专题17：高频考点剖析之代数之不等式（组）问题

【备战2014中考数学专题汇编】
专题17：高频考点剖析之代数之不等式（组）问题
江苏泰州锦元数学工作室编辑
【备战2014中考数学专题汇编】系列由江苏泰州锦元数学工作室精心编辑，在对全国2013年170套中考数学试卷解析的基础上分若干专题对基本解题方法进行归纳探讨。

汇编分三个单元52专题：第一单元：客观性试题解法探讨（2专题），第二单元：数学思想方法探讨（9专题），第三单元：高频考点剖析（41专题）。

从12专题开始，我们针对中考数学中的热门考点，分41个专题进行探讨。

用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式。

一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

求不等式解集的过程叫做解不等式。

一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。

一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

结合2013年全国各地中考的实例，我们从五方面进行动态几何之线动问题的探讨：
（1）不等式概念及性质问题；
（2）解一元一次不等式的问题；
（3）解一元一次不等式组的问题；
（4）一元一次不等式（组）的图象解问题；
（5）一元一次不等式（组）的应用问题。

一、不等式概念及性质问题：
不等式性质：
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)（0除外），不等号的方向不变（如果a>b,那么a±c>b±c）。

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（如果a>b，c>0，那么ac>bc
或
a b
c c
>）。

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（如果a>b ，c<0，那么ac<bc
或
a b
c c
<）。

典型例题：
1.（2013年广东省3分）已知实数a 、b ，若a ＞b ，则下列结论正确的是【 】
A.a 5<b 5--
B.2a<2b ++
C.a b
<33
D.3a>3b 【答案】D 。

【考点】不等式的基本性质。

【分析】不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号的方向不变，不等式的两边同时除以或乘以一个正数，不等号的方向也不变，所以A 、B 、C 错误， D 正确。

故选D 。

2.（2013年湖北恩施3分）下列命题正确的是【 】
A ．若a ＞b ，b ＜c ，则a ＞c
B ．若a ＞b ，则ac ＞bc
C ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2
D ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b 【答案】D 。

【考点】命题与定理，不等式的性质，反证法和特殊值法的应用。

【分析】根据不等式的基本性质，应用反证法和特殊值法进行解答：
A 、设a=4，b=3，c=4，则a=c ．故本选项错误；
B 、当c=0或c ＜0时，不等式ac ＞bc 不成立．故本选项错误；
C 、当c=0时，不等式ac 2＞bc 2不成立．故本选项错误；
D 、由题意知，c 2＞0，则在不等式ac 2＞bc 2的两边同时除以c 2，不等式仍成立，即ac 2＞bc 2，
故本选项正确。

故选D 。

3.（2013年湖南湘西3分）若x ＞y ，则下列式子错误的是【 】 A ．x ﹣3＞y ﹣3 B ．﹣3x ＞﹣3y C ．x+3＞y+3 D ．x y >33
【答案】B 。

【考点】不等式的性质。

【分析】根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式
两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案：
A 、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；
B 、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；
C 、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；
D 、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确。

故选B 。

4.（2013年四川乐山3分）若a b >，则下列不等式变形错误．．
的是【 】 A ．a 1b 1>++ B ．a b
22
> C ．3a 43b 4>-- D ．43a 43b >-- 【答案】D 。

【考点】不等式运算法则。

【分析】根据不等式运算法则做出判断即可：
A 、因为不等式两边同加一个数，不等式方向不变，不等式变形正确；
B 、因为不等式两边同除以一个正数，不等式方向不变，不等式变形正确；
C 、∵a b 3a 3b 3a 43b 4>>>⇒⇒--，∴不等式变形正确；
D 、∵a b 3a 3b 3a 43b 443a 43b >>><⇒⇒--⇒--，∴不等式变形错误。

故选D 。

5.（2013年云南德宏3分）如果a ＜0，则下列式子错误的是【 】 A ．5+a ＞3+a B ．5﹣a ＞3﹣a C ．5a ＞3a D ．a a
>53
【答案】C 。

