江苏省扬州市高邮市第一中学2020-2021学年高三上学期10月第二次学情检测数学试题

江苏省扬州市高邮市第一中学2020-2021学年高三上学期10
月第二次学情检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合2{|320},{|124}x A x x x B x =-+≤=<<，则A B =（ ）
A ．{|12}x x ≤≤
B ．{|12}x x <≤
C ．{|12}x x ≤<
D ．{|02}x x ≤<
2．已知0.42x =，2lg 5y =，0.4
25z ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则下列结论正确的是（ ） A ．x y z << B ．y z x << C ．z y x <<
D ．z x y <<
3．已知0,0a b >>，2a b +=，则14
y a b
=+的最小值是（ ） A ．
72
B ．4
C ．
92
D ．5
4．函数()e 1sin ()e 1
x
x x f x -=
+在区间,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上的图象的大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且()f x 的图象关于点(3,0)对称，当12x 时，3 ()2log (43)f x x x =++，则1609
()2
f =（） A ．4-
B ．4
C ．5-
D ．5
6．已知cos 270.891︒=)cos72cos18︒+︒的近似值为（） A ．1.77
B ．1.78
C ．1.79
D ．1.81
7．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为（ ） A ．-4
B ．5
C ．-5
D ．4
8．如图所示，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()
PA PB PC +⋅的最小值为（ ）
A ．92-
B ．4
C ．-5
D ．5
二、多选题
9．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．(0,π)x ∃∈，使得
2
sin sin x x
+= B ．命题:P x R ∀∈，都有cos 1≤x ，则0:P x R ⌝
∃∈，使得0cos 1x >
C ．函数()f x =
()g x =
D ．若x 、y 、z 均为正实数，且3412x y z ==，
(,1),()x y
n n n N z
+∈+∈，则4n = 10．已知曲线1C ：2sin y x =，2C ：2sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，则（ ） A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动
6
π
个单位长度，得到曲线2C B ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，级坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动
56
π
个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 向左平行移动3π
个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的
12
倍，纵坐标不变，得到曲线2C D ．把1C 向左平行移动
6π
个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，得到曲线2C
11．若函数()f x 对a ∀，b R ∈，同时满足：（1）当0a b +=时有()()0f a f b +=；（2）当0a b +>时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数.下列函数中是Ω函数的有（ ）
A ．()x
x f x e e -=+
B ．()x
x
f x e e -=-
C ．()sin x x x f -=
D ．()0,01,0x f x x x
=⎧⎪
=⎨-≠⎪⎩
12．设函数21
2log ,02
()3log (),22x x f x x x ⎧<≤⎪
=⎨->⎪⎩，若实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，且
()()().f a f b f c ==则下列结论恒成立的是（ ）
A ．1ab =
B ．32
c a -=
C ．2
4
0b ac
-
< D ．2a c b +<
三、填空题
13．设函数()ln ,1
1,1x x f x x x ≥⎧=-<⎨⎩
，若()1f m >，则实数m 的取值范围是______．
14．设0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，若4cos 65πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值为_______． 15．已知方程(
)32
30x a x x -+=有4个不同的根，则实数a 的取值范围是______.
四、双空题
16．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos C a B b A c +=，则C =______
；若c =ABC ∆
ABC ∆的周长为_____．
五、解答题
17．在ABC 中，已知45A =︒，cos 45
B =. （1）求cos
C 的值；
（2）若10BC =，D 为AB 的中点，求CD 的长.
18．A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限，C 是圆O 与轴正半轴的交点，AOB ∆为等腰直角三角形，记AOC α∠=.
(1)若A 点的坐标为34(,)55，求22
2cos cos 2sin sin αα
αα
++的值 (2)求2
BC 的取值范围.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，1
22
PA PB AD CD BC ====
=，//AD BC ，
AD CD ⊥，E 是PA 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD .
