最新平行线经典四大模型典型例题及练习

平行线经典四大模型典型例题及练习
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平行线四大模型
平行线的判定与性质
ｌ、平行线的判定
根据平行线的定义,如果平面内的两条直线不相交,就可以判断这两条直线平行,但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难,所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行,这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．
判定方法l:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行．
简称：同位角相等,两直线平行．
判定方法２：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简称:内错角相等，两直线平行，
判定方法3:
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简称:同旁内角互补，两直线平行，
如上图：
若已知∠1=∠2,则AB∥CＤ（同位角相等，两直线平行）；
若已知∠１＝∠3，则ＡB∥ＣＤ(内错角相等,两直线平行）；
若已知∠1＋∠４= 18０°,则ＡＢ∥CD(同旁内角互补,两直线平行）.
另有平行公理推论也能证明两直线平行:
平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
2、平行线的性质
利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反
过来,如果已知两条直线平行,当它们被第三条直线所截,得到的同位角、内错角、同
旁内角也有相应的数量关系,这就是平行线的性质.
性质1:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.
简称:两直线平行,同位角相等
性质2:
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.
简称：两直线平行,内错角相等
性质３:
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简称：两直线平行，同旁内角互补
本讲进阶平行线四大模型
点Ｐ在EF 右侧，在AB、CD
内部
“铅笔”模型结论1:若AB∥CD,则∠Ｐ+∠AEＰ+∠PＦC=3 ６０°;
结论２:若∠P+∠AEP＋∠PＦC= 360°,则AＢ∥ＣＤ.
模型二“猪蹄”模型(M模型)
点P在EF左侧，在AB、CD
内部
“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFＰ;
结论２：若∠P＝∠ＡＥP＋∠ＣＦP,则AＢ∥CD.
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧,在AB、ＣＤ
外部
“臭脚”模型结论1：若AB∥CＤ,则∠P=∠AEP—∠CFP或∠P＝∠CFP-∠AEP;结论2:若∠P=∠AＥＰ-∠CＦP或∠P=∠CFＰ-∠AEP,则AB∥CD。

模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AＢ、CD 外部
“骨折"模型
结论１：若AB∥CD，则∠Ｐ=∠ＣFP—∠AEＰ或∠P=∠AEＰ—∠CFP;
结论
2:若∠Ｐ=∠ＣFＰ-∠ＡEP或∠P＝∠AEP-∠CFＰ,则AB∥CD。

巩固练习平行线四大模型证明
（1）已知ＡＥ/／ＣF，求证∠P＋∠ＡEP +∠ＰFC = 3６０°
.
（2）已知∠P＝∠ＡＥP+∠CFP,求证ＡＥ∥CＦ.
（３）已知AE∥CＦ，求证∠P=∠AEP—∠CＦＰ．
（4）已知∠P= ∠CFＰ—∠AEＰ ,求证AE //CF．
模块一平行线四大模型应用
例1
（1）如图，a∥b，M、N分别在ａ、b上,Ｐ为两平行线间一点，那么∠l+∠2+
∠3= .
(2)如图,AB∥CD,且∠A＝25°，∠C＝45°,则∠E的度数是 .
(3)如图,已知AB∥DE,∠ABC＝80°,∠CＤＥ＝140°,则∠BCD= .
(4）如图,射线AC∥ＢD,∠A= 70°,∠B= 40°,则∠P= .
练
(1)如图所示,AＢ∥ＣD，∠E＝3７°,∠C= 20°，则∠EAB的度数
为.
(2) (七一中学2015-2016七下3月月考）
如图，AB ∥ＣD ,∠B =30°,∠O =∠C .则∠C = 。

例2
如图,已知ＡＢ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠A ＢＣ、∠CDE ,求∠C 、 ∠F 的关系。

练
如图，已知AB ∥ＤE ,∠ＦBC =n
1∠AB Ｆ,∠FDC =n
1∠F ＤE .
(1)若n =2，直接写出∠C 、∠F 的关系 ; (2)若n ＝3，试探宄∠C 、∠F 的关系;
(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 (用含n 的等式表示)。