【考点】不等式的性质。

【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可：
A 、∵5＞3，∴5+a ＞3+a ，故本选项正确；
B 、∵5＞3，∴5﹣a ＞3﹣a ，故本选项正确；
C 、∵5＞3，a ＜0，∴5a ＜3a ，故本选项错误；
D 、∵11<53， a ＜0，∴a a
>53
，故本选项正确。

故选C 。

6.（2013年云南曲靖3分）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是【 】
A ．a
<b
0 B ．a ﹣b ＞0 C ．ab ＞0 D ．a+b ＞0 【答案】A 。

【考点】实数与数轴。

【分析】由图可知，﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1，因此，
A 、a <b
0，正确，故本选项正确； B 、a ﹣b ＜0，故本选项错误； C 、ab ＜0，故本选项错误； D 、a+b ＜0，故本选项错误。

故选A 。

7.（2013年山东淄博4分）当实数a ＜0时，6＋a ▲ 6－a （填“＜”或“＞”）． 【答案】＜。

【考点】不等式的性质。

【分析】∵a ＜0，∴a ＜－a 。

在不等式两边同时加上6，得：6＋a ＜6－a 。

二、解一元一次不等式的问题：
解一元一次不等式的一般顺序：
（1）去分母 （运用不等式性质2、3）；
（2）去括号；
（3）移项 （运用不等式性质1）；
（4）合并同类项；
（5）将未知数的系数化为1 （运用不等式性质2、3）；
（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。

典型例题：
1.（2013年福建福州4分）不等式1x 0< 的解集在数轴上表示正确的是【 】 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 。

【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

因此不等式1x 0<+的解集为x 1<-，在数轴上表示正确的是A 。

故选A 。

2.（2013年广东省3分）不等式5x 1>2x 5-+的解集在数轴上表示正确的是【 】 A.
B.
C.
D.
【答案】A 。

【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

因此，
解不等式5x 1>2x 5-+，得x>2，在数轴上表示正确的是A 。

故选A 。

3.（2013年广西桂林3分）不等式x+1＞2x ﹣4的解集是【 】 A ．x ＜5 B ．x ＞5 C ．x ＜1 D ．x ＞1 【答案】A 。

【考点】解一元一次不等式。

【分析】根据不等式的基本性质，把不等号右边的x 移到左边，合并同类项；然后再在不等式的两边同时乘以﹣1即可求得原不等式的解集；
不等式x+1＞2x ﹣4移项得，﹣x ＞﹣5， 在两边同时除以﹣1，得x ＜5。

∴不等式的解集为x ＜5。

故选A 。

4.（ 2013年广西玉林、防城港3分）在数轴上表示不等式x+5≥1的解集，正确的是【 】 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B 。

【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】解不等式x+5≥1，得：x≥﹣4。

不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

因此不等式x≥﹣4在数轴上表示正确的是B。

故选B。

5.（2013年湖北随州4分）不等式2x31
+≥的解集在数轴上表示为【】
A．B．C．
D．
【答案】C。

【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】解不等式2x312x132x2x1
+≥⇒≥-⇒≥-⇒≥-
不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

因此不等式x1
≥-在数轴上表示正确的是C。

故选C。

6.（2013年江苏镇江3分）已知关于x的方程2x+4=m﹣x的解为负数，则m的取值范围是【】
A．
4
m<
3
B．
4
m>
3
C．m＜4 D．m＞4
【答案】C。

【考点】解一元一次方程和一元一次不等式。

【分析】解2x+4=m﹣x得，
m4
x
3
-=。

∵方程的解为负数，∴m4
3
-
＜0，解得m＜4。

故选C。

7.（2013年四川绵阳3分）设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为【】
A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、●D．●、▲、■
【答案】C。

【考点】等式和不等式的性质。

【分析】设▲、●、■的质量分别为a、b、c，
由图形可得：
a c2a
a b3b
+
⎧
⎨
+=
⎩
＞①
②
，
由①得：c＞a，由②得：a=2b，∴c＞a＞b。

