2011年高考数学试题分类汇编3——三角函数

三、三角函数
一、选择题
（ a
2 2 4
1（. 重庆理
b ） c
，且 C=60°，
6）若△ ABC 的内角 A 、B 、C 所对的边 a 、b 、c 知足
则 ab 的值为
4
2
A ．
3
B ．843
C ． 1
D ．
3
【答案】 A
0＜ ＜
- ＜ ＜0
cos(
)
1
3
cos(
)
2.（浙江理
6 ）若
2 ， 2
，4
3 ，
4
23，则
cos(
) 2
3
3 5 3
6
A ．
3
B ．
3
C ．
9
D ．
9
【答案】 C
3.（天津理 6）如图，在△
ABC 中， D 是边 AC 上的点，且
AB CD, 2AB
3BD , BC 2BD
，则 sinC 的值为
3
3
A ．
3
B ． 6
6
6
C ．
3
D ．
6
【答案】 D
4.（四川理 6）在
ABC 中． sin
2
A sin 2
B sin 2 C
sin Bsin C
．则 A 的取值范围是
A ．（0， 6
]
B ．[
6
， ）
C ．（0，
3
] D ．[
3
， ）
【答案】 C
【分析】由题意正弦定理
a 2
b 2
c 2 bc b 2
c 2 a 2
bc
b 2
c 2 a 2
1 cos A
1 0 A
bc
2
3
6）若函数
f ( x)
0,
,
5.（山东理 sin x
( ω >0)在区间
3
上单一递加，在区间
32上单
调递减，则ω=
32
A． 3B． 2C．2
D．
3
【答案】 C
x
2sin x
y
6.（山东理9）函数2
的图象大概是
【答案】 C
7.（全国新课标理5）已知角的极点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线
y2x
上，则 cos2 =
4334
（A）5（B）5
（C）
5
（D）
5
【答案】 B
8.（全国纲领理5）设函数f ( x)
cos x(＞0) ，将 y
f (x)
的图像向右平移 3 个单位长
度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于1
A．3
B．
3
C．
6
D．
9
【答案】 C
9.（湖北理 3）已知函数f (x)
3 sin x cos x, x R ，若 f ( x)
1
，则 x 的取值范围为
x | k x k, k Z x | 2k
3x 2k, k Z
A．3B．
{ x | k x k 5
, k Z}{ x | 2k x 2k
5
, k Z}
C．66D．66【答案】 B
10.（辽宁理 4）△ ABC的三个内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A= 2a
，
b 则 a
（A）23
（B）
22
（C）
3
（D）
2
【答案】 D
1
（+ ）=
11.（辽宁理 7）设 sin4 3 ，则
sin2
（A）【答案】 A 7117 9（B）
9
（C）
9
（D）
9
sin 2
12.（福建理 3）若 tan=3，则 cos2a
的值等于
A． 2B． 3C．4D． 6【答案】 D
13.（全国新课标理11）设函数f ( x)
sin( x) cos( x )
(0,| |
2
)
的最小正
周期为，且 f ( x) f ( x) 则
（ A）y
f ( x)
(0,)
在
2
单一递减（ B）
（ C）y
f ( x)
(0,)
在 2 单一递加（ D）
【答案】 A y f ( x)
(,
3
)
在
4
4单一递减
(
3
)
y f (x)
,
在 44单一递加
14.（安徽理 9）已知函数f ( x) sin(2 x)
，此中
f ( x) f ()
为实数，若6对
x
R 恒
成立，且
k
（A）
k
（C）【答案】 C 二、填空题
f ( ) f ( )
2，则
f ( x)
的单一递加区间是
, k( k Z )k , k(k Z ) 36（ B）2
, k
2
k, k( k Z)
(k Z )
63（ D）2
15.（上海理 6）在相距
2 千米的 A ． B 两点处丈量目标 C ，若
CAB
750 , CBA
600 ，
则 A ． C 两点之间的距离是 千米。

【答案】
6
y sin(
x)cos(
x)
16.（上海理 8）函数 2
6
的最大值为。

2
3 【答案】
4
17.（辽宁理
16 ） 已 知 函 数
f (x)
=Atan （ x+ ）
0,| |
f (x)
的 部 分 图 像 如 下 图 ， 则
（
2 ）， y=
f (
)
24
．
【答案】
3
18.（全国新课标理 16）
ABC 中，
B
60 , AC
3,
，则 AB+2BC 的最大值为
_________．
【答案】
2
7
cos2
1 cos
0,
nis
sin
19（.重庆理 14）已知
2
，且
2 ，则
4
的值为 __________
14 【答案】
2
20.（福建理 14）如图，△ ABC 中， AB=AC=2， BC=
2
3
，点 D 在 BC 边上，∠ ADC=45°，
则 AD 的长度等于 ______。

