沁水县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

沁水县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ） A ．x 3+2x 2 B ．x 3﹣2x 2 C ．﹣x 3+2x 2 D ．﹣x 3﹣2x 2
2． 已知A={﹣4，2a ﹣1，a 2}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A ∩B={9}，则a 的值是（ ）
A ．a=3
B ．a=﹣3
C ．a=±3
D ．a=5或a=±3
3． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=﹣2，S 5=0，则S 6=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4． 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力．
5． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（ ） A ．M ∪N B ．M ∩N C ．∁I M ∪∁I N D ．∁I M ∩∁I N
6． 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >），以双曲线C 的一个顶点为圆心，为半径的圆
被双曲线C 截得劣弧长为23
a π
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．65
B
C
D 8． 设函数
，则“
”是“函数
在
上存在零点”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9． 奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则
()()
21
0x f x f x -<--的解集为（ ） A ．()11-， B ．()()11-∞-+∞ ，， C ．()1-∞-，
D ．()1+∞，
10．设集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={y|y=2x }，则A B （ ）
A ．（0，+∞）
B ．（1，+∞）
C ．（0，1）
D ．（1，2）
11．已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）
A
．
B
．
C
．
D ．6
12．若函数()y f x =的定义域是[]
1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）
A ．(]
0,2016 B ．[]0,2015 C ．(]1,2016 D ．[]1,2017
二、填空题
13．如图，函数f （x ）的图象为折线 AC B ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是 ．
14．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．
15．已知函数()()31
,ln 4
f x x mx
g x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数
()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
16．已知,x y 满足41
y x
x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则222
23y xy x x -+的取值范围为____________. 17．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填
A B 方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）． 18．在△ABC 中，
，
，
，则
_____．
三、解答题
19．已知函数()2
1ln ,2
f x x ax x a R =-
+∈． （1）令()()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；
（2）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=
，证明12x x +≥．
20．已知函数f （x ）=lg （2016+x ），g （x ）=lg （2016﹣x ） （1）判断函数f （x ）﹣g （x ）的奇偶性，并予以证明． （2）求使f （x ）﹣g （x ）＜0成立x 的集合．
21．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x （θ
为参数，],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t ì=+ïí=+ïî
a
a （t 为参数）．
（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的极坐标；
（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．
【命题意图】本题考查圆的参数方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
22．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点
（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论．
（Ⅱ）证明：AM⊥PM．
23．设圆C满足三个条件①过原点；②圆心在y=x上；③截y轴所得的弦长为4，求圆C的方程．
24．已知函数且f（1）=2．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
沁水县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：设x ＜0时，则﹣x ＞0，
因为当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2所以f （﹣x ）=（﹣x ）3﹣2（﹣x ）2=﹣x 3﹣2x 2
，
又因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣x ）=﹣f （x ），
所以当x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=x 3+2x 2
，故选A ．
2． 【答案】B
【解析】解：∵A={﹣4，2a ﹣1，a 2
}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A ∩B={9}，
∴2a ﹣1=9或a 2
=9，
当2a ﹣1=9时，a=5，A ∩B={4，9}，不符合题意；
当a 2
=9时，a=±3，若a=3，集合B 违背互异性；
∴a=﹣3． 故选：B ．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．
3． 【答案】D 【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，
则S 4=4a 1+d=﹣2，S 5=5a 1+d=0，
联立解得，
∴S 6=6a 1+d=3
故选：D
【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．
4． 【答案】C
【解析】由题意，得甲组中
78888486929095
887
m +++++++=，解得3m =．乙组中888992<<，
所以9n =，所以12m n +=，故选C ．
5． 【答案】D
【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}， ∴M ∪N={1，2，3，6，7，8}，
M∩N={3}；
∁I M∪∁I N={1，2，4，5，6，7，8}；
∁I M∩∁I N={2，7，8}，
故选：D．
6．【答案】B
【解析】【知识点】函数的奇偶性
【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故是偶函数。

故答案为：B
7．【答案】B
考点：双曲线的性质．
8．【答案】A
【解析】【知识点】零点与方程
【试题解析】因为
所以若，则函数在上存在零点；
反过来，若函数在上存在零点，则
则故不一定。

