.在△ABC中，AB＝500，AC＝400－100＝ 300，由勾股定理得BC＝400，∴B(400，100)．

苏教版高中数学必修二课件平面上两点间的距离

| PB |2 | PD |2 (a x)2 (b y)2 (x a)2 ( y b)2
2(a2 b2 x2 y2 )
因此 | PA |2 | PC |2 | PB |2 | PD |2
课后练习
1、已知三角形ABC三个顶点A(1，4)、B(4，1)、 C(5，5)，判断三角形的形状；
| PB | (x 2)2 (0 7 )2 x2 4x 11, 由得| PA || PB |
x2 2x 5 x2 4x 11,
解得x=1. 所以,所求点为P(1,0),且 | PA | (11)2 (0 2)2 2 2.
例2证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
分析: 1、建立适当的坐标系,用坐标表示平行四边形的四个顶点. 2、分别计算平行四边形的各边和各对角线的长度. 3、比较四条边的平方和与两条对角线的平方和.
如解图: ,以顶点A为坐标原点,AB边所在直线为x 轴,建立直角坐标系,有A(0,0).
设B(a,0),D(b,c),则点C的坐标为(a+b,c),因为
特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离 | OP | x2 y2 .
例1已知点,在Ax(轴1,上2),求B一(2,点P7 ),使 ,并| P求A|P|AP|的B |值.
解: 设所求点为,于P(是x,0有) | PA | (x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5,
（等腰三角形）
2、等腰直角三角形ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(2，0)、(4，2)，求C点的坐标。
课堂小结
这节课主要学习已知两点坐标，求这两点距离；概念要熟练掌握，公式要记忆。
Байду номын сангаас

数学苏教版必修2 第2章2.1.5 平面上两点间的距离课件(33张)

有 xy00＋－20×3＝－1 3×x20－y0－2 2＋3＝0
，解得x0＝－3 y0＝－1
.
故所求直线过点(－52，－92)与(－3，－1)，所以所求直线方程为 y＋92＝－7(x＋52)，即 7x＋y＋22＝0. 法二：设 P(x，y)为所求直线上不同于与直线 l 的交点的任一点，点 P 关于直线 l：3x－y＋3＝0 的对称点为 P′(x′，y′)．根据 PP′⊥l 且线段 PP′的中点在直线 l 上．
第2章平面解析几何初步 •9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 10:50:09 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
方法归纳
本题属于轴对称问题，解决本题有两种方法，一是转化为点的
对称，二是利用轴对称的条件，即应用中点公式与直线垂直的
条件，代入可得．
(1)点关于直线对称的点的求法
点 N(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
可由方程组
xy－－xy00·－AB＝－1AB≠0 A·x＋2x0＋B·y＋2 y0＋C＝0xy′′ຫໍສະໝຸດ －yx×3＝－1可得，

