河北省景县中学2015-2016学年高一数学下学期升级考试试题理

2015-2016年景中高一升级（理科）数学
第I 卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =I A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23
B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23
C.()2,1
D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,23 2．0000150sin 15sin 30cos 75sin -的值等于
A ．1
B ．
21 C ．22 D ．2
3
3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 8=13，且S 7=35．则a 7=
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
4．已知m ，n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．m∥n，m n αα⊥⇒⊥B ．α∥β，,m n αβ⊂⊂⇒ m∥n
C ．,m n αβ⊂⊂,m∥n ⇒α∥β
D ．,m n αα⊂⊂，m∥β，n∥β⇒α∥β
5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是
A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1
B ．(x －2)2＋(y －3)2
＝1
C ．(x －3)2＋(y －2)2＝1
D ．(x －3)2＋(y －1)2
＝1
6．某四面体的三视图如图1所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为
（图1）
A.22
B.32
C.4
D.62
7．已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＝10，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝ A ．－1 B ．2C.0或－2 D.－1或2
8．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,若3
,6)(22π
=
+-=C b a c ,则ABC ∆的面积是
A ．3 B.
239 C. 2
3
3D ．3 9．设0,0,(1,2),(,1),(,0)a b A B a C b >>---，若,,A B C 三点共线，则
21
a b
+的最小值是 A.223+ B.24 C ．6 D ．9
10．已知）（2,1M ，）（3,4N ，直线l 过点)12(-，P 且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是 A ．(][)∞+⋃-∞-，
23, B ．11,32⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C ．[]23，
- D ．11,,32
⎛⎤
⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣⎭
11．定义
12n
n
p p p +++L 为n 个正数12,,,n p p p L 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n ，
又5
n n a b =
，则
12231011111
b b b b b b +++=L A ．
817 B ．919 C ．1021 D ．11
23
12．已知函数()2()f x x x x R =-∈，若存在正实数k ，使得方程()f x k =在区间0+∞（，）上有三个互不相等的实数根123x x x ，，，则321x x x ++的取值范围是 A ．(1,12)+B ．(2,12)+C ．(3,32)D ．(4,32) 第II 卷（非选择题）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．数列{}n a 中，()111
1,1,2,31n n
a a n a +==-
=+L ，则2016a =. 14．已知,x y 满足约束条件,1,1,y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
则2z x y =+的最小值为.
15．矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为.
16．若圆C:03422
2=+-++y x y x ，关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点（a ，b ）向圆所作的切线长的最小值为.
三、解答题（本大题共6小题， 共70分） 17.（本小题满分10分）
已知向量()cos ,sin a θθ=r
，[]0,θπ∈，向量(
)
3,1b =
-r ．
（1）若a b ⊥r r
，求θ的值；
（2）若
|2|a b m -<r r 恒成立，求实数m 的取值范围．
18.（本小题满分12分）
ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足()()B a c A b -+=πcos 2cos ．
（1）求角B 的大小； （2）若21=
b ，ABC ∆的面积为3，求
c a +的值．
19.(本小题满分12分)
已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(,)n n S 满足1
()2x f x q +=-，且314S =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令2log n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20．(本小题满分12分)
如图2，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面,,,,ABCD PA AD E F H ⊥分别为,,AB PC BC 的中点.
（图2）
（1）求证：//EF 平面PAD ；
（2）求证：平面PAH ⊥平面DEF .
21.(本小题满分12分) 已知圆22:(3)(4)4C x y ++-=.
（1）若直线1l 过点(1,0)A -，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；
（2）若圆D 的半径为4，圆心D 在直线2l ：220x y +-=上，且与圆C 内切，求圆D 的方程．
22.(本小题满分12分)
已知函数1()f x x x
=-
. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明函数()f x 在区间[1,+∞）上为增函数； （3）若函数()f x 在区间[2,]a 上的最大值与最小值之和不小于112
2a a
-，求a 的取值范围.
2015-2016年景中高一升级（理科）数学参考答案 一.选择题
1-5BCDAA 6-10BDCDA 11-12CD 二.填空题 13．2-14．3-15．1256
π
16．4 三.解答题
17.解：（1）∵a b ⊥r r
，∴3cos sin 0θθ-=，得tan 3θ=，
又[]0,θπ∈，∴3
π
θ=
.…………………………………………………………（5分）
（2）∵()
22cos 3,2sin 1a b θθ-=-+r r
，
∴222
13|2|(2cos 3)(2sin 1)88(sin cos )22
a b θθθθ-=-++=+-
r r 88sin()3
π
θ=+-，
又∵[]0,θπ∈，∴2,333π
ππθ⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦，∴3sin(),132πθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
， ∴2
|2|a b -r r 的最大值为16，
∴|2|a b -r r 的最大值为4，又|2|a b m -<r r
恒成立，
∴4m >．……………………………………………………………………………（10分） 18.解：（1）)cos (sin )cos (sin 2cos sin B A B C A B -+-=
B C B A A B cos sin 2cos sin cos sin -=+∴，B C B A cos sin 2)sin(-=+ B C C cos sin 2sin -=∴ ，0
sin ≠C
21
cos -
=∴B ，
π<<B 0 32π
=
∴B .