（1）证明：PB CE ⊥；
（2）求直线CE 与平面PBC 所成的角的正弦值. 20．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛
⎫
=⋅+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛
⎫<≤
⎪⎝
⎭个单位长度后得到()f x 的图象.
（1）若()f x 为偶函数，tan 2α>，求()f α的取值范围.
（2）若()f x 在7,
6ππ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上是单调函数，求ϕ的取值范围. 21．某医疗机构，为了研究某种病毒在人群中的传播特征，需要检测血液是否为阳性.若现有(
)*
n n N
∈份血液样本，每份样本被取到的可能性相同，检测方式有以下两种：
方式一：逐份检测，需检测n 次；
方式二：混合检测，将其中(
)
*
,2k k N k ∈≥份血液样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，说明这k 份样本全为阴性，则只需检测1次；若检测结果为阳性，则需要对这k 份样本逐份检测，因此检测总次数为1k +次，假设每份样本被检测为阳性或阴性是相互独立的，且每份样本为阳性的概率是()01p p <<.
（1）在某地区，通过随机检测发现该地区人群血液为阳性的概率约为0.8%.为了调查某单位该病毒感染情况，随机选取50人进行检测，有两个分组方案： 方案一：将50人分成10组，每组5人； 方案二：将50人分成5组，每组10人. 试分析哪种方案的检测总次数更少？
(取50.9920.961=，100.9920.923=，110.9920.915=)
（2）现取其中k 份血液样本，若采用逐份检验方式，需要检测的总次数为1ξ；采用混合检测方式，需要检测的总次数为2ξ.若()()12E E ξξ=，试解决以下问题：
①确定p 关于k 的函数关系；
②当k 为何值时，p 取最大值并求出最大值. 22．已知函数2
21()2ln (0)2
f x ax x a x a =
-+≠ （1）讨论()f x 的单调性.
（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：121212
()()11
f x f x x x x x -≤+-.
参考答案
1．C 【分析】
分别求出集合,A B ，然后取交集即可. 【详解】
由题意，2{|320}A x x x =-+≤{|12}x x =≤≤，
{}022{|124}{|222}|0x x B x x x x =<<=<=<<<，
所以A
B ={|12}x x ≤<.
故选：C. 【点睛】
本题考查不等式的解法，考查集合的并集，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2．B 【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较x 、y 、z 三个数与0、1的大小关系，
由此可得出x 、y 、z 三个数的大小关系.
【详解】
0.4
2
21x =>=，2lg lg105y =<=，0.4
21525z ⎛⎫
<= ⎪⎝⎫
⎭
⎭
⎛=⎪
⎝，又0z >，即01z <<. 因此，y z x <<. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题. 3．C 【分析】
利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14
()()2a b a b
++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 【详解】
因为0,0a b >>，2a b +=，
所以14145259()()22222
a b b a y a b a b a b +=
+=+=++≥+=（当且仅当22b a a b
=，即2b a =时等号成立）. 所以14
y a b =
+的最小值是92
. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，其中解答中熟记基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．A 【分析】
先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，最后特殊值代入即可得出结论. 【详解】
由()e 1sin ()e 1
x
x
x f x -=
+知，
函数的定义域为R ，
又()()()()e
1sin 1sin ()e 1
1x
x
x
x
x e x f x f x e
------=
=
=++，
则函数()f x 为偶函数，排除B D ；
又()e 1sin1(1)0e 1
f -=>+，排除C.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性以及特殊值代入选择图像的问题.属于较易题. 5．C 【分析】