苏教版高中数学必修二基础平面上两点间的距离及点到直线的距离

平面上两点间的距离及点到直线的距离：：【学习目标】1.掌握平面上两点间的距离公式.2.掌握平面上连结两点的线段的重点坐标公式.3.能运用距离公式和中点坐标公式解决一些简单的问题.【要点梳理】要点一：两点间的距离公式两点111222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为12PP =要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.要点二：点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为d =要点诠释：（1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 要点三：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距离为d =.要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式2221||B A C C d +-=时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x ，y 的系数分别是相同的，才能使用此公式.【典型例题】类型一、两点间的距离例1．已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0），求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】先分别求出三边之长，再比较三边的长短，最后下结论．【解析】∵||AB ==||AC ==||BC ==∴|AC|=|BC|．又∵A 、B 、C 三点不共线，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】利用两点间距离公式即可求出两点间的线段的长度，进而可解决相关问题，在运用两点间距离公式时只需将两点坐标代入公式即可．举一反三：【变式1】已知△ABC 的三个顶点是A （―1，0），B （1，0），12C ⎛⎝⎭，试判断△ABC 的形状．【答案】△ABC 是直角三角形【变式2】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.【解析】∵ 点P 在直线20x y -=上，∴ 可设(,2)P a a ，根据两点的距离公式得22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即, 解得3225a a ==或，∴3264(2,4)(,)55P 或． ∴ 直线PM 的方程为8585643248258555y x y x ----==----或，即4340247640x y x y -+=--=或.例2．已知直线l 过点P （3，1），且被两平行直线l 1：x+y+1=0，l 2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程．【答案】y=1或x=3【解析】设直线l 与直线l 1、l 2分别交于点A （x 1，y 1）、B （x 2、y 2），则11221060x y x y ++=⎧⎨++=⎩，两方程相减，得(x 1―x 2)+(y 1―y 2)=5， ①由已知及两点间距离公式，得(x 1―x 2)2+(y 1―y 2)2=25， ②由①②解得121250x x y y -=⎧⎨-=⎩或121205x x y y -=⎧⎨-=⎩，又点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在直线l 上，因此直线l 的斜率为0或不存在，又直线l 过点P （3，1），所以直线l 的方程为y=1或x=3．【总结升华】从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解题过程．这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能．另外，灵活运用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的．举一反三：【变式】如图，直线l 上有两点A 、B ，A 点和B 点的横坐标分别为x 1，x 2，直线l 方程为y=kx+b ，求A 、B 两点的距离．【答案】21|||AB x x ==-例3．直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.【解析】找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 设'(,)A a b , 则12144124022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯--=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以线段|'|A B ==类型二、点到直线的距离例4．在△ABC 中，A （3，3），B （2，―2），C （―7，1），求∠A 的平分线AD 所在直线的方程．【答案】y x =【解析】设M （x ，y ）为∠A 的平分线AD 上的任意一点，由已知可求得AC 边所在直线的方程为x ―5y+12=0，AB 所在直线的方程为5x ―y ―12=0．