……………………………………………………………………………（6分） （2）32
3
21sin 21=⨯
==ac B ac S 4=∴ac 又
212)(cos 22222=+-+=-+=ac ac c a B ac c a b ， 25)(2=+∴c a ，5=+∴c a .…………………………………………………（12分）
19.解：
（1）由题意知：1
2n n S q +=-， 由314S =得，142-24=，∴2q =，22
1
n -=+n S
1n =时，21=a ；
2n ≥时，12n n n n a S S -=-=.n=1时上式也成立，
∴*
2()n n a n N =∈.…………………………………………………………………………（4分） （2）由（1）知：2n
n a =，∴22log 2log 22n n n n n n b a a n ===⨯， ∴231222322n
n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ，①
∴2341
21222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯L ，②
①-②得：231
1112(12)22222
222212
n n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=--⋅-L ，
∴1
(1)22n n T n +=-⋅+.……………………………………………………………………（12分）
20.解：（1）
取PD 中点M ，连接,FM AM .
∵在PCD ∆中，,F M 为中点，∴//FM CD 且1
2
FM CD =， ∵正方形ABCD 中，//AE CD 且1
2
AE CD =
， ∴//AE FM 且AE FM =，则四边形AEFM 为平行四边形， ∴//AM EF ，
∵ EF ⊄平面,PAD AM ⊂平面PAD ，∴//EF 平面PAD .…………………………（6分） （2）∵侧面PAD ⊥底面,ABCD PA AD ⊥，侧面PAD ⋂底面ABCD AD =， ∴PA ⊥底面ABCD ，
∵DE ⊂底面ABCD ，∴DE PA ⊥，
∵,E H 分别为正方形ABCD 边,AB BC 中点，∴Rt ABH Rt ADE ∆≅∆， 则BAH ADE ∠=∠，∴090BAH AED ∠+∠=，则DE AH ⊥， ∵PA ⊂平面,PAH AH ⊂平面,PAH PA AH A ⋂=∴DE ⊥平面PAH ，
∵DE ⊂平面EFD ∴平面PAH ⊥平面DEF .…………………………………………（12分） 21.解：（1）①若直线1l 的斜率不存在，直线1l ：1x =-，符合题意． ②若直线1l 的斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．
2=
解得3
4
k =-，∴直线1l ：3430x y ++=.
∴直线1l 的方程是1x =-或3430x y ++=．………………………………………………（6分）（2）依题意，设(,22)D a a -，
由题意得，圆C 的圆心(3,4),C -圆C 的半径2r =，2CD =.
2=， 解得 9
15a a =-=-或，
∴ (1,4)D -或928
(,)55
D -.
∴圆D 的方程为 22(1)(4)16x y ++-= 或22928
()()1655x y ++-=．…………………（12分）
22.解：（1）函数1
()f x x x
=-是奇函数， ∵函数1
()f x x x =-
的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，在x 轴上关于原点对称， 且11
()()()f x x x f x x x -=--=--=--，
∴函数1
()f x x x
=-是奇函数.…………………………………………………………（4分）
（2）证明：设任意实数12,x x ∈[1,+∞），且12x x <，
则121212121212
()(1)11
()()()()x x x x f x f x x x x x x x -+-=-
--=， ∵121x x ≤< ∴1212120,0,10x x x x x x -<>+>， ∴
121212
()(1)
x x x x x x -+<0 ， ∴12()()f x f x -<0,即12()()f x f x <.
∴函数()f x 在区间[1,+∞）上为增函数.…………………………………………………（8分） （3）∵[2,][1,)a ⊆+∞，
∴函数()f x 在区间[2,]a 上也为增函数.
∴max min 13
()(),()(2)2
f x f a a f x f a ==-==， 若函数()f x 在区间[2,]a 上的最大值与最小值之和不小于112
2a a
-，
则1311122a a a -+≥-，
∴4a ≥，
∴a 的取值范围是[4,+∞).…………………………………………………………………(12分）。