故选C。

8.（2013年内蒙古包头3分）不等式1
3
（x﹣m）＞3﹣m的解集为x＞1，则m的值为▲ ．
【答案】4。

【考点】解一元一次不等式和一元一次方程。

【分析】去分母得，x﹣m＞3（3﹣m），
去括号得，x﹣m＞9﹣3m，
移项，合并同类项得，x＞9﹣2m。

∵此不等式的解集为x＞1，
∴9﹣2m=1，解得m=4。

9.（2013年贵州安顺4分）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜
2
1a
-
，则a的取值范围是
▲ ．
【答案】a＞1。

【考点】解一元一次不等式。

【分析】因为不等式的两边同时除以1﹣a，不等号的方向发生了改变，所以1﹣a＜0，再根据不等式的基本性质便可求出不等式的解集：
由题意可得1﹣a＜0，
移项得，﹣a＜﹣1，
化系数为1得，a＞1。

10.（2013年湖南郴州6分）解不等式4（x﹣1）+3≥3x，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：去括号得：4x﹣4+3≥3x，
移项得：4x﹣3x≥4﹣3
∴x≥1。

把解集在数轴上表示为：
【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】首先去括号，然后移项、合并同类项，系数化成1，即可求得不等式的解集。

不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

11.（2013年四川凉山6分）已知x 3=是关于x 的不等式ax 22x
3x 23
+->
的解，求a 的取值范围。

【答案】解：∵x 3=是关于x 的不等式ax 22x
3x 23
+->
的解， ∴3a 2
922
+-
>，解得a ＜4。

∴a 的取值范围是a ＜4。

【考点】不等式的解和解不等式。

【分析】先根据不等式的解的定义，将x=3代入不等式ax 22x 3x 23+->，得到3a 2
922
+->，解此不
等式，即可求出a 的取值范围。

三、解一元一次不等式组的问题：
解一元一次不等式组的解题步骤：
（1）求出每个不等式的解集；
（2）求出每个不等式的解集的公共部分（一般利用数轴和用口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解））；
（3）用代数符号语言来表示公共部分；
（4）有些时候需要求出整数解。

典型例题：
1.（2013年山西省2分）不等式组x 35
2x 1<5+≥⎧⎨-⎩
的解集在数轴上表示为【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 。

【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

因此，
x 35x 2
2x<32x 1<5x<3+≥≥⎧⎧⇒⇒≤⎨
⎨-⎩⎩。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；
＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。

在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；
“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

因此，x 35
2x 1<5+≥⎧⎨-⎩
的解集2x<3≤在数轴上表示为C 。

故选C 。

2.（2013年陕西省3分）不等式组1x 0
2
12x 3
⎧
->⎪⎨⎪-<⎩的解集为【 】 A ．1x 2>
B ．x 1<-
C ．11x 2-<<
D ．1
x 2
>- 【答案】A 。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

因此，
11x 0x 1x 22212x 3x 1
⎧⎧
->>
⎪⎪⇒⇒>⎨
⎨⎪⎪-<>-⎩⎩。

故选A 。

3. （2013年湖北孝感3分）使不等式x 12-≥与3x 7<8-同时成立的x 的整数值是【 】 A ．3，4 B ．4，5 C ．3，4，5 D ．不存在 【答案】A 。

【考点】一元一次不等式组的整数解。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公
共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

因此，
解x 12
3x 7<8
-≥⎧⎨-⎩得3≤x ＜5，则x 的整数值是3，4。

故选A 。

4. （2013年山东滨州3分）若把不等式组2x 3
x 12-≥-⎧⎨-≥-⎩
的解集在数轴上表示出来，则其对应的图形为
【 】 A ．长方形 B ．线段
C ．射线
D ．直线
【答案】B 。

【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

因此，
2x 3x 5
1x 5x 12x 1-≥-≤⎧⎧⇒⇒-≤≤⎨
⎨-≥-≥-⎩⎩。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；
＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。

