江苏省海安高级中学2017-2018学年高二6月月考数学(文)试题(精品Word版,含答案解析)

2017—2018第二学期学情阶段检测
高二数学试卷（文）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1. 已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1＞0}，则A∩B＝_____．
【答案】{2}
【解析】分析：先求出B集合，然后根据交集定义即可得出结论.
详解：由题可得：
，
故A∩B＝{2}
所以答案为：{2}
点睛：考查交集的定义，属于基础题.
2. 已知复数z满足：z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为_____．
【答案】
【解析】分析：先求出，在结合模长公式即可.
详解：由题得：
故答案为：
点睛：考查复数的除法运算，复数的模长，属于基础题.
3. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1， 10.2，10.1，则这组数据的方差为_____．【答案】0.032
【解析】先求得数据的平均数，根据方差公式可得，组数据的方差，故答案为.
4. 从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是_____．
【解析】考虑对立事件，减去颜色相同的即颜色不同的事件的概率，即：
，两球颜色不同的概率是.
点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．
二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
5. 如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为_____．
【答案】5
【解析】分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=21，k=5时，不满足条件S ＜20，退出循环，输出k的值为5
详解：模拟执行程序框图，可得
k=1，S=0
满足条件S＜20，S=21=2，k=2
满足条件S＜20，S=21+22=5，k=3
满足条件S＜20，S=5+23=13，k=4
满足条件S＜20，S=13+24=21，k=5
不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．
故答案为：5．
点睛：本题主要考查了循环结构的程序考查，依次写出每次循环得到的S，k的值即可得解，属于基础题．6. 已知α为三角形内角，sinα+cosα=，则cos2α=_____．
【解析】分析：已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，再利用完全平方公式求出sinα-cosα的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，把各自的值代入计算即可求出值．详解：把sinα+cosα=两边平方，
∵α为第二象限角，
故答案为
点睛：此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
7. 已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为2x－y＝0，则该双曲线的离心率为_____．【答案】
【解析】分析：由题意确定a,b的关系，然后利用离心率的计算公式整理计算即可求得最终结果.
详解：由双曲线的渐近线方程结合题意可得：，
则双曲线的离心率为：.
点睛：本题主要考查双曲线的渐近线方程，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8. 对于直线l，m，平面α，且m α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的_____条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．
【答案】必要不充分
【解析】分析：根据线面垂直的性质和定义即可得到结论．
点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的定义，利用线面垂直的定义是解决本题的关键．
9. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则
的最大值是_____．
【答案】8
【解析】试题分析：将圆的方程化为标准方程：，圆心坐标，半径，易得，如图，，设，
又∵
，当且仅当时，等号成立，
即的最大值为.
考点：1.平面向量数量积；2.三角恒等变形.
10. 若关于x的方程4x +a·2x +a+1=0有实根，则实数a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】分析：先令t=2x，则关于t方程为t2+at+a+1=0 有实根，结合二次方程根的分布即可解出实数a的取值范围．
详解：令2x=t＞0，原方程即为t2+at+a+1=0
则原方程有实根等价于关于t的方程t2+at+a+1=0有正根．
于是有f（0）＜0，即a+1＜0，解得a＜-1，或
又当a=-1时，t=1有正根符合题意，
故综合得：；
所以答案为：
点睛：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，以及利用二次方程根的分布求变量范围，属于中档题．11. 已知等比数列{a n}的公比q＞1，其前n项和为S n．若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为_____．
【答案】2＋3
【解析】分析：利用等比数列的前n项和公式可得：a1（1+q）（q2-1）=1，则，再利用基本不等式的性质即可得出．
详解：：∵S4=2S2+1，
∴S6的最小值为2＋3
故答案为：2＋3
点睛：本题考查了等比数列的前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12. 已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围为_____．
【答案】
【解析】分析：由题设条件，本题要结合三角形的性质两边之和大于第三边及题设中的不等式b+c≤2a，
c+a≤2b，利用简单线性规划寻求得到的取值范围．
详解：设x＝，y＝，根据三角形的性质两边之和大于第三边及题设中的不等式，得
作出平面区域：
故答案为
点睛：本题考查不等式的综合，熟练掌握不等式的性质，能灵活运用简单线性规划进行求解，求出要求的范围是解答本题的关键，本题中有一个容易漏掉的隐含条件，三角形中两边之和大于第三边，对题设中隐含条件的挖掘对解题的完整性很重要，谨记
13. 若，且，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】分析：不等式化为7sin3θ+sin5θ＞cos5θ+7cos3θ，考察函数f（x）=7x3+x5是R上的单调性即可得出．
详解：由题可得：不等式化为7sin3θ+sin5θ＞cos5θ+7cos3θ，
考察函数f（x）=7x3+x5是R上的增函数，所以sinθ＞cosθ，．
