(新课标)高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明6.4基本不等式课件文

bc a
＋
ac b
＋acb>a＋b＋c. (2)求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
证明：(1)∵a，b，c∈R＋，且不全相等，
∴bac＋abc≥2 bac·abc＝2c. 同理：abc＋acb≥2a，acb＋bac≥2b.
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上述三个等号至少有一个不成立，三式相加，得 2bac＋abc＋acb>2(a＋b＋c)． 即bac＋abc＋acb>a＋b＋c. (2) ∵a2＋2 b2≥a＋2 b2， ∴ a2＋2 b2≥|a＋2 b|≥a＋2 b. 即 a2＋b2≥ 22(a＋b)．
【解析】 ∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc＋c＝3＋ba＋ac＋ab＋ bc＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号． 【答案】 9
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【题点发散五】 若本例(2)变为：已知各项为正数的等
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2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为________，几何平
均数为________，基本不等式可叙述为：______________.
3．几个重要的不等式
a2＋b2≥______(a，b∈R)；ba＋ab≥______(a，b同号)．
ab≤
a＋b 2
1 a
Байду номын сангаас
＋
1 b
的最小值为
________．
【解析】
∵a＋b＝1，∴ab≤
a＋b 2
2＝
1 4
，∴
1 a
＋
1 b
＝
a＋b ab
＝a1b≥4.当且仅当a＝b＝12时，取得最小值．
【答案】 4
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【题点发散一】 本例(2)中的条件不变，则 1＋1a 1＋1b 的最小值为________．
方法2：由 1a
＋
2 b
＝
ab
，通分可得
b＋2a ab
＝
ab
，
2a＋b2 a2b2
＝ab，即(2a＋b)2＝a3b3.
又由(2a＋b)2≥8ab，得8ab≤a3b3，即a2b2≥8，
ab≥2 2，所以(ab)min＝2 2，故选C. 【答案】 C
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(2)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则
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不等式的证明遵循从繁入简，我们也应观察结
论中不等式的形式，不等号的开口方向，比如第(1)问中有
“≤”，联想起应该利用“ab≤
a2＋b2 2
”这个不等式．而第(2)
问中有“≥”，联想起应该利用“ a＋b≥2 ab”这个不等式．
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(1)已知a>0，b>0，c>0且a，b，c不全相等，求证：
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同理 b2＋c2≥ 22(b＋c)， c2＋a2≥ 22(c＋a)．
三式相加，得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
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突破考点 02
利用基本不等式求最值问题
（题点多变型——一题多变）
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利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
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图(1)是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情 况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分 可抽象成如图(2)所示的模型，其中桥塔AB，CD与桥面AC垂 直，通过测量得知AB＝50 cm，AC＝50 cm，当P为AC中点 时，∠BPD＝45°.
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【解析】
1＋1a 1＋1b ＝ 1＋a＋a b 1＋a＋b b ＝
2＋ba·2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9， 当且仅当a＝b＝12时取等号． 【答案】 9
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【题点发散二】 本例(2)中的条件和结论互换即：已知
a>0，b>0，1a＋1b＝4，则a＋b的最小值为________． 【解析】 由1a＋1b＝4，得41a＋41b＝1.
∴2a＋1b＝13a＋23b2a＋1b
＝43＋3ab＋43ba≥43＋2 3ab·43ba＝83.
当且仅当a＝2b＝32时，取等号．
【答案】
8 3
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【题点发散四】 若本例(2)中的条件变为：已知a>0， b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．
2(a，b∈R)；
a＋b 2
2________
a2＋b2 2
(a，b∈
R)．
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1.(1)a>0，b>0 (2)a＝b
a＋b 2. 2
ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何
平均数
3．2ab 2 ≤
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【调研1】 (2013·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c均为正数，
【调研2】
(1)(2015·湖南卷)若实数a，b满足
1 a
＋
2 b
＝
ab，则ab的最小值为( )
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
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【解析】 方法1：由题意可知，a>0，b>0,2 a2b≤1a＋2b
＝ ab(当且仅当1a＝2b时，“＝”成立)，即ab≥2 2，∴(ab)min
＝2 2，故选C.