2
【答案】
ABC 中。

若
B
21. （北京 理 9 ）在
b=5 ，
4 ， tanA=2 ，则 sinA=____________ ；
a=_______________。

2 5
【答案】
5
2 10
5
22.（全国纲领理 14）已知 a ∈（ 2
，
5
，则 tan2α=
）， sin α= 4
【答案】
3
23.（安徽理
14）已知
ABC
的一个内角为 120o ，而且三边长组成公差为
4 的
等差数列，则
ABC 的面积为 _______________.
【答案】
15
3
tan(x)
tan x
2,
24.（江苏 7）已知
4
则 tan 2x 的值为 __________
4
【答案】 9
三、解答题
25.（江苏 9）函数
f ( x)
Asin( wx
), ( A, w,
是常数，
A
0, w
0)
的部分图
象如图所
示，则 f(0)=
6
【答案】
2
26.（北京理 15）
f ( x) 4cos x sin( x
) 1
已知函数
6。

（Ⅰ）求f ( x)
的最小正周期：
（Ⅱ）求f ( x)
在区间
,
6 4
上的最大值和最小值。

f ( x) 4 cos x sin( x)1
解：（Ⅰ）因为
6
4 cos x( 3 sin x 1cos x) 1
22
3 sin 2x 2 cos2 x1
3 sin 2x cos 2x
2sin( 2x)
6
所以f ( x)
的最小正周期为
x, 所以2x 2 .
（Ⅱ）因为6
4663 2x,即 x
于是，当 6 2 6 时，f (x)
获得最大值2；
2x,即 x时, f ( x)
当666获得最小值—1. 27.（江苏 15）在△ ABC中，角 A、 B、 C所对应的边为a, b, c
sin( A
6)2cos A,
（1）若求 A的值；
cos A1,b3c （2）若3，求sin C
的值 .
此题主要考察三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考察运算求解能力。

解：（ 1）由题设知
sin A cos cos Asin2cos A, 进而 sin A 3 cos A,所以 cos A 0 66，
tan A3,因为 0a,所以A.
3
cos A 1
, b 3c及 a2b2 c 22bc cos A, 得 a 2b2c2 .
（2）由3
故△ ABC是直角三角形，且
28.（安徽理 18）
1 B, 所以 sin C cos A
2 3 .
在数 1和 100之间插入n
个实数，使得这
n2
个数组成递加的等比数列，将这n 2 个
数的乘积记作T
n ，再令
a
n
lg T
n,n≥1.
（Ⅰ）求数列{ a n }
的通项公式；
（Ⅱ）设b
n
tan a
n
tan a
n 1
,
求数列
{b
n
}
的前n项和
S
n.
此题考察等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考察灵巧运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思想能力.
解：（I）设l
1
, l
2
,, l
n 2组成等比数列，此中t
11,t n2100, 则
T n t1 t 2t
n 1
t
n 2
,
①
T n t
n 1
t
n 2t 2t1 ,②
① ×②并利用t
1
t
n
3 i t1 t n 210
2 (1i n2), 得
T n2(t1t n 2 ) (t 2t n 1 )(t n 1t 2 ) (t n 2 t1 ) 102 ( n 2 ) , a n lg T n n 2, n 1.（ II）由题意和（I）上当算结果，知
b n tan(n2)tan(n3), n 1.
tan1tan(( k1)k )tan(k1)
1)tan k,
另一方面，利用1tan(k tan k
tan(k 1)tan k tan(k1)tan k
1.
tan1
得
n n 2
S n b k tan(k1)tan k 所以k 1k 3
n2
( tan(k1)tan k1)
k3tan1
tan(n 3)tan 3n.
tan1
29．（福建理16）
13
已知等比数列 {an}的公比 q=3，前 3 项和 S3= 3 。

（I ）求数列 {an}的通项公式；
（II ）若函数 f (x) Asin(2 x
)( A 0,0
p) 在
x
6 处获得最大值， 且最大值
为 a3，求函数 f （ x ）的分析式。