由()f x 的图象关于点(3,0)对称，则()(6)0f x f x +-=，结合()(2)f x f x =-， 则可得()(8)f x f x =+，即函数()f x 的周期为8，即有16099()()22f f =，又9
()52
f =-， 即可得解. 【详解】
解：因为()f x 的图象关于点(3,0)对称，所以()(6)0f x f x +-=.又()(2)f x f x =-，所以(2)(6)0f x f x -+-=，所以()(4)f x f x =-+，则()(8)f x f x =+，
即函数()f x 的周期为8，所以160999
(
)(1008)()222
f f f =+⨯=， 因为99()(6)022f f +-=，()393
()()3log 952
2
f f =-=-+=-，
所以1609
(
)52
f =-， 故选C. 【点睛】
本题考查函数的对称性与周期性，考查推理论证能力与抽象概括能力. 6．B 【分析】
化简式子等于2cos27︒，代入数据得到答案. 【详解】
()
cos72cos18sin18cos18184563=+=︒+︒︒︒︒=︒+︒︒ )
cos72cos1820.891 1.782︒+︒≈⨯=，
)cos72cos18︒+︒的近似值为1.78. 故答案选B 【点睛】
本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力 7．B 【分析】
以,DA DC 为,x y 轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值. 【详解】
由题：以,DA DC 为,x y 轴的正方向建立直角坐标系，如图所示： 设()()()()0,,0,,1,,2,0,0C a P b B a A b a ≤≤， 则()()()32,31,5,34PA PB b a b a b +=-+-=-
3255PA PB +=≥，当34
a
b =
取得最小值5. 故选：B 【点睛】
此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题. 8．A 【分析】
根据题中条件，得到2PA PB PO +=，根据向量数量积运算，得到
(
)
()
2
9
232
PA PB PC PO +⋅=--
，即可求出最小值. 【详解】
因为点O 是线段AB 的中点，所以向量2PA PB PO +=， 所以()
2PA PB PC PO PC +⋅=⋅， 又因为向量PO ，PC 方向相反，
所以()
(
)
2
222626PO PC PO PC PO PO PO PO
=--=⋅-=--
()
2
992322
PO =--
≥-.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查求向量的数量积，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型. 9．BD
【分析】
由正弦函数的性质可得sin (0,1]x ∈，令sin t x =，再由对勾函数的单调性可判断A ；由全称命题的否定为特称命题，可判断B ；由两函数的定义域是否相同，对应关系是否相同进行判断C ；令3412x y z m ===，则3412log ,log ,log x m y m z m ===，则
3412log log lg lg lg12lg12lg12lg 4lg32log lg3lg 4lg lg3lg 4lg3lg 4m m x y m m z m m ⎛⎫++==+=+=++ ⎪⎝⎭
，然后利用对数的性质可求出其范围，进而可判断D
【详解】
解：对于A ，由π()0,x ∈，可得sin (0,1]x ∈，令sin t x =，(0,1]t ∈，
2()f t t t =+在(0,1]上递减，可得()f t 的最小值为2(1)131
f =+=，所以A 错误； 对于B ，由全称命题的否定为特称命题，改量词否结论，所以B 正确； 对于C
，()f x =
{}1x x ≥
，()g x ={1x x ≤-或}1x ≥，
定义域不相同，所以两个函数不是同一个函数，所以C 错误；
对于D ，令3412x y z m ===，则3412log ,log ,log x m y m z m ===，
3412log log lg lg lg12lg12lg12lg 4lg32log lg3lg 4lg lg3lg 4lg3lg 4m m x y m m z m m ⎛⎫++==+=+=++ ⎪⎝⎭ 32122log 2log 32
=++， 因为243256<
<5832<， 所以5
8333
log 3log 2log 3<<，所以35log 218<<， 因为89<
<3223<，
所以32222
log 2log 3log 4<<，所以23log 322<<， 所以32122log 2log 332
<+<， 所以321422log 2log 352<++<，即(4,5)x y z
+∈，所以D 正确， 故选：BD
【点睛】
此题考查命题的真假判断，考查推理能力和计算能力，属于中档题
10．ABC
【分析】
利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可.