在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

因此，不等式组的解集在数轴上表示为：
∴解集对应的图形是线段。

故选B 。

5.（2013年广西百色3分）不等式组x 3(x 2)4
12x x 1--≥⎧⎨+>-⎩
的解集在数轴上表示正确的是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 。

【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

因此，
x 3(x 2)4x 1
2<x 112x x 1x 2--≥≤⎧⎧⇒⇒-≤⎨
⎨+>->-⎩⎩。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；
＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。

在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

因此，不等式组的解集在数轴上表示正确的是选项B 。

故选B 。

6.（2013年黑龙江大庆3分）若不等式组2x a 1>0
2x a 1<0+-⎧⎨--⎩
的解集为0＜x ＜1，则a 的值为【 】
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】A 。

【考点】解一元一次不等式组和一元一次方程。

【分析】1a
x>
2x a 1>01a 1a 2<x<2x a 1<01a 22x<
2-⎧⎪+-⎧-+⎪⇒⇒⎨⎨--+⎩⎪⎪⎩
， ∵不等式组2x a 1>0
2x a 1<0+-⎧⎨--⎩
的解集为0＜x ＜1，
∴
1a 2-=0，1a 2
+=1，解得：a=1。

故选A 。

7.（2013年湖北荆门3分）若关于x 的一元一次不等式组x 2m<0
x m>2-⎧⎨+⎩
有解，则m 的取值范围为【 】
A ．2m>3-
B ．2m 3≤
C ．2m>3
D ．2
m 3
≤- 【答案】C 。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】求出两个不等式的解集，再根据有解列出不等式组求解即可：
解x 2m<0x<2m
x m>2x>2m -⎧⎧⇒⎨⎨+-⎩⎩
，
∵不等式组有解，∴2m ＞2﹣m 。

∴2m>3。

故选C 。

8.（2013年四川德阳3分）适合不等式组5x 1>3x 421x 3
3--⎧⎪
⎨-≥-⎪⎩的全部整数解的和是【 】
A ．一1
B ．0
C ．1
D ．2 【答案】B 。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

因此，
解5x 1>3x 4--得：3x>2-
；解21
x 33-≥-得：x 1≤， ∴原不等式组的解为：3
<x 12
-≤。

∴所有整数解为：－1，0，1，和为0。

故选B 。

9.（2013年云南昭通3分）已知点P （2a 11a --，）在第一象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是【 】 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C 。

【考点】平面直角坐标系中各象限点的特征，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）。

因此，
∵点P （2a 11a --，）在第一象限，∴2a 1>01a>0-⎧⎨
-⎩。

解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的
公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

因此，
1
2a 1>0a>1
<a<121a>02a<1⎧-⎧⎪⇒⇒⎨
⎨-⎩⎪⎩。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的
个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。

在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

因此，
a 的取值范围在数轴上表示正确的是C 。

故选C 。

10.（2013年宁夏区3分）若不等式组x a 012x x 2+≥⎧⎨--⎩
＞有解，则a 的取值范围是 ▲ ．
【答案】a ＞﹣1。

【考点】不等式的解集。

【分析】∵由x a 0+≥得x≥﹣a ；由12x x 2--＞得x ＜1。

∴x a 0
12x x 2+≥⎧⎨--⎩
＞解集为﹣a≤x ＜1。

∴﹣a ＜1，即a ＞﹣1。

∴a 的取值范围是a ＞﹣1。

11.（2013年湖北鄂州3分）若不等式组2x b 0
x a 0-≥⎧⎨+≤⎩
的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b ＜0的解集为
▲ ． 【答案】x ＞
3
2。

【考点】一元一次不等式组的解集，解一元一次不等式（组）。

【分析】解：解2x b 0x a 0-≥⎧⎨+≤⎩
得b x a 2≤≤-。

∵不等式组2x b 0x a 0-≥⎧⎨+≤⎩的解集为3≤x≤4，∴b
b 63
2a 4a 4
⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-=⎩。

