中国农业大学2020 ~2021学年秋季学期概率论与数理统计(C)课程考试试题(A)

中国农业大学
2020 ~2021学年秋季学期
概率论与数理统计（C ）课程考试试题（A ）
一、 填空题 （每空3分，满分21分）
1．已知()0.3P B =，()0.6P A B =，则()P AB =______0.3_______。

2．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人3次射击恰好是命中2次目标的概率为23(1)p p -。

3.设总体X 服从参数为2θ=的指数分布，12,,...n X X X 为总体的一个样本，则当
n →∞时，2
1
1n i i Y X n ==∑依概率收敛于__8___。

4．若X 服从参数为λ的泊松分布，且[(1)(2)]1E X X --=，则λ=_____1_____。

5. 在每次实验中，事件A 发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计：在1000次独立实验中事件A 发生的次数在400次到600次之间的概率至少为39/40 。

6.已知总体~(0,1)X N ，2S 为样本方差，设样本容量为9，则2()D S =1/4 。

7. 在区间(0, 1)中随机取两个数，则两数之差的绝对值小于0.5的概率为 3/4 。

二、选择题 （每题3分，满分15分）
1.设有随机事件,,A B C 两两独立，则事件,,A B C 相互独立的充要条件是（A ）
（A ）A 与BC 独立 （B ）AB 与A C 独立
（C ）AB 与AC 独立
（D ）A
B 与A
C 独立
2．设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，当2σ增大时，则{}||P X μσ-<的值必将（C ）
(A)减小 (B) 增大 (C)不变 (D) 增减不定
考生诚信承诺
1． 本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。

2． 本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。

专业：班级：学号：姓名：
3．设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则表达式()()()
D X Y D X D Y +=+是X 和Y （ B 或C ）B 和C 都是正确的,选择一个即可 （A ）不相关的充分条件，但不是必要条件 （B ）独立的必要条件，但不是充分条件 （C ）不相关的充分必要条件 （D ）独立的充分必要条件
4．设12,,...,n X X X 是来自正态总体2(0,)N σ的一个样本，X 与2S 分别是样本均值与样本方差，则下列正确的是（ D ）
（A ）
2
2
~(1)X
χσ
； （B ）
2
22
~(1)S n χσ
-
（C ）~(1)X t n S
-； （D ）2
2
~(1,1)S F n nX - 5．设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，其中2σ已知，若在置信度不变的情况下增大样本容量n ，总体均值μ的置信区间的长度会（C ）
（A ）随之增大；（B ）增减不变（C ）随之减小（D ）增减不定
三．（10分）已知有三个箱子，第一个箱子中有2个红球3个白球，第二个箱子
中有1个红球4个白球，第三个箱子中有3个红球。

