高中数学 第6讲 函数与方程寒假课程学案 新人教版 学案

第六讲 函数与方程
一、课标解读：
1.了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；
2.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；
3.根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；
4.体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式． 二、知识梳理： 方程的根与函数的零点 1.函数零点的概念：
对于函数()()y f x x D =∈把使()0f x =成立的实数x 叫做函()()y f x x D =∈的零点. 2.函数零点的意义：
函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标. 即方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 3.二次函数的零点：二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y ．
0∆>时，方程02
=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． 0∆=，方程02
=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或
二阶零点．
0∆<，方程02
=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．
三、方法归纳： 1、函数零点的求法：
（1）（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；
（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
2、对于一元二次方程根的分布问题，可以利用一元二次方程和二次函数的关系，借助图象来处理. 四、课堂例题精讲：
1.若函数()2
f x x ax b =--的两个零点是2和3，则函数()2
1g x bx ax =--的零点是________．
答案：12-和1
3
-
解析：由题意，得2
2220
330
a b a b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得56a b =⎧⎨=-⎩.
∴()2651g x x x =---，令()0g x =，很容易得到其零点为12-和1
3
-.
2.求函数132)(3
+-=x x x f 零点的个数为 .
答案：3
解析：因3
3
2
()2312212(1)(1)f x x x x x x x x x =-+=--+=---2
(1)(221)x x x =-+-，
又2
2210x x +-=显然有两个实数根，故132)(3
+-=x x x f 共三个零点.
3.已知()()11y x x x =-+的图象如图所示，今考虑()()()110.01f x x x x =-++，则方程()0f x = ①有三个实根；
②当1x <-时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）； ③当10x -<<时，恰有一实根； ④当01x <<时，恰有一实根； ⑤当1x >时，恰有一实根． 则正确结论的编号为 . 答案：①②
解析：∵()()()22310.01 5.990f -=⨯-⨯-+=<，()10.010f -=>，即()()210f f --<，
∴在()2,1--内有一个实根．
由图中知，方程()0f x =在(),1-∞-上只有一个实根，所以②正确；
又∵()00.010f =>，由图知()0f x =在()1,0-上没有实数根，所以③不正确； 又∵()()0.50.50.5 1.50.010.3650f =⨯-⨯+=-<，()10.010f =>，即()()0.510f f <， 所以()0f x =在()0.5,1上必有一个实根，
又()()0.500f f <，∴()0f x =在()0,0.5上也有一个实根． ∴()0f x =在()0,1上有两个实根，④不正确；
由()10f >且()f x 在()1,+∞上是增函数，∴()0f x =在()1,+∞上没有实根．∴⑤不正确． 并且由此可知①也正确．
4.若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
答案：1>a
解析：设函数(0,x
y a a =>且1a ≠）和函数y x a =+，
则由函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，知 函数(0,x
y a a =>且1a ≠）与函数y x a =+有两个交点， 由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点，不符合， 当1>a 时，函数(1)x
y a a =>的图象过点()0,1，
而直线y x a =+所过的点一定在点()0,1的上方，所以一定有两个交点. 所以实数a 的取值范围是1>a .
5.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程2
340ax x a ++=的两根都小于1； （2）方程022
=++ax x 至少有一个实根小于1-．
解析：（1）当0a =时，0x =满足题意．
当0a ≠时，设2
()34f x ax x a =++.