∴不等式ax+b ＜0为﹣4x+6＜0，解得x ＞
3
2。

12.（2013年北京市5分）解不等式组：3x x 2x 12x 3
>-⎧⎪
+⎨>⎪⎩
【答案】解：由3x x 2>-解得，x 1>-； 由
x 12x 3+>解得，1
x <5。

∴原不等式组的解为：1
1<x <5
-。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

13.（2013年江苏南通8分）若关于x 的不等式组()x x 1
>0233x 5a 4>4x 13a +⎧+⎪⎨⎪++++⎩
恰有三个整数解，求实数
a 的取值范围。

【答案】解：解
x x 1
>023
++得：2x >5-；
解()3x 5a 4>4x 13a ++++得：x <2a 。

∴不等式组的解为2
<x <2a 5
-。

∵关于x 的不等式组()x x 1
>0233x 5a 4>4x 13a +⎧+⎪⎨⎪++++⎩
恰有三个整数解，
∴22a <3≤，解得31a <
2≤。

∴实数a 的取值范围为3
1a <2
≤。

【考点】一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组。

【分析】根据不等式组恰有三个整数解，即可确定不等式组的解集，从而即可得到一个关于a 不等式组，解之即可。

14.（2013年江苏扬州8分）已知关于x 、y 的方程组5x 2y 11a 182x 3y 12a 8+=+⎧⎨-=-⎩
的解满足x ＞0，y ＞0，求实
数a 的取值范围．
【答案】解：5x 2y 11a 182x 3y 12a 8+=+⎧⎨-=-⎩
①
②，
①×3得，15x=6y=33a+54③， ②×2得，4x ﹣6y=24a ﹣16④， ③+④得，19x=57a+38，解得x=3a+2。

把x=3a+2代入①得，5（3a+2）+2y=11a+18，解得y=﹣2a+4。

∴方程组的解是x 3a 2
y 2a 4
=+⎧⎨=-+⎩。

∵x ＞0，y ＞0，∴23a 2>0a>32a 4>0a<2
⎧
+-
⎧⎪⇒⎨⎨-+⎩⎪⎩。

∴a 的取值范围是23
-＜a ＜2。

【考点】解二元一次方程组，解一元一次不等式组。

【分析】先利用加减消元法求出x 、y ，然后列出不等式组，再求出两个不等式的解集，然后求公共部分即可。

四、一元一次不等式（组）的图象解问题：任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0
（a ，b 为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围。

典型例题：
1.（2013年贵州铜仁4分）如图，直线y=kx+b 交坐标轴于A （﹣2，0），B （0，3）两点，则不等式kx+b ＞0的解集是【 】
A ．x ＞3
B ．﹣2＜x ＜3
C ．x ＜﹣2
D ．x ＞﹣2 【答案】D 。

【考点】一次函数与一元一次不等式。

【分析】∵直线y=kx+b 交x 轴于A （﹣2，0），
∴不等式kx+b ＞0的解集是x ＞﹣2。

故选D 。

2.（2013年江苏南通3分）如图，经过点B （－2，0）的直线y kx b =+与直线y 4x 2=+相交于点A （－1，－2），则不等式4x 2<kx b<0++的解集为 ▲ 。

【答案】2<x<1--。

【考点】一次函数与一元一次不等式组，数形结合思想的应用。

【分析】不等式4x 2<kx b<0++的解集就是在x 下方，直线y kx b =+在直线y 4x 2=+上方时x 的取值范围。

由图象可知，此时2<x<1--。

3.（2013年贵州黔西南4分）如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于A(m ，3),则不等式2x ax+4<的解集为【 】
A ．3
x 2
<
B ．x 3<
C ．3x 2
>
D ．x 3>
【答案】A 。

【考点】一次函数与一元一次不等式，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】∵函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），∴3=2m ，解得m=
3
2。