例3
如图，已知AＢ∥CD，ＢＥ平分∠ＡBC,ＤE平分∠ADＣ.求证：∠E= 2 （∠A+∠C) 。

练
如图,己知ＡB∥DE,ＢＦ、DＦ分别平分∠AＢC、∠CDE,求∠C、∠Ｆ的关系。

例4
如图,∠3＝＝∠1＋∠2，求证:∠A＋∠B+∠Ｃ+∠D= 18０°．
练
(武昌七校20１5—2016 七下期中)如图,AB⊥ＢC,AE平分∠BAＤ交BC于E，ＡE⊥DE,∠ｌ+∠2= 90°,M、Ｎ分别是BA、CＤ的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（ )．
A。

12０°B。

135°C． 145°
D。

15０°
模块二平行线四大模型构造
例5
如图,直线AB∥CD，∠EFA＝ 30°,∠FＧH＝9０°，∠HMN＝30°,∠CNP= 50°,则
∠ＧHM＝。

练
如图，直线AB∥CＤ,∠EFG =100°，∠ＦGＨ =140°，则∠AEF＋∠
CHG= .
例6
已知∠B =25°,∠ＢCD=４５°,∠ＣＤＥ =30°,∠E＝ｌ0°,求
证:AB∥EF．
练
已知AB∥EＦ，求∠ｌ—∠2+∠3+∠４的度数。

(１)如图(l)，已知MＡ1∥ＮAｎ，探索∠A1、∠A2、…、∠Aｎ，∠B1、∠B2…∠B
之间的
ｎ-１
关系．
(2）如图(2），己知MＡ1∥ＮＡ4,探索∠A１、∠A2、∠A3、∠A4，∠B１、∠Ｂ2之间的关系．
（3)如图(3),已知MＡ1∥NA n,探索∠A1、∠A2、…、∠Ａn之间的关系.
如图所示，两直线ＡB ∥CD 平行,求∠1+∠２+∠3+∠4+∠5＋∠６.
挑战压轴题
(粮道街２０15—２０１６ 七下期中）
如图1,直线ＡB ∥CD ,P 是截线ＭN 上的一点，M Ｎ与CD 、AB 分别交于E 、F . （1） 若∠EFB =55°，∠E ＤP ＝ 30°,求∠MPD 的度数；
（2) 当点Ｐ在线段EF 上运动时,∠C ＰD 与∠ABP 的平分线交于Q ，问：DPB
Q ∠∠是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是，说明其范围;
(３） 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠ＣＤP 与∠ＡＢP 的平分线交于Q ,问
DPB
Q
∠∠的值足否定值,请在图２中将图形补充完整并说明理由．
第一讲 平行线四大模型（课后作业)
1。

如图，AB // CD ／/ ＥF , ＥH ⊥ＣD 于Ｈ ,则∠BA Ｃ+∠A ＣＥ +∠
ＣEH 等于（ ）。

A . １８0°
B ． ２70° Ｃ。

360° D . 450°
２.(武昌七校２015—２01６七下期中）
若ＡB ∥CD ,∠C ＤF =3
2∠CDE ，∠ABF =3
2∠AB Ｅ,则∠E :∠F =( ).
Ａ.2：1 B ．3:1 C .4:３ D .３：2
3。

如图3，己知AE ∥BD ，∠1=１3０°,∠2=３０°，则∠C = .
4。

如图，已知直线ＡＢ∥CD，∠C =1１５°，∠A= 2５°,则∠Ｅ
= .
5．如阁所示,AB∥CD，∠l＝ｌl0°,∠2=１20°，则∠α= .
6．如图所示，AB∥DF,∠D =1１６°，∠ＤＣＢ=93°,则∠B= 。

7．如图,将三角尺的直角顶点放在直线a上，ａ∥b。

∠１＝50°，∠2 ＝60°，则∠3的度数为 .
8．如图，AB∥CD，EＰ⊥FＰ，已知∠1=30°,∠2=2０°.则∠F的度数
为 .
9.如图，若AB∥ＣD, ∠ＢEF＝7０°,求∠B+∠Ｆ+∠C的度数.
1０．已知，直线AB∥CD.
(1）如图l,∠Ａ、∠C、∠AEC之间有什么关系?请说明理由;
（2)如图2,∠AEF、∠EFＣ、∠FＣD之间有什么关系?请说明理由;
（3)如图３，∠A、∠E、∠F、∠G、∠Ｈ、∠O、∠C之间的关
是 .。