本小题主要考察等比数列、 三角函数等基础知识， 考察运算求解能力， 考察函数与方程思想，
满分 13 分。

q 3, S 3
13 得 a 1 (1 33 ) 13 , 解：（ I ）由
3
1 3
3
a 1 1 .
解得
3
a n
1 3n 1 3n 2.
所以
3
（II ）由（ I ）可知
a n
3n
2
,所以 a 3 3.
因为函数
f ( x)
的最大值为 3，所以 A=3。

x
因为当
6 时
f ( x)
获得最大值，
sin(2
) 1.
所以
6
, 故
.
又
6
所以函数
f ( x)
的分析式为 f ( x)
3sin(2 x)
6
30.（广东理 16）
f ( x)
2sin( 1
x
), x R.
已知函数
3
6
f ( 5
)
（1）求
4
的值；
,
0, , f (3a ) 10
, f (3
2 ) 6 ,
)
的值．
（2）设
2
2
13
5 求 cos(
f ( 5
)
2sin(
1
5 ) 解：（1）
4 3 4
6
2sin
2
4 ；
10 f 3 2sin 1
3
2
6
2sin ,
（ 2）
13
2
3
6
f (3
2
) 2sin
1
(3
2 )
6
2sin
22cos ,
5
3
sin
5
,cos
3 ,
13 5
2
cos
1 sin 2
1
5 12 ,
13
13
2
4 ,
sin
1 cos 2
1
3
5
5
cos(
)
cos cos
sin sin
3 12 5
4 56 . 故
5 13 13 5
65
31.（湖北理
16）
ABC 的内角 A 、 B 、 C 、所对的边分别为
a 1.
b 2.cos C
1 .
设
a 、
b 、
c ，已知
4
（Ⅰ）求
ABC
的周长
（Ⅱ）求 cos A C
的值
本小题主要考察三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，
（满分 10 分）
同时考察基本运算能力。

c
2
a
2
b
2
2ab cosC
144
1
4
解：（Ⅰ）
4
c 2.
ABC 的周长为 a b c 1 2 2 5.
cosC
1 , sin C 1 cos 2
C1 ( 1)
2
15 .
（Ⅱ）
4
4
4
a sin C
15 15 4
sin A
2
8
c
a
c, A C
，故 A 为锐角，
cos A
1
sin 2 A1 ( 15)2
7 .
8
8
cos( A
C ) cos A cosC sin A sin C
7 1 15 15 11.
8 4 8 8
16
32.（湖南理 17）
在△ ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且知足 csinA=acosC ．
（Ⅰ）求角 C 的大小；
（Ⅱ）求
3
sinA-cos （ B+ 4 ）的最大值，并求获得最大值时角
A 、
B 的大小。

分析：（ I ）由正弦定理得
sin C sin A sin A cosC.
因为
A,所以
sin A
0.进而 sin C
cosC.又 cosC 0, 所以 tan C 1,则 C
4
3 B
A.
（II ）由（ I ）知
4
于是
3sin A cos(B
)3 sin A cos( A)
4
3sin A cos A 2sin( A
).
6
3
,
11
,即 A
时,
0 A
A ,进而当 A
4
6
6
12
6 2
3
2sin( A
)
6 取最大值 2．
3 sin A cos(B
)
A, B
5 .
综上所述，
4 的最大值为 2，此时
3
12
33.（全国纲领理 17）
△ ABC 的内角 A 、 B 、C 的 分
a 、
b 、
c ．己知 A —C=90°， a+c=
2
b ，求 C ．
解：由
a
c
2b
及正弦定理可得
s i nA
s iCn
2 sBi n
.
⋯⋯⋯⋯ 3
分
又因为
A
C 90 ,B
180
( A C), 故
c o Cs s iCn
2 sAi n (C
)
2 s i n ( 9 0 C 2
)
2 c o sC2 .
⋯⋯⋯⋯ 7 分
2
cosC
2
sin C cos 2C,
2
2
c o s ( 4 5C
) cCo s 2
因 0
C 90，
所以 2C 45
C,
C 15
34.（山 理 17）
cos A-2cos C = 2c-a
在
ABC 中，内角 A ， B ，C 的 分 a ， b ， c ．已知
cosB
b
．
sin C
（ I ）求 sin A 的 ；
1
（ II ）若 cosB= 4
， b=2， ABC 的面 S 。

解：
a
b c
k,
（ I ）由正弦定理，
sin A
sin B
sin C
2c a
2k sin C k sin A 2sin C sin A ,
b
k sin B sin B cos A
2cos C 2sin C sin A
cos B
.
所以
sin B
即 (cos A 2cos C )sin B (2sin C sin A)cos B ，化简可得 sin( A B) 2sin( B C ).
又A B C，
所以 sin C 2sin A
sin C
2.
所以 sin A
（II）由由余弦定理sin C
2
sin A得c2a.
b2a2c22ac cos B及 cos B 1
,b2, 4
得 4=a24a24a21 . 4
解得 a=1。

所以 c=2
cos B 1
,且G B.
又因为4
sin B15 .所以4
S 11
1 2
1515 ac sin B
4
.
所以224
35.（陕西理 18）
表达并证明余弦定理。