∴点A 的坐标是（3
2
，3）。

∵当3
x 2
<
时，y=2x 的图象在y=ax+4的图象的下方， ∴不等式2x ＜ax+4的解集为3
x 2
<。

故选A 。

4.（2013年黑龙江牡丹江市区3分）抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0）如图所示，则关于x 的不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是【 】
A．x＜2 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【答案】C。

【考点】二次函数与不等式（组），数形结合思想的应用。

【分析】根据函数图象，写出x轴上方部分的x的取值范围即可：
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣3，0）（1，0），
∴关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜1。

故选C。

五、一元一次不等式（组）的应用问题：
典型例题：
1.（2013年广东梅州3分）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是【】
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A。

【考点】多边形内角与外角，一元一次不等式的应用。

【分析】设边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°＜360°，解之得n＜4。

∵n为正整数，且n≥3，∴n=3。

故选A。

2.（2013年黑龙江龙东地区3分）今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有【】
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】D。

【考点】二元一次不等式的应用，分类思想的应用。

【分析】设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，由题意，得7x+5y≤50。

∵x≥3，y≥3，
∴当x=3，y=3时，7×3+5×3=36＜5； 当x=3，y=4时，7×3+5×4=41＜50； 当x=3，y=5时，7×3+5×5=46＜50； 当x=3，y=6时，7×3+5×6=51＞50舍去； 当x=4，y=3时，7×4+5×3=43＜50； 当x=4，y=4时，7×4+5×4=4＜50； 当x=4，y=5时，7×4+5×5=53＞50舍去； 当x=5，y=3时，7×5+5×3=50=50。

综上所述，共有6种购买方案。

故选D 。

3.（2013年湖北宜昌3分）地球正面临第六次生物大灭绝，据科学家预测，到2050年，目前的四分之一到一半的物种将会灭绝或濒临灭绝，2012年底，长江江豚数量仅剩约1000头，其数量年平均下降的百分率在13%﹣15%范围内，由此预测，2013年底剩下江豚的数量可能为【 】头．
A ．970
B ．860
C ． 750
D ． 720 【答案】B 。

【考点】一元一次不等式组的应用（增长率问题）。

【分析】设2013年底剩下江豚的数量为x 头，
∵2012年底，长江江豚数量仅剩约1000头，其数量年平均下降的百分率在13%﹣15%范围内，
∴2013年底剩下江豚的数量可能为1000113%x 100115%⨯-≤≤⨯-（）（），即850x 870≤≤。

∴2013年底剩下江豚的数量可能为860头。

故选B 。

4.（2013年山东潍坊3分）对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，
[]35.2-=-，若x 4510+⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，则x 的取值可以是【 】.
A.40
B.45
C.51
D.56 【答案】C 。

【考点】新定义，一元一次不等式组的应用。

【分析】根据定义，得x 4
5<5150x 4<6046x<5610
+≤
+⇒≤+⇒≤。

故选C 。

5. （2013年四川资阳3分）在芦山地震抢险时，太平镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人，那么预定每组分配的人数是【 】 A ．10人 B ．11人 C ．12人 D ．13人 【答案】C 。

【考点】一元一次不等式组的应用
【分析】设预定每组分配x 人，根据“按每组人数比预定人数多分配1人，总数会超过100人”得
8(x 1)>100＋；根据“按每组人数比预定人数少分配1人，总数不够90人”得8(x 1)<90-，联立得8(x 1)>100
8(x 1)<90⎧⎨
-⎩
＋。

解得：11
12＜x ＜121
4。

∵x 为整数，∴x=12。

故选C 。

6.（2013年新疆乌鲁木齐4分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了n 道题，则根据题意可列不等式 ▲ ． 【答案】10n ﹣5（20﹣n ）＞90。