【详解】
A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的12
倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π个单位长度，得到2sin 2+=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，正确； B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π个单位长度，得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26333y x x x x πππππ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，正确； C. 1C 向左平移3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝
⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+3y x π⎛
⎫= ⎪⎝⎭
，正确； D. 1C 向左平移6π个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝
⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+
6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，错误. 故选：ABC
【点睛】 本题考查函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律，考查平移变换和伸缩变换的应用，属于
基础题.
11．BC
【分析】
由题意可得()y f x =满足是R 上的奇函数，且为增函数，由函数的奇偶性和单调性与导数之间的关系，分别判断,,,A B C D 的函数的奇偶性和单调性，可得所求结论．
【详解】
由（1）当0a b +=时有()()0f a f b +=，即为()()f a f a -=-，
则()y f x =为R 上的奇函数；
由（2）当0a b +>时有()()0f a f b +>，即为a b >-，()()()f a f b f b >-=-， 可得()y f x =为R 上的增函数，
则函数()y f x =为R 上的奇函数，且为增函数．
对A ：()x x f x e e -=+，定义域为R ，()()x x f x e e f x --=+=，
可得()y f x =为偶函数，故A 不是Ω函数；
对B ：()x x
f x e e -=-，定义域为R ， ()()()x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，即()y f x =为奇函数，
又()0x x f x e e -+=>'，可得()y f x =为R 上的增函数，故B 是Ω函数；
对C ：()sin x x x f -=，定义域为R ，
()()()()sin sin sin f x x x x x x x f x -=---=-+=--=-,
即()y f x =为奇函数，又()1cos 0f x x '=-≥，可得()y f x =为R 上的增函数， 故C 是Ω函数；
对D ：()0,01,0x f x x x
=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，定义域为R ， 当0x ≠时，()()11f x f x x x
-=-==--，可得()y f x =为奇函数，
又()y f x =在(),0-∞，()0,∞+上单调递增，但在R 上不为增函数，
比如()()11f f ->，故D 不是Ω函数．
故选：BC
【点睛】
本题考查函数的新定义，主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，考查推理能力，属于中等题.
12．ABC
【分析】
由函数零点与方程的根的关系，作出函数的图象，然后利用作差法比较大小，即可求解.
【详解】
解：由题意，实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，且()()()f a f b f c ==， 结合图象，可得2212
3log log log ()2a b c -==-，即132a c b ==-，且112a <<， 可得1ab =和32
c a -=
恒成立，即A 、B 恒成立； 又由22213()4142033()()22
a b ac a a a a a --=-=<++，所以240b ac
-<，所以C 恒成立； 又由323322(,)222a c b a a +-=+-∈-，当112a <<时，2a c b +-的符号不能确定， 所以D 不恒成立，
故选：ABC.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及对数函数图象的应用，
其中解答中正确作出函
数的图象，得到,,a b c 的关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题.
13．()(),0,e -∞⋃+∞
【分析】
画出()ln ,1
1,1x x f x x x ≥⎧=-<⎨⎩
的图像及y=1的图像，可得其交点为（0，1），（e ，1），由()1f m >可得m 的取值范围.
【详解】
解：如图所示：
可得()ln ,1
1,1x x f x x x ≥⎧=-<⎨⎩
的图像与y=1的交点分别为（0，1），（e ，1）， 所以()1f m >，则实数m 的取值范围是()(),0,e -∞⋃+∞，
可得答案：()(),0,e -∞⋃+∞.
【点睛】
本题主要考查函数及不等式的性质，数形结合是解题的关键.
14．50
【分析】 由二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由两角差的正弦公式求得结论． 【详解】
∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴02,6ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴3sin 65πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，
∴3424sin 22sin cos 23665525πππααα⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭， 2247cos 22cos 12136525ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ∴sin 2sin 21234πππαα⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2cos cos 2sin 3434ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
24725225250
=⨯-⨯=．
． 【点睛】
本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，同角间的三角函数关系，解题时需先确定已知角与未知角之间的关系，以确定先用什么公式及先后顺序．
15．4,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【分析】
可知0x =是方程()3230x a x x -+=的一根，由()3230x a x x -+=可得出
3213x x a x
+=，构造函数()323x x f x x +=，其中0x ≠，可知直线1y a =与函数()f x 的图象有3个交点，数形结合可得出关于a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围.