∵θ∈[0，2π），∴θ的取值范围是
故答案为：
点睛：本题考查了利用函数的单调性解决问题、三角函数的单调性等基础知识，考查了转化法和推理能力，属于难题．
14. 在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．
【答案】
【解析】分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB 为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．
详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则
∵∠APB的大小恒为定值，
∴t＝，∴|OP|=．
故答案为
点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝b cos A．
（1）求的值；
（2）若sin A＝，求sin(C－)的值．
【答案】（1）1（2）
【解析】分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到结果，（2）由（1）可得：C=π-2A，利用sinA=，A为锐角，可得：cosA，sin2A，cos2A的值，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式即可求值．
（1）由a cos B＝b cos A，得sin A cos B＝sin B cos A，
即sin(A－B)＝0．
因为A，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0，
所以a＝b，即＝1．
（2）因为sin A＝，且A为锐角，所以cos A＝．
所以sin C＝sin(π－2A)＝sin2A＝2sin A cos A＝，
cos C＝cos(π－2A)＝－cos2A＝－1＋2sin2A＝－．
所以sin(C－)＝sin C cos－cos C sin＝．
点睛：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱P A的中点．
（1）求证：PC // 平面BDE；
（2）若PC⊥P A，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面P AB．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）连结,交于,连结，为的中点，利用三角形中位线的性质，可知，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；
（2）先证明，再证明.，可得平面.，从而可得平面平面．
试题解析：
证明: （1）连结,交于,连结.
因为是平行四边形,
所以.
因为为侧棱的中点
所以∥.
因为平面,平面
所以∥平面.
（2）因为为中点,
所以
因为,∥
所以.
因为平面,平面,
所以平面.
因为平面
所以平面平面.
17. 给定椭圆C：(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)．
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点P(0，m) (m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．
【答案】（1）a＝2，b＝1（2）m＝3
【解析】试题分析：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得，由此能求出a，b；（2）由（1）知，椭圆C的方程为，圆的方程为．设直线l的方程为，由，得
，由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m 试题解析：（1）记椭圆C的半焦距为c．
由题意，得b＝1，，c2＝a2＋b2，
解得a＝2，b＝1．
（2）由（1）知，椭圆C的方程为＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．
显然直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝kx＋m，
即kx－y＋m＝0．
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
故方程组（*）
有且只有一组解．
由（*）得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0．
从而△＝（8km）2－4（1＋4k2）（4m2－4）＝0．
化简，得m2＝1＋4k2．①
因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d＝．
即．②
由①②，解得k2＝2，m2＝9．
因为m＞0，所以m＝3．
考点：1．椭圆方程及性质；2．直线与圆锥曲线的综合问题
18. 如图，公路AM，AN围成一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．
【答案】当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．
【解析】试题分析：先确定点P的位置，再利用BC的斜率表示工业园区的面积，利用导数求其最值.以A 为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．由P到直线AN的距离为，得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得x B＝1－．由解得y C＝．设△ABC的面积为S，则S＝x B×y C＝
．由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．所以当k＝－时，即AB＝5时，S
取极小值，也为最小值15．
试题解析：解：
如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．
因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．
设点P(x0，y0)．
因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．
由P到直线AN的距离为，
得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，
所以点P(1，3)．4分
显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．
令y＝0得x B＝1－．6分
由解得y C＝．8分
设△ABC的面积为S，则S＝×x B×y C＝10分
由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．
当－2＜k＜－时，S¢＜0，S单调递减；当－＜k＜0时，S¢＞0，S单调递增．13分
所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．
答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．16分