现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则拿到的是红球的概率为多少？若现在摸出的是白球，则此球来自第一个箱子的概率为多少？
解：设i A 表示选中了第i 个箱子，
B 表示拿到红球， B 表示拿到白球
（1）123()()P B P A B A B A B =++
112222()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A =++
1218
135515
⎛⎫=⋅++= ⎪⎝⎭………..……………..5分
(2)7
()15
P B =
，于是 1111()()()1373
()()()35157
P A P B A P A B P A B P B P B =
==⋅÷=……………………………5分
四.（10分）设随机变量X 服从正态分布2(,2)N μ，已知3{ 1.5}2{ 1.5}P X P X ≥=<，求12X -≤的概率是多少？（可能用到的数值(0.25)0.6Φ=，(1)0.8413Φ=）
解：先求出参数μ，由于
1.5{ 1.5}2P X μ-⎛⎫<=Φ ⎪⎝⎭， 1.5{ 1.5}12P X μ-⎛⎫
≥=-Φ ⎪⎝⎭
，…………….………2分
于是依题意有：
1.5 1.531222μμ⎡-⎤-⎛⎫⎛⎫
-Φ=Φ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，即 1.50.62μ-⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭，…………………..4分 由标准正态分布表得，1.50.252μ
-=，于是1μ=.……………..…….6分 于是2(1,2)X
N ，所以1
(0,1)2
X N -，则…………..………8分
{}11212(1)10.68262X P X P ⎧-⎫
-≤=≤=Φ-=⎨⎬⎩⎭
…………………10分
五.（12分）已知随机变量X 的分布函数0,
1()1,1X x F x x x λ
-≤⎧=⎨->⎩
，(1)λ>，ln Y X = （1）求Y 的概率密度函数()Y f y ； （2）计算()E X ，()D Y .
解：（1）由题设知X 的概率密度10,
1(),1x x f x x x λλ--≤⎧=⎨>⎩
，……….………2分
先求Y 的分布函数: (){}{ln }Y F y P Y y P X y =≤=≤，由于{1}1P X >=，
因此，当0y ≤时()0Y F y =；…………………………..4分
当0y >时，
11
(){ln }{1}1y
e y
y Y F y P X y P X e x dx e λλλ---=≤=<≤==-⎰.…………………..6分
于是1,
0()0,0
y Y e y F y y λ-⎧->=⎨
≤⎩，故ln Y X =的概率密度为
,
0()0,
y Y e y f y y λλ-⎧>=⎨
≤⎩………………………8分
（2）根据数学期望的定义，1
()()1
E X xf x dx x dx λλλλ+∞
+∞
--∞
===
-⎰
⎰………10分
由于Y 服从参数为λ的指数分布，2
1
()D Y λ
=
………. …………12分
六．（10分）设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
101
()0X x f x ≤≤⎧⎨
⎩，，其他，0,()00.
y Y e y f y y -⎧>⎨≤⎩，， 试求随机变量Z =X +Y 的概率密度
解：由于X 与Y 相互独立，因此联合概率密度为
01,0
(,)()()0.y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨
⎩，，
其他………………………….2分 （1）显然，当0z <时，(,)f x y =0，因此()(,)0Z x y z
F z f x y dxdy +≤==⎰⎰
….…..4分 （2）当01z ≤<时，00
()(,)1z z x
y z Z x y z
F z f x y dxdy dx e dy z e ---+≤=
==-+⎰⎰⎰⎰
.……6分
（3）当1z ≥时，1
()(,)1(1)z x
y z Z x y z
F z f x y dxdy dx e dy e e ---+≤=
==+-⎰⎰⎰⎰
..……8分
于是Z =X +Y 的概率密度为()()Z Z f z F z '=，即
0,0()1,01(1),1z Z z z f z e z e e z --<⎧
⎪
=-<<⎨⎪-≥⎩
…………………….……..10分
七. （12分）设总体X 的分布函数为13,1
(,)0,
1X x F x x x αα⎧
->⎪=⎨⎪≤⎩，其中未知参数1α>，
12,,...n X X X 为来自总体X 的一个样本，
（1）试求参数α的矩估计量；
（2）试求参数α的最大似然估计量。

解：X 的概率密度为1,1(,)0,
1x f x x x αα
α+⎧>⎪=⎨⎪≤⎩.…………………………….2分
(1) 11
()(,)1
E X xf x dx x x αα
α
αα+∞
+∞
+-∞
=
=⋅
=
-⎰
⎰
……………………..……..4分 令()E X X =，于是得α的矩估计量为ˆ1
X
X α
=-……………………….. …….6分
（2）设12,,...,n x x x 为总体的样本值，似然函数为
1
1,1,1,2,...,()0,n
i n i i x i n
L x else
ααα+=⎧>=⎪⎪⎛⎫
=⎨ ⎪
⎝⎭⎪⎪⎩
∏………………..……8分
当1(1,2,...,)i x i n >=时，()0L α>，取对数有，
1
ln ()ln (1)ln n
i i L n x ααα==-+∑，…………..…………10分
对参数α求导并另导数为0，有
1
ln ()ln 0n
i i d L n
x d ααα==-=∑，则1
ln n
i
i n
x
α==∑，于是α的最大似然估计量为
1
ˆln n
i
i n
X
α
==∑………………12分
八.（10分）某车间用一台机器包装茶叶，由经验可知，该机器称得茶叶的重量服从正态分布2(0.5,0.015)N ，现从某天所包装的茶叶袋中随机抽取9袋，假设平均重量为0.509x =，
（1）以目前的数据来看，该机器是否工作正常？（显著性水平为0.05）.
（2）若总体均值和方差都未知，但通过抽取的9袋茶叶测得样本方差值为220.02s =，求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间；
（附注）0.050.0250.050.050.0250.0251.65, 1.96,(8) 1.8595,
(9) 1.8331,(8) 2.3060,(9) 2.2622z z t t t t ======
解：（1）由题意可设假设为：01:0.5,:0.5H H μμ=≠…………………..……1分 由于总体方差为20.015
，选择检验统计量为X U =，…………………2分 则0H 的拒绝域为
0.0250.025(,)(,)(, 1.96)(1.96,)z z -∞-+∞=-∞-+∞， ……………………4分
由于
09,0.509,0.5,0.015n x μσ====，计算得 1.8 1.96u =<不在拒绝域中，因此在
0.05α=的条件下可认为及其工作正常。

………………………..…………5分
（2）由于均值和方差都未知，求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间为：
0.0250.025(1),(1)X t n X t n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭
，0.025(8) 2.306t =，带入数值计算得μ的置
信度为0.95的置信区间为(0.4936,0.5244).……………………….……10分。