【详解】
由题意可知，0x =是方程()3230x a x x
-+=的一根， 当0x ≠时，由()3230x a x x -+=可得32
13x x a x
+=， 令()23223,033,0
x x x x x f x x x x x ⎧--<+==⎨+>⎩， 由题意可知，直线1y a
=与函数()f x 的图象有3个交点，如下图所示：
由图象可知，当1904
a <<时，即当49>a 时，直线1y a =与函数()f x 的图象有3个交点. 因此，实数a 的取值范围是4,9⎛⎫+∞
⎪⎝⎭. 故答案为：4,9⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
. 【点睛】 本题考查利用方程根的个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
16．3
π 5 【分析】 利用三角函数的基本关系式，化简得到2cos sin sin C C C =，进而得到1cos 2C =
，即可求得C 的值，再由余弦定理列出关系式，利用三角形的面积公式求得ab 的值，进而得到+a b 的值，即可求得三角形的周长.
【详解】
在ABC ∆中，因为()2cos cos cos C a B b A c +=
由正弦定理可得()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，
又由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，
整理得2cos sin sin C C C =，
因为(0,)C π∈，则sin 0C >，所以1cos 2C =，所以3
C π=，
又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222
()37a b ab a b ab +-=+-=，
又因为1sin 23ABC S ab π∆==6ab =， 所以2()187a b +-=，即5a b +=，
所以ABC ∆
的周长为5， 故答案为3
π
；5+. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
17．（1
）10-
．（2
）CD = 【解析】
试题分析：（Ⅰ）4cos ,5B =且(0,180)B ∈，
∴3sin 5
B ==．------2分 cos cos(180)cos(135)
C A B B =--=- --------------3分
243cos135cos
sin135sin 2525B B =+=-⋅+
10
=---------------6
分 （Ⅱ）由（
Ⅰ）可得sin C ==
=--------------8分 由正弦定理得sin sin BC AB A C =72
AB =，解得14AB =．------------10分 在BCD ∆中，7BD =， 222
47102710375CD =+-⨯⨯⨯
=， 所以CD =-------------------------12分
考点：本题考查了正余弦定理的运用
点评：正余弦定理是处理三角形边角关系的重要工具，应用时注意三角形中的性质及角的范围．
18．(1)20；(2)(2,4)
【分析】
（1）由任意角的三角函数的定义求出cos α和sin α，代入所求的式子进行运算；
（2）由题意得C （1，0），OB 直线的倾斜角为α+90°，求出点B 坐标，利用两点间的距离公式计算|BC|2 的值，根据α的范围求出sin α的范围，进而得到|BC|2的取值范围．
【详解】
（1）由题意得3cos 5α=，4sin 5α，∴222cos cos 2sin sin αααα
++＝222cos 3cos 1sin sin αααα+-＝16432255593125+⨯⨯⨯-＝4025225
＝20． （2）由题意得 C （1，0），OB 直线的倾斜角为α+90°，故点B 的坐标为（cos （α+90°），
sin （α+90°）
）， 点B （﹣sin α，cos α）．∴|BC|2 ＝（1+sin α）2+（0﹣cos α）2＝2+2sin α． ∵0＜α＜
2π，∴0＜sin α＜1，0＜2sin α＜2，2＜2+2sin α＜4， 即|BC|2的取值范围为（2，4）．
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、诱导公式、两点间的距离公式得应用，求点B 的坐标是解题的关键，属于中档题．
19．（1）证明见解析；（2
【分析】
（1）根据面面垂直的性质定理，先得到AC ⊥平面PAB ，推出AC PB ⊥；再由勾股定理，推出PB PA ⊥，根据线面垂直的判定定理，得到PB ⊥平面PAC ，进而可到线线垂直； （2）先由（1），根据面面垂直的判定定理，得到平面PBC ⊥平面PAC ；根据线面角的概念，得到PCE ∠即为直线CE 与平面PBC
所成的角，根据题中条件，得到PC =1PE =，3CE =，由余弦定理，求出cos PCE ∠，进而可得正弦值.