= ∴x ―5y+12=5x ―y ―12或x ―5y+12=y ―5x+12，即y=―x+6或y=x ．但结合图形（如图），可知k AC ＜k AD ＜k AB ，即155AD k <<， ∴y=－x+6不合题意，故舍去．故所求∠A 的平分线AD 所在直线的方程为y=x ．【总结升华】本例利用角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等这一性质，创设了运用点到直线的距离公式的条件，从而得到角的平分线上任意一点的坐标（x，y）所满足的方程，化简即得到所求的直线方程．由此可见，灵活运用点到直线的距离公式的关键在于创设出点到直线的距离这一条件．举一反三：【变式】求点P0（―1，2）到下列直线的距离：（1）2x+y―10=0；（2）x+y=2；（3）y―1=0．【答案】（1）2）2（3）1【解析】（1）根据点到直线的距离公式得d===（2）直线方程可化为x+y―2=0，所以2d==．（3）因为直线y―1=0平行于x轴，所以d=|2―1|=1．例5．求点A（2，2）关于直线2x―4y+9=0的对称点坐标．【答案】（1，4）【解析】设点A＇（a，b）是点A（2，2）关于直线2x―4y+9=0的对称点，则有AA＇与已知直线垂直且AA＇的中点在已知直线上．∴1212222249022baa b-⎧⋅=-⎪⎪-⎨++⎪⋅-⋅+=⎪⎩，解得a=1，b=4．∴所求对称点坐标为（1，4）．【总结升华】点关于直线的对称问题可转化为中点和垂直问题来解决．例6．求直线x―y―2=0关于直线l：3x―y+3=0对称的直线方程．【答案】7x+y+22=0【解析】解法一：由20330x yx y--=⎧⎨-+=⎩，得交点59,22P⎛⎫--⎪⎝⎭，取直线x―y―2=0上一点A（0，―2），设点A关于直线l：3x―y+3=0的对称点为A＇（x0，y0），则根据'1AA lk k⋅=-，且线段AA＇的中点在直线l：3x―y+3=0上，有00002310232022y x x y +⎧⨯=-⎪-⎪⎨-⎪⨯-+=⎪⎩，解得0031x y =-⎧⎨=-⎩．故所求直线过点59,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭与（―3，―1）． ∴所求直线方程为95722x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭．即7x+y+22=0．解法二：设P （x ，y ）为所求直线上任意一点，P 关于直线l ：3x ―y+3=0的对称点P ＇（x ＇，y ＇）．根据PP ＇⊥l 且线段PP ＇的中点在直线l 上，可得'31'''33022y y x x x x y y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⋅-+=⎪⎩，解得8618'10686'10x y x x y y -+-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩．又∵P ＇（x ＇，y ＇）在直线x ―y ―2=0上， ∴8618686201010x y x y -+-++--=，即7x+y+22=0．故所求直线方程为7x+y+22=0．【总结升华】轴对称问题一般利用这两种方法求解，其中解法二是求轨迹方程的常用方法，称为代入法．举一反三：【变式1】（1）求点P （x 0，y 0）关于直线x ―y+C=0的对称点坐标；（2）求直线l 1：Ax+By+C=0关于直线l 2：x+y ―3=0的对称直线l 3的方程．【答案】（1）（y 0―C ，x 0+C ）；（2）Bx+Ay ―3A ―3B ―C=0．【两直线的交点与点到直线的距离381525 要点（二）中的例1】【变式2】l 过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线l 的方程．【答案】1y = 20x y +=【解析】法一：直线l 过AB 的中点（1，1），所以l 的方程为1y =．直线//l AB ，则设l 的方程为1(2)y k x -=+则12k =-，所以l 的方程为：20x y += 法二：由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为1(2)y k x -=+，则A 、B 两点到直线l 的距离= 解得：10,2k k ==- 所以l 的方程为：1y =和20x y +=类型三、两平行直线间的距离例7．求两条平行直线y=3x+5与6x ―2y+3=0间的距离．【错解】直线方程y=3x+5可化为3x ―y+5=0，∴所求的距离为10d ==．【正解】经变形得两条平行直线的方程为6x ―2y+10=0和6x ―2y+3=0，故它们之间的距离为=．【总结升华】在使用两条平行直线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，且x 、y 的系数对应相等，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形．举一反三：【变式】直线l 1过点A （0，1），l 2过点B （5，0），如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方程．【答案】12:12550:125600l x y l x y -+=⎧⎨--=⎩或12:0:5l x l x =⎧⎨=⎩．。