解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其余两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍。

或：在ABC中， a,b,c 为 A,B,C的对边，有
a2b2c22bc cos A
b2a2c22ac cosB
c2a2b22ab cosC
证法一如图
a2BC BC
( AC AB)( AC AB)
2
2AC AB 2
AC AB
2
2 AC 2
AC AB COSA AB
b22bc cos A c2
即 a2b2c22bc cos A
同理可证 b2a2c22ac cosB
c2a2b22ab cosC
证法二已知ABC中 A,B,C 所对边分别为a,b,c,以 A 为原点， AB 所在直线为x 轴，成立直角坐标系，则 C (bcos A, bsin A), B(c,0) ,
a2BC2(b cos A c) 2(b sin A)2
b2 cos2 A 2bc cos A c2b2 sin 2 A
b2a2c22ac cos B
同理可证
b2c2a22cacosB,
c2a2b22abcosC.
36.（四川理 17）
f ( x) sin( x7) cos( x3), x R
已知函数44
（1）求f ( x)
的最小正周期和最小值；
（2）已知cos(
a)
4
,cos()
4
,(0
)
，求证： [ f ( )] 2 2 0 552
f ( x) sin xcos 7
cosx sin
7
cosx cos
3
sin xsin
3 4444
2 sin x 2 cosx
2sin( x)
分析：4
T 2 , f (x)max
2
cos( ) cos cos
sin sin
4
(1)
5 cos( ) cos cos
sin sin
4
(2)
5
cos cos 0
2
cos
2
（2）
f ( )
2
( f ( )) 2 2 0
37.（天津理
15）
f ( x) tan(2 x
), 已知函数
4
（Ⅰ）求
f ( x)
的定义域与最小正周期；
0,
4
f (
) 2cos 2 ,
（II ）设
，若
2
求 的大小．
本小题主要考察两角和的正弦、 余弦、正切公式， 同角三角函数的基本关系，
二倍角的正弦、
余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考察基本运算能力
.满分 13 分.
2x
4 2 k ,k Z
（ I ）解：由
，
x
k , k Z
得
8
2
.
所以
f (x)
的定义域为
{ x R | x
k , k Z}
8
2
f ( x)
的最小正周期为
.
2
f ( a
) 2cos 2a,
（ II ）解：由 2
tan(a
)
2cos 2a,
得
4
sin(a
)
4
2
sin 2 a),
cos(a
) 2(cos a
4
sin a
cos a 2(cos a sin a)(cos a sin a).
整理得 cos a
sin a
a (0,
4 )
cosa 0.
因为
，所以 sin a (cos a
sin a)
2
1
,即 sin 2a 1 .
所以
2
2
a
(0, )
2a (0, )
由
4 ，得
2 .
2a
,即 a. 所以
6
12
38.（浙江理 18）在
ABC 中，角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c ．
已知 sin A sin C p sin B p R ,
ac
1 b
2 且
4 ．
p
5
, b 1
（Ⅰ）当
4
时，求
a, c
的值；
（Ⅱ）若角 B 为锐角，求 p 的取值范围；
此题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考察运算求解能力。

满分 14 分。

a c
5 ,
4
ac 1 ,
（ I ）解：由题设并利用正弦定理，得
4
a 1, a
1 , c
1 或
4
,
c 1.
解得
4
（ II ）解：由余弦定理，
b 2
a 2 c 2 2ac cos B
(a
c) 2 2ac 2ac cosB
p 2b 2 1 b 2 1 b 2 cosB,
2 2 即 p
2
3
1
cosB,
2 2
0 cos B 1,得 p 2 ( 3 , 2)
因为 2
，
p
0, 所以
6
p
2.
由题设知
2
39.（重庆理 16）
设
a
R ， f x
cos x a sin x cos x
cos 2
x
f
f 0
2
知足
3
，求函数
[
11
]
,
24
f ( x) 在 4 上的最大值和最小值 .
解： f ( x)
a sin x cos x cos 2 x sin 2 x
a
sin 2x
cos2x.
2
f (
)
f (0)得
3 a
1
3.
3
2
2
1,解得 a 2
由
2
f ( x)
3 sin 2x
cos2x
2sin(2 x
). 所以
6
x
[ , ]时,2 x
6
[
, ], f (x) 当 4 3
3 2 为增函数，
x [ ,
11
]时,2 x 6
[ , 3
], f ( x)
当
3 24
2 4
为减函数，
f ( x)在 [ , 11 ]上的最大值为 f ( )
2.
所以 4 4 3
f ( )
3, f (
11
)
2,
又因为
4
24
f (x)在[
11
]
11 )
2.
4 ,
f (
故
24 上的最小值为
24。