【详解】
（1）由已知可得在直角梯形ABCD 中，122
AD CD BC ===，所以
AC ==4BC =，AB ==， 所以222AB AC BC +=，所以AC AB ⊥；
又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，
所以AC ⊥平面PAB ，因为PB ⊂平面PAB ，所以AC PB ⊥；
又2PA PB ==，AB =222PA PB AB +=，所以PB PA ⊥；
因为PA AC A =，且PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，
所以PB ⊥平面PAC ，又CE ⊂平面PAC ，所以PB CE ⊥；
（2）由（1）得PB ⊥平面PAC ，因为PB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ； 所以直线CE 在平面PBC 中的射影为直线PC ，
故PCE ∠即为直线CE 与平面PBC 所成的角，
由PB ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，可得PB PC ⊥，
所以PC =，
又由AC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，可得AC PA ⊥，
所以3CE ==；
在PCE 中，PC =1PE =，3CE =，
所以222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅，
故sin 9
PCE ∠=；
即直线CE 与平面PBC 【点睛】
本题主要考查证明线线垂直，考查求线面角的正弦值，熟记线面、面面垂直的判定定理和性质，以及线面角的概念即可，属于常考题型.
20．（1）113,5⎛⎫--
⎪⎝⎭（2）,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 【分析】
（1）化简得到()2sin 216g x x π⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭，得到()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫
=++- ⎪⎝⎭
，根据偶函数得到6π=
ϕ，化简得到2
4
()31tan f αα
=-+，代入数据得到答案. （2）计算2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，根据单调性得到262
02π
πϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤
⎪⎩
，
计算得到答案. 【详解】
解：（1
）1()4sin sin 2(1cos 2)2sin 21226g x x x x x x x π⎛⎫⎛
⎫=-=--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴()2sin 2216f x x π
ϕ⎛
⎫=+
+- ⎪⎝
⎭
又()f x 为偶函数，则
2()6
2
k k π
π
ϕπ+=
+∈Z ，∵02
π
ϕ<≤
，∴6
π
=
ϕ ∴()()222222
2cos sin 21tan ()2sin 212cos 21112cos sin 1tan x x x f x x x x x x π--⎛⎫=+-=-=-=- ⎪++⎝
⎭ ∵tan 2α>，∴224411
()331tan 125
f αα=
-<-=-++
又2
4()331tan f αα=
->-+，∴()f α的取值范围为113,5⎛
⎫-- ⎪⎝⎭. （2）∵7,
6
x ππ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭
∵02πϕ<≤，∴72,666π
ππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤
+∈ ⎥⎝⎦
∵()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪
⎝⎭上是单调函数，∴262
02π
πϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤
⎪⎩
∴,62ππϕ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换，单调性，取值范围，意在考查学生的计算能力和对于三角函数公式性质的灵活运用.
21．（1）方案二的检验次数更少；（2）①()1
*
112,k
p k k N k ⎛⎫=-≥∈ ⎪
⎝⎭
；②3k =，最大值
为：13
113⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
【分析】
（1）分别计算两种方案的分布列得到数学期望，比较大小得到答案.