苏教版高中数学必修2课件 2.1.5 平面上两点间的距离课件4

课
主导
推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的
时作
学
业
数学能力．对于两平行直线之间的距离，由于两平行线间的
课堂
距离处处相等，故教学时，可采用类比化归的思想，将其转
互
动化为点到直线的距离来解决问题．
探
究
教师备课资源
菜单
教学
●教学流程
教
法
分
析
教学方案设计
课前自主导学
思想方法技巧
当堂双基达标
课时作业
教师备课资源
教学教法分析
教学方案设计
课前自主导学
课堂互动探究
菜单
SJ ·数学必修2
思想方法技巧
当堂双基达标
课时作业
教师备课资源
教学教法分析
教学方案设计
思想
法
方
分
法
析
技
教
求点 P(1,2)到下列直线的距离：
巧
学
当
方案
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y 轴．
堂双
设
基
计
达
【思路探究】
标
课
前
自ห้องสมุดไป่ตู้主
【自主解答】 (1)将直线方程化为一般式为：x－y－3
课时
导
作
学＝0，
业
课堂互动
由点到直线的距离公式得 d1＝ |11－ 2＋2－－31|2＝2 2.
菜单

高中数学2.1.5平面上两点间的距离公式课件苏教版必修2

y
A（-1，3） D（2，4） A（-1，3）
y
o
B（3，-2）
x
C（6，-1）
A1

M( x, y)
C1
o
M1
x
C（6，-1）
二构建数学:
设线段AC的中点M的坐标为（x,y），过A， M,C 分别向x轴作垂线，垂足分别为A1，M1 ,C1 ，
则A1，M1 ,C1的横坐标分别为 -1，x,6,
y
方法一可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明。由两直线平行的条件，可以证明 AD//BC,AB//CD, 所以四边形ABCD是平行四边形。 y
D（2，4） A（-1，3）
o
B（3，-2）
x
C（6，-1）
问题1：
方法二根据对边相等的四边形是平行四边形来判断，
问题3
已知点A（-1，3），B（3，-2），C（6，-1） D（2，4），求证：四边形ABCD是为平行四边形。
那么就需要计算这四个边的长度，先计算点 A（-1，3），B（3，-2）间的距离。 y
A（-1，3） D（2，4）
o
B（3，-2）
x
C（6，-1）
过A，B 分别向x轴，y轴作垂线，两条垂线相交于点P，则点P的坐标为（-1，-2）.于是 PA=|3-(-2)|=5, PB=|3-(-1)|=4 在直角△APB中，由勾股定理，知
1 1 1
o
2 1
x
Q( x , y )
二构建数学:
2 2 PP | PQ | | P Q | 1 2 1 2
= ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
()
y

数学：第2章2.1.5平面上两点间的距离课件(苏教版必修2)

即 4x－5y－22＝0. 6＋2 同理，kPQ＝＝－4＝kAC， 1－3 ∴直线 AC 的方程为 y－2＝－4(x＋4)，即 4x＋y＋14＝0. 4x－5y－22＝0， x＝－2，由得 4x＋y＋14＝0， y＝－6. ∴A(－2，－6)．
法二：如图，连结PQ，QR，PR.
新知初探思维启动
1.平面上两点 P1(x1， 1)， 2(x2， 2)间的距离 P1P2 y P y （x2－x1）2＋（y2－y1）2 ＝________________________，特别地，O(0， 0)与 P(x，y)的距离 OP＝__________． x2＋y2
2.中点坐标公式对于平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 x1＋x2 y1＋y2 ( ， ) 线段 P1P2 的中点为：______________． 2 2
x0＝－4， ∴ ，∴B y0＝3.
点的坐标为(－4，3)．
(2)设 l1 上任一点的坐标为(x，它关于点 A(2， y)，－3)的对称点的坐标为(4－x，－6－y)，这点在 l 上，∴(4－x)－(－6－y)＋1＝0，即 x－y －11＝0. (3)设 l2 上任一点坐标为(x，y)，这点关于直线 l 的对称点的坐标为(y－1， x＋1)，它在直线 2x －y－3＝0 上，∴2(y－1)－(x＋1)－3＝0，即 l2：x－2y＋6＝0.
解：设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x0，y0)，则 y0－5 ＝－1， x0－4 x0＋4 y0＋5 2 － 2 －1＝0.
x0＝6， ∴ 即 y0＝3.
P′(6，3)．
3－2 1 1 ∴kP′N＝＝ .∴P′N 的方程为： y－2＝ (x 3 3 6－3 －3)．即 x－3y＋3＝0，此即反射光线所在直线的方程．