考点：利用导数求函数最值
19. 已知函数f(x)＝e x，g(x)＝x－b，b∈R．
（1）若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；
（2）设T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求函数T(x)的单调增区间；
（3）设h(x)＝|g(x)|·f(x)，b＜1．若存在x1，x2[0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围．【答案】（1）b＝－1（2）见解析（3）(－∞，)
【解析】分析：（1）设切点为（t，e t），由导数的几何意义，可得e t=1，且e t=t-b，即可得到b=-1；
（2）求出T（x）的导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间；
（3）求出h（x）的分段函数，讨论x的范围，求得单调区间，对b讨论，求得h（x）的最值，由存在性思想，即可得到b的范围．
详解：
(1)设切点为(t，e t)，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，
所以e t＝1，且e t＝t－b，
解得b＝－1．
（2)T(x)＝e x＋a(x－b)，T′(x)＝e x＋a．
当a≥0时，T′(x)＞0恒成立．
当a＜0时，由T′(x)＞0，得x＞ln(－a)．
所以，当a≥0时，函数T(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a＜0时，函数T(x)的单调增区间为(ln(－a)，＋∞)．
（3)h(x)＝|g(x)|·f(x)＝
当x>b时，h′(x)＝(x－b＋1)e x＞0，所以h(x)在(b，＋∞)上为增函数；
当x<b时，h′(x)＝－(x－b＋1)e x，
因为b－1＜x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1)e x＜0，所以h(x)在(b－1，b)上是减函数；
因为x＜b－1时， h′(x)＝－(x－b＋1)e x＞0，所以h(x)在(－∞，b－1)上是增函数．
当b≤0时，h(x)在(0，1)上为增函数．
所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(0)＝－b．
由h(x)max－h(x)min＞1，得b＜1，所以b≤0．
②当0＜b＜时，
因为b＜x＜1时， h′(x)＝(x－b＋1)e x＞0，所以h(x)在(b，1)上是增函数，
因为0＜x＜b时， h′(x)＝－(x－b＋1)e x＜0，所以h(x)在(0，b)上是减函数．
所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(b)＝0．
由h(x) max－h(x) min＞1，得b＜．
因为0＜b＜，所以0＜b＜．
③当≤b＜1时，
同理可得，h(x)在(0，b)上是减函数，在(b，1)上是增函数．
所以h(x)max＝h(0)＝b，h(x)min＝h(b)＝0．
因为b＜1，所以h(x)max－h(x)min＞1不成立．
综上，b的取值范围为(－∞，)．
点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
20. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5－a3＝13，S4＝16．
（1）求数列{a n}的前n项和S n；
（2）设T n＝(－1)i a i，若对一切正整数n，不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1恒成立，求实数λ的取值
范围；
（3）是否存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．
【答案】（1）a n＝2n－1，S n ＝n2（2）－4＜λ＜2（3）不存在
【解析】分析：（1）根据等差通项列式先求出首先和公差即可；（2）因为有(－1)n＋1a n，所以要分奇偶：①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k．
代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·2k＜4k，从而λ＜．分析其最小值即可；②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，则T2k－1＝T2k－(－1)2k a2k＝2k－(4k－1)＝1－2k．
详解：
(1)设数列{a n}的公差为d．
因为2a5－a3＝13，S4＝16，
所以解得a1＝1，d＝2，
所以a n＝2n－1，S n ＝n2．
(2)①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，
则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k．
代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·2k＜4k，从而λ＜．
设f(k)＝，则f(k＋1)－f(k)＝－＝．
因为k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，
所以λ＜2．
②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，
则T2k－1＝T2k－(－1)2k a2k＝2k－(4k－1)＝1－2k．
代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，
从而λ＞－4k．
因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ＞－4．
综上，λ的取值范围为－4＜λ＜2．
(3)假设存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列，
则(S m－S2)2＝S2·(S n－S m)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，
所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，
即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12．
因为n＞m＞2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15．
因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，
故不存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列．
点睛：考查等差数列的通项和基本性质，尤其将数列和函数的分析思维进行结合是本题的亮点，值得好好分析，而对于函数的最值的基本分析是基本要求，能分离参数求最值即为本题关键，对于第三问则通常采用反证法找矛盾即可，属于中档题.。