故答案为：A
9．【答案】B
【解析】
试题分析：由
()()()()()2121
02102x x x f x f x f x f x --<⇒⇒-<--，即整式21x -的值与函数()f x 的值符号相反，当0x >时，210x ->；当0x <时，210x -<，结合图象即得()()11-∞-+∞ ，，．
考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 10．【答案】A
【解析】解：集合A={x|y=ln （x ﹣1）}=（1，+∞），集合B={y|y=2x }=（0，+∞） 则A ∪B=（0，+∞） 故选：A ．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
11．【答案】C ．
【解析】解：∵2a =3b
=m ，
∴a=log 2m ，b=log 3m ， ∵a ，ab ，b 成等差数列， ∴2ab=a+b ， ∵ab ≠0，
∴+=2，
∴=log m 2， =log m 3， ∴log m 2+log m 3=log m 6=2， 解得m=．
故选 C
【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用．
12．【答案】B 【解析】
二、填空题
13．【答案】 （﹣1，1] ．
【解析】解：在同一坐标系中画出函数f （x ）和函数y=log 2（x+1）的图象，如图所示：
由图可得不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，． 故答案为：（﹣1，1]
14．【答案】 6 ．
【解析】解：双曲线的方程为4x 2﹣9y 2
=36，即为：
﹣
=1，
可得a=3， 则双曲线的实轴长为2a=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．
15．【答案】()
53
,44
--
【解析】
试题分析：()2
3f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足
()10,0,0f f m ><<，解得51534244
m m >-⇒-<<- 考点：函数零点
【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 16．【答案】[]2,6 【解析】
考点：简单的线性规划．
【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数
的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1表示点
(),x y与原点()
0,0的距离；（2(),x y与点(),a b间的距离；（3）y
x
可表示点
(),x y与()
0,0点连线的斜率；（4）y b
x a
-
-
表示点(),x y与点(),a b连线的斜率.
17．【答案】27
【解析】解：若A方格填3，则排法有2×32=18种，
若A方格填2，则排法有1×32=9种，
根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种．
故答案为：27．
【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．
18．【答案】2
【解析】【知识点】余弦定理同角三角函数的基本关系式
【试题解析】因为所以
又因为
解得：
再由余弦定理得：
故答案为：2
三、解答题
19．【答案】（1）当0a ≤时，函数单调递增区间为()0,+∞，无递减区间，当0a >时，函数单调递增区间为10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
；（2）证明见解析. 【解析】
试
题解析：
（2）当2a =-时，()2
ln ,0f x x x x x =++>，
由()()12120f x f x x x ++=可得2
2
121122ln 0x x x x x x ++++=， 即()()2
12121212ln x x x x x x x x +++=-，
令()12,ln t x x t t t ϕ==-，则()11
1t t t t
ϕ-'=-=
，
则()t ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，
所以()()11t ϕϕ≥=，所以()()2
12121x x x x +++≥，
又120x x +>，故12x x +≥， 由120,0x x >>可知120x x +>．1
考点：函数导数与不等式．
【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 20．【答案】 【解析】解：（1）设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=lg （2016+x ）﹣lg （2016﹣x ），h （x ）的定义域为（﹣2016，2016）；
h （﹣x ）=lg （2016﹣x ）﹣lg （2016+x ）=﹣h （x ）；
∴f （x ）﹣g （x ）为奇函数； （2）由f （x ）﹣g （x ）＜0得，f （x ）＜g （x ）；
即lg （2016+x ）＜lg （2016﹣x ）；
∴
；
解得﹣2016＜x ＜0；
∴使f （x ）﹣g （x ）＜0成立x 的集合为（﹣2016，0）．
【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程，对数的真数需大于0，以及对数函数的单调性．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）设D 点坐标为)q q ，由已知得C 是以(0,0)O 因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线OD 与直线+2=0x y +的斜率相同，34
π
θ=，故D 点的直角坐标
为(1,1)-，极坐标为3)4
p ． （Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(22
2
≥=+y y x 相切时
21|22|2
=+-k
k
0142=+-∴k k 32-=∴k ，32+=k （舍去）
设点)0,2(-B ，则2
AB
k =
=-
故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--. 22．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：在棱AD 上找中点N ，连接CN ，则CN ∥平面AMP ； 证明：因为M 为BC 的中点，四边形ABCD 是矩形， 所以CM 平行且相等于DN ， 所以四边形MCNA 为矩形，
所以CN ∥AM ，又CN ⊄平面AMP ，AM ⊂平面AMP ， 所以CN ∥平面AMP ．
（Ⅱ）证明：过P 作PE ⊥CD ，连接AE ，ME ，
因为边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=2，M 为BC 的中点
所以PE ⊥平面ABCD ，CM=，
所以PE ⊥AM ，
在△AME 中，AE=
=3，ME=
=
，AM=
=
，
所以AE 2=AM 2+ME 2
，
所以AM ⊥ME ， 所以AM ⊥平面PME 所以AM ⊥PM ．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．
23．【答案】
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：
当圆心C1在第一象限时，过C1作C1D垂直于x轴，C1B垂直于y轴，连接AC1，
由C1在直线y=x上，得到C1B=C1D，则四边形OBC1D为正方形，
∵与y轴截取的弦OA=4，∴OB=C1D=OD=C1B=2，即圆心C1（2，2），
在直角三角形ABC
中，根据勾股定理得：AC1=2，
1
则圆C1方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8；
当圆心C2在第三象限时，过C2作C2D垂直于x轴，C2B垂直于y轴，连接AC2，
由C2在直线y=x上，得到C2B=C2D，则四边形OB′C2D′为正方形，∵与y轴截取的弦OA′=4，∴OB′=C2D′，=OD′=C2B′=2，即圆心C2（﹣2，﹣2），
在直角三角形A′B′C
中，根据勾股定理得：A′C2=2，
2
则圆C1方程为：（x+2）2+（y+2）2=8，
∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8或（x+2）2+（y+2）2=8．
【点评】本题考查了角平分线定理，垂径定理，正方形的性质及直角三角形的性质，做题时注意分两种情况，利用数形结合的思想，分别求出圆心坐标和半径，写出所有满足题意的圆的标准方程，是中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）f（1）=1+k=2；
∴k=1，，定义域为{x∈R|x≠0}；
（2）为增函数；
证明：设x1＞x2＞1，则：
=
=；
∵x1＞x2＞1；
∴x1﹣x2＞0，，；∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．。