高中数学第2章平面解析几何初步2.1_2.1.5平面上两点间的距离课件苏教版必修2

[典例 3] 在直线 l：x－y－1＝0 上求两点 P，Q，使得：
(1)P 到 A(4，1)和 B(0，4)的距离之差最大； (2)Q 到 A(4，1)和 C(3，0)的距离之和最小．解：(1)设点 B 关于 l 的对称点 B′的坐标为(a，b)，所以 a＋b－4＝0.①
由于 BB′的中点a2，b＋2 4在直线 l 上，所以a2－b＋2 4－1＝0，即 a－b－6＝0.② 由①②得 a＝5，b＝－1，所以 B′(5，－1)．
规律总结中点坐标公式是一个重要的公式，本题求解过程中两次用到了它，对能力要求较高，因此在平时的学习中应有意识地进行这种训练，以便在考试中能得心应手，游刃有余．
[变式训练]
2．直线 l 过点 P(－2，3)，且与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，若点 P 恰好为 A，B 的中点，则直线 l 的方程为__________．
两点间的距离公式可用来计算平面直角坐标系内任意两已知坐标点间的距离，公式的推导体现解析几何中常用的数学思想方法——坐标法．通过学习应当深刻理会用坐标法解决几何问题的基本思路．
题型 1 两点间距离公式及简单应用 [典例 1] 已知点 A(－1，2)，B(2， 7)，在 x 轴上求一点 P，使 PA＝PB，并求 PA 的值．分析：设出点 P 的坐标，利用两点间距离公式建立方程求解．
第2章平面解析几何初步
2.1 直线与方程 2．1.5 平面上两点间的距离
[情景导入] 在一条直线型的河流 l 的同侧有两个村庄 A，B，现在要在河流旁边建造一水厂 C 向两个村庄供水，要求从水厂向两个村庄铺设的管道最短，则水厂应当建在什么地方？我们知道平面上两点间线段的长最短，那么，应当铺设的管道最短是多少？

精致获奖教案 2.1.5平面上两点间的距离课件苏教版必修2

青春风采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分数学145分英语141分文综255分
毕业学校：北京二中报考高校：北京大学光华管理学院北京市文科状元阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的成绩一直稳定在年级前5名左右。
班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。

2.1平面上两点间的距离课件(苏教版必修2)

业
第 2, 3, 4 ,5题题
PP 一般地，对于平面上两点 P(x , y ), P(x2, y2) ，线段 1 2 1 1 1 2 的中点是 M(x , y ) ，则
0 0
此即中点坐标公式此即中点坐标公式
x1 + x2 x0 = 2
y1 + y2 y0 = 2
例3.
已知 ∆ABC 的顶点坐标为 A(−1,5), B (−2, −1), C (4, 7) , 求三角形两条中线AM和BE的长。的长。求三角形两条中线和的长
P P2 = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 1
2
2
2. 平面上两点 P(x , y ), P (x , y ) 对应线段
1 1 1 2 2 2
P P2 的 1
中点坐标公式
设中点
x1 + x 2 x0 = 2
y1 + y 2 y0 = 2
M ( x0 , y0 )
作
习题9-1 习题
一般地说，一般地说，已知两点
如何求两点间的距离？如何求两点间的距离？
P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 1
如果 x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2，过P , P2 分别向轴、轴作 1 垂线交于点 Q，则点 Q 的坐标为 ( x2 , y1 ) .
y
x
合作探究
y2
x
由此，我们得到平面上两点 P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ) 间的 1 2 距离公式
P P2 = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 1
2
2
例题讲解例1

高中数学第二章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.5平面上两点间的距离课件2苏教必修2

| AC |2 | BD |2 2(a2 b2 c2 ) | AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 | 运A第C算三|结2步果:|把翻BD代译|数2成
因此，平行四边形四条边的平方和等于几两何条关对系角。线
的平方和。
P121 B6
y C(0,b)
解析法 | AB |2 a2 | CD |2 a2
A (0,0)
x B (a,0)
| AD |2 b2 c2 | BC |2 b2 c2 第二步:进行有
| AC |2 (a b)2 c2 | BD |2 (b a关)2代数c2 运算
| AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 2(a2 b2 c2 )
O x1
x2
x
| P1Q || x2 x1 |
两点间距离公式
y | P1Q || x2 x1 |
P2(x2,y2)
| P2Q || y2 ห้องสมุดไป่ตู้1 |
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
O
x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y 1)2
两点间距离公式
y
|x|
P (x,y)
|y|
O(0,0)
x
| OP | x2 y2
数形结合
【当堂训练】
1.已知A(3,4),B(-1,7),求|AB| |AB|=5
2.已知O(0,0),P(6,-8),求|OP| |OP|=10
练习
P116 练习 1
(1) | AB | 8 (2) | CD | 3 (3) | PQ | 2 10