(1)根据题意设出相应变量，一般把要求最值的变量设为函 数；
(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求函数的最值； (4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．
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注意：当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自 变量不在定义域内，就不能使用基本不等式求解，此时可 根据变量的范围利用对应函数的单调性求解．
比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得 am·an
＝2 2a1，则m1 ＋4n的最小值为________．
【解析】 设公比为q(q>0)，由a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒ q2－q－2＝0(q>0)⇒q＝2.
am·an ＝2
2
a1⇒a12m－1·a12n－1＝8a
由题设得(a＋b＋c)2＝1. 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. ∴3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13. (2)∵ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c，
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故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. ∴ab2＋bc2＋ca2≥1.
(1)求CD的长； (2)试问点P在线段AC的何处时，∠BPD达到最大？
解：(1)设∠BPA＝α，∠DPC＝β，CD＝h cm， 则tanα＝2，tanβ＝2h5， 由题意得，tan(α＋β)＝1－2＋2×2h52h5＝－1，
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解得h＝75.故CD的长为75 cm. (2)设AP＝x cm(0<x<50)， 则tanα＝5x0，tanβ＝507－5 x，∴tan∠BPD＝－tan(α＋β) ＝－1－5x05＋x0×5075－507－5x x＝x2－2550xx＋＋15000× 75. ∵x2－50x＋50×75>0， ∴tan∠BPD>0，即∠BPD为锐角． 令t＝x＋100∈(100,150)，则x＝t－100，
∴AP＝(25 30－100)cm时，∠BPD最大．
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(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka
－
1 20
(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正
根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔0<a≤6.
所以当a不超过6 km时，可击中目标．
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利用基本不等式解决实际问题的方法步骤如 下：
∴a＋b＝41a＋41b(a＋b)＝12＋4ba＋4ab≥12＋2 当且仅当a＝b＝12时取等号．
4ba·4ab＝1.
【答案】 1
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【题点发散三】 若本例(2)中条件变为：已知a>0，
b>0，a＋2b＝3，则2a＋1b的最小值为________． 【解析】 由a＋2b＝3得13a＋23b＝1，
且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ca≤13；
(2)ab2＋bc2＋ca2≥1.
【分析】
(1)由基本不等式a2＋b2≥2ab易证；(2)由
a2 b
＋
b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c相加可证．
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【证明】 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
的射程是指炮弹落地点的横坐标．
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(1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度 为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中 它？请说明理由．
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【解】 (1)令y＝0，得kx－210(1＋k2)x2＝0. 由实际意义和题设条件知x>0，k>0， 故x＝12＋0kk2＝k＋201k≤220＝10，当且仅当k＝1时取等号．所 以炮的最大射程为10 km.
突破考点 03
基本不等式在实际问题中的应用
（重点得分型——师生共研）
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【调研3】 (2012·江苏卷)如图所示，建立平面直角坐标
系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1
km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx
－
1 20
(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮
第六章
不等式、推理(tuīlǐ)与证明
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第四节 基本(jīběn)不等式
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考纲下载(xià zǎi) 1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
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请注意(zhù yì) 1.以选择题或填空题的形式考查基本不等式的应用，如 比较大小，求最值等． 2．在实际问题中和函数建模综合起来，考查基本不等 式在求函数最值中的应用．
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(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的 最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构 造不等式求解．
(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式) 均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二 定、三相等”，这三个条件缺一不可．
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2 1
⇒2m－1·2n－1＝8⇒m＋n－2＝
3⇒m＋n＝5，则m1 ＋4n＝15m1 ＋4n(m＋n)＝155＋mn ＋4nm≥15(5＋2 4)
＝95，当且仅当n＝2m＝130时等号成立．
【答案】
9 5
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利用基本不等式求最值的方法及注意点 (1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为 定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件—— 正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”， 直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值 的条件．
第三十八页，共39页。
∴tan∠BPD＝t－1002－502t－5t 100＋50×75
＝t2－250t2＋5t50×375，
∴tan∠BPD＝
25 t＋50×t 375－250
≤
2
25 t·50×t 375－250
＝
2 301－10，当且仅当t＝50×t 375，
即t＝25 30∈(100,150)时等号成立，
1．如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有
最________值是________．(简记：积定和最小)
2．如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有
最________值是________．(简记：和定积最大)
1.x＝y
小
2p
2.x＝y
大
p2 4
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第四页，共39页。
突破(tūpò)考点01
突破(tūpò)考点02 突破考点03
高考(ɡāo kǎo)真题 演练
课时作业
第五页，共39页。
突破考点 01
利用基本不等式证明不等式
（重点得分型——师生共研）
第六页，共39页。
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：________. (2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．