（2）根据()()12E E ξξ=得到1
11k
p k ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭，设()111k
f k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，构造函数
()()ln 3x g x x x =-≥，根据函数的单调性得到()1
11k f k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的最值. 【详解】
（1）设方案一中每组的检验次数为X ，则X 的取值为1，6 则()()5
10.9920.961P X ===；()()5
610.9920.039P X ==-= 则X 的分布列为：
则()10.96160.039 1.195E X =⨯+⨯=，
故方案一的检验总次数的期望为()1010 1.19511.95E X =⨯=； 设方案二中每组的检验次数为Y ，则Y 的取值为1，11
则()()10
10.9920.923P X ===；()()10
1110.9920.077P X ==-=. 则Y 的分布列为：
则()10.923110.077 1.77E Y =⨯+⨯=，
故方案二的检验总次数的期望为()55 1.778.85E Y =⨯=， 因为11.958.85>，则方案二的检验次数更少. （2）由已知得1k ξ=，21ξ=或1k +，
则()()211k P p ξ==-，()()2111k
P k p ξ=+=--，
则()()()()2111111k k k
E p k p k k p ξ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦
， 因为12E E ξξ=，则()11k
k k k p =+--即()1
*
112,k
p k k N k ⎛⎫=-≥∈ ⎪
⎝⎭
，
令()()1
*
112,k
f k k k N k ⎛⎫=-≥∈ ⎪
⎝⎭
，()12
1212f ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
，()13
1313f ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
，
则()()113
2
1123032f f ⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3k ≥时()()1
11
1111k k f k f k k k +⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭
，
令()()ln 3x g x x x
=-
≥，()2ln 1
-'=x g x x ，
当3x ≥时，()0g x '>则()g x 在[
)3,+∞单调递增， 则当3k ≥时，()11ln ln 11k k k k -<-++即11
1111k k k k +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
， 则当3k ≥时，()()10f k f k +-<，
则()()()()2345f f f f <>>……即当3k =时，()f k 最大值， 最大值为()13
1313f ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
.
【点睛】
本题考查了概率的计算，分布列，函数关系式，根据导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22．（1）答案不唯一，具体见解析（2）详见解析 【分析】
（1）求导得到222()ax x a f x x '-+=，设22
()2(0)p x ax x a x =-+>，讨论a 的范围得到
()p x 的正负，得到函数单调区间.
（2）由（1）知，当1
02a <<
时，()f x 存在两个极值点，得到121x x a
+=，将要证明的式子化为()2
1121222112ln
2x x x a x x x x x -+>-，设12(01)x
t t x =<<，证明()121()02
g t x x >>-得到答案. 【详解】
（1）解：222
22()1a ax x a f x ax x x
-+'=-+=
，(0,)x ∈+∞. 设2
2
()2(0)p x ax x a x =-+>，318a ∆=- 当1
2
a ≥
时，0∆≤，()0p x ≥，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增 当102a <<时，>0∆，()p x
的零点为1x =
，2x =
所以()f x
在⎛ ⎝⎭
，⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递增 ()f x
在⎝
⎭
上单调递减 当0a <时，>0∆，()p x
，
()f x
在10,
2a ⎛- ⎪⎝⎭
上单调递增，在12a ⎛⎫
-+∞
⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减. （2）证明；由（1）知，当1
02
a <<时，()f x 存在两个极值点 不妨假设120x x <<，则121x x a
+=
要证()()12121211f x f x x x x x -<+-，只需证()()
()()121212
121221
x x x x x x f x f x x x x x -+->=-
只需证()()()22
11121212122221
1122ln 2ln 22x x x x x x a x x a x x a x x x x -+-+=--+>-⎡⎤⎣⎦ 即证()2
112122211
2ln
2
x x x a x x x x x -+>-， 设12(01)x t t x =<<，设函数2
1()2ln g t a t t t =-+，22221()t a t g t t
-+'=-， 因为4440a '∆=-<，所以22210t a t -+>，()0g t '<， 所以()g t 在(0,1)上单调递减，则()(1)0g t g >=
又()12102x x -<，则()121()02
g t x x >>-，则
()2
1121222112ln 2x x x a x x x x x -+>- 从而
()()121212
11
f x f x x x x x -<+-
【点睛】
本题考查了利用导数讨论函数的单调性，不等式的证明，其中通过换元可以简化运算，是解题的关键，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。