【考点】由实际问题列一元一次不等式。

【分析】根据答对题的得分：10n ；答错题的得分：﹣5（20﹣n ），得出不等关系：得分要超过90分得；
10n ﹣5（20﹣n ）＞90。

7. （2013年湖南邵阳8分）雅安地震后，政府为安置灾民，从某厂调拨了用于搭建板房的板材5600m 2和铝材2210m ，计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的板房共100间，若搭建一间甲型板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数量如下表所示：
板房规格 板材数量（m 2）
铝材数量（m ）
甲型
40
30
乙型
60
20
请你根据以上信息，设计出甲、乙两种板房的搭建方案．
【答案】解：设甲种板房搭建x 间，则乙种板房搭建（100﹣x ）间，根据题意得：
()()40x 60100x 5600
30x 20100x 2210⎧+-≤⎪⎨
+-≤⎪⎩
，解得：20≤x≤21。

∵x 只能取整数，∴x=20，21。

∴共有2种搭建方案：
方案一：甲种板房搭建20间，乙种板房搭建80间， 方案二：甲种板房搭建21间，乙种板房搭建79间。

【考点】一元一次不等式组的应用。

【分析】设甲种板房搭建x 间，则乙种板房搭建（100﹣x ）间，根据题意列出不等式组，再根据x 只能取整数，求出x 的值，即可得出答案。

8. （2013年湖南湘潭8分）5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨． （1）小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案；
（2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率． 【答案】解：（1）设购买康乃馨x 支，购买兰花y 支，由题意，得
5x 3y 30
x y 7
x 1+≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩
， ∵x 、y 为正整数，
∴当x=1时，y=6，7，8符合题意；当x=2时，y=5，6符合题意；当x=3时，y=4，
5符合题意；当x=4时，y=3符合题意；当x=5时，y=1舍去；当x=6时，y=0舍去。

∴共有8种购买方案：
方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支； 方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支； 方案3：购买康乃馨1支，购买兰花8支； 方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；
方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；方案6：购买康乃馨3支，购买兰花4支；方案7：购买康乃馨3支，购买兰花5支；方案8：购买康乃馨4支，购买兰花3支。

（2）由题意，得
5x3y28
x y7
x1
+≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≥
⎩
，
能实现购买愿望的购花的方案有：
方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；
方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；
方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；
方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；
方案6：购买康乃馨3支，购买兰花4支。

∴小明实现购买方案的愿望有5种，而总共有8种购买方案，
∴小明能实现购买愿望的概率为P=5
8。

【考点】一元一次不等式组的应用，概率，分类思想的应用。

【分析】（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，根据条件建立不等式组，运用分类讨论思想求出其解即可。

（2）当小明先购买一张2元的祝福卡，小明购花的钱就只有28元了，求出能够购花的方案，就可以求出实现愿望的概率。

9. （2013年江苏南京8分）某商场促销方案规定：商场内所有商品案标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额。

消费金额(元) 300～400 400～500 500～600 600～700 700～900 …
返还金额(元) 30 60 100 130 150 …
注：300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同。

根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。

例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400⨯(1-80%)+30=110(元)。

（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
（2）如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？
【答案】解：（1）∵购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元，
∴顾客获得的优惠额为1000⨯(1-80%)+150=350(元)。

（2）设该商品的标价为x元，
当80%x≤500，即x≤625时，顾客获得的优惠额不超过625⨯(1-80%)+60=185<226；
当500<80%x≤600，即625≤x≤750时，(1-80%)x+100≥226。

解得x≥630。

所以630≤x≤750。

当600<80%x≤800⨯80%，即750<x≤800时，顾客获得的优惠额大于750⨯(1-80%)+130=280>226。

综上所述，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为630元。

【考点】一元一次不等式组的应用，分类思想的应用。

【分析】（1）根据标价为1000元的商品按80%的价格出售，求出消费金额，再根据消费金额所在的范围，求出优惠额，从而得出顾客获得的优惠额。

（2）先设该商品的标价为x元，根据购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠不少于226元，分别情况列出不等式，求出x的取值范围，从而得出答案。

10. （2013年山东德州10分）设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）
表1．
1 2 3 ﹣7
﹣2 ﹣1 0 1
（2）数表A如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值
表2．
a a2﹣1 ﹣a ﹣a2
2﹣a 1﹣a2a﹣2 a2。