2018年高中数学第2章平面解析几何初步 2.1.5 平面上两点间的距离课件1 苏教版必修2

M
２．再利用两点间距离公式求得中线AM的长为 2 2
A
B
３．中线AM所在直线的方程----两点
式 xy40
练习
小结:
1. 平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式
P 1P 2(x2x1)2(y2y1)2
2. 平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 对应线段 P 1 P 2 的
平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝ (x2x1)2(y2y1)2
y
B(x2，y2)
ABACBC 2
2
2文对字应描坐述标：差与的坐绝标对轴值平行的线段长y度2 是 y 1

A(x1，y1)

C (x2，y1)
O
x2x1
x
自主预习阅读教材P104～106，回答下列问题． 1．两点间的距离公式 (1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝
平面上两点间的距离
B A
法国：笛卡尔
用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤：
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
笛卡尔
数学建构
坐标轴上两点间的距离．
文字描述：与坐标轴平行的线段长度是对应坐标差的绝对值
x轴上两点P1(x1，0)， P2(x2，0)的距离． | P1P2|＝|x2－x1|．
x2－x12＋y2－y12. (x1x2)2(y1y2)2
(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
[破疑点]坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广．

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

小结
设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面上任意两点． 1．平面内两点间距离公式． AB＝ 2．中点坐标公式．设线段AB的中点是P(x0，y0)， x0＝则： y0＝
作业
课本94页习题2．1(3)第1，2，4．
B
O A C
x
数学应用
例1．(1)求(－1，3)，(2，5)两点间的距离； (2)若(0，10)，(a，－5)两点间的距离是，求实数a的值．
(1)已知(a，0)到(5，12)的距离为13，则a＝________． (2)若x轴上的点M到原点及到点(5，－3)的距离相等，则M的坐标为 ______．
Q1
N1 M2
y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)的距离．
|Q1Q2|＝|y2－y1|．推广：
M1 P1 O
P2
x
M1(x1，a)，M2(x2，a)的距离|M1M2|＝|x2－x1|． N1(0，y1)，N2(0，y2)的距离|N1N2|＝|y2－y1|．
Q2
N2
数学建构
平面内任意两点间的距离．平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝ y
数学应用
已知点A(1，2)，B(2，)，试在x轴上求一点P，使PA＝PB，并求此时PA的值．
Hale Waihona Puke 数学应用已知A，B两点都在直线y＝2x＋1上，且A，B两点的横坐标之差为，A， B两点之间的距离为__________．
数学应用
例4．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的坐标系，证明：AM＝BC．
数学应用
例2．已知A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，证明：四边形 ABCD为平行四边形？ y D A M
O
C 通过对角线互相平分如何判别？ B
x
数学建构
中点坐标公式．一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)， x0＝则： y0＝
A
M O x
思考：如何求△ABC的重心坐标呢？
B
数学应用
已知平行四边形ABCD的三个顶点分别是A(1，2)，B(－1，3)， C(－3，－1)，求第四个顶点D的坐标． y B A
O C
x
数学应用
已知矩形ABCD两个顶点A(－1，3)，B(－3，1)，若它的对角线交点M在x 轴上，求C，D两点的坐标．
y
P2(x2，y2)
P0(x0，y0) P1(x1，y1) O x
证明分两步完成：
第一步证明点M在直线P1P2上第二步证明P1M＝MP2．
练习：一直线被两坐标轴所截线段中点坐标为(－2，1)，则该直线的方程为 x－2y＋4＝0 ． _______________
数学应用
例2．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程． y C N
高中数学必修2
问题情境
已知A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，四边形ABCD是否为平行四边形？ y
D 两组对边分别平行． A 通过对边相等来判别．通过对角线互相平分来判别．
O
C B
x
数学建构
坐标轴上两点间的距离． x轴上两点P1(x1，0)，P2(x2，0)的距离． |P1P2|＝|x2－x1|． y