若要方程两根都小于1，只要 23
3916044
3310223(1)005a a a a a af a a ⎧-≤≤
⎪⎧∆=-≥⎪⎪
⎪⎪-
<⇒><-⎨⎨⎪⎪
>⎪⎪⎩><-⎪⎩或或3
04a ⇒<≤ 综上，方程的根都小于1时，3
04
a ≤≤
（2）设2
()2f x x ax =++，若方程的两个实根都小于1-，
则有
280
12
23
(1)0
a a a a
a a f ⎧-≥⎧≤-≥⎪
⎪⎪-<-⇒>⎨⎨⎪⎪<⎩->⎪⎩
3a ⇒≤< 若方程的两个根一个大于1-，另一个小于1-，则有(1)30f a -=-<，∴3a >． 若方程的两个根中有一个等于1-，由根与系数关系知另一根必为2-， ∴12a -=--，∴3a =．
综上，方程至少有一实根小于1-
时，a ≥
6.已知二次函数2
()f x ax bx c =++和一次函数()g x ax b =+，其中a b c >>，且(1)0f =，
（1）求证：两函数()f x 、()g x 的图象交于不同两点A 、B ； （2）求线段AB 在x 轴上投影11A B 长度的取值范围．
解析：（1）∵(1)0f a b c =++=，a b c >>，∴0a >，0c <．
由2y ax bx c y ax b
⎧⎨⎩＝＋＋＝＋ 得2
()0ax b a x c b +-+-=， 因为2
()40b a ac ∆=+->，所以两函数()f x 、()g x 的图象必交于不同的两点；
（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2
11||A B = 2
2
12()(2)4c x x a
-=--．
∵0a b c ++=，a b c >>，∴122
c a -<
<-， ∴11||A B ∈（
2
3
，32）． 7.关于x 的二次方程()2110x m x +-+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．
解析：设()()211f x x m x =+-+，[]0,2x ∈，
①若()0f x =在区间[]0,2上有一解，∵()010f =>，则应有()20f ≤，
又∵()()222121f m =+-⨯+，∴解得3
2m ≤-.
②若()0f x =在区间[]0,2上有两解，
则()0102220
m f ∆≥⎧⎪-⎪
≤-≤⎨⎪
⎪≥⎩，即()()21403141210m m m ⎧--≥⎪⎪-≤≤⎨⎪+-⨯+≥⎪⎩，解得312m -≤≤- 由①②可知1m ≤-.
五、课堂训练：
1.已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是___________． 答案：(],2ln 22-∞-
解析：设()x g x e =，()2h x x a =-，当两条曲线相切时，函数有零点，再通过图像即可得到答案. 2.设全集为R ，集合{|sin(2),
}642
A y y x x ππ
π
==-
≤≤，集合{|R B a =∈关于x 的方程012=++ax x 的根一个在
()0,1上，另一个在()1,2上}. 求（ R A ）∩（ R B ）.
解析：由
24
2
2
x x π
π
π
π≤≤
≤≤得
，
512,sin(2)13
6
626
x x π
π
ππ
≤-
≤
∴≤-≤， 即1{|1}2A y y =≤≤，∴ R A 1
{|1}
2y y y =<>或
又关于x 的方程 012=++ax x 的根一个在()0,1上，另一个在()1,2上， 设函数1)(2
++=ax x x f ，
则满足(0)0,
20(1)0,520
(2)0,f a f a f >⎧+<⎧⎪
<⎨⎨+>⎩⎪>⎩
即，∴522a -<<-．
∴ 5{|2}
2
R B a a a =≤-≥-或
∴（ R A ）∩（ R B ）15
{|21}22
x x x x =-≤<>≤-或或．
3.设1x 与2x 分别是实系数方程2
0ax bx c ++=和2
0ax bx c -++=的一个根，且1212,0,0x x x x ≠≠≠ ，求证：方程
2
02
a x bx c ++=有且仅有一根介于1x 和2x 之间. 解析：令2
(),2
a f x x bx c =
++由题意可知2211220,0
ax bx c ax bx c ++=-++= 故22
1122,,
bx c ax bx c ax +=-+=
则2222111111(),222a a a f x x bx c x ax x =++=-=-222
22222223(),222a a a f x x bx c x ax x =++=+=
因为120,0,0a x x ≠≠≠∴12()()0f x f x <， 即方程
2
02
a x bx c ++=有且仅有一根介于1x 和2x 之间. 4.已知函数()421x x f x m =+⋅+有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点． 解析：∵()421x x f x m =+⋅+有且仅有一个零点，即方程()2
2210x x m +⋅+=仅有一个实根．
设()20x t t =>，则210t mt ++=. 当Δ＝0时，即m 2
－4＝0，∴2m =±，
当m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1（不合题意，舍去）， ∴2x
＝1，解得x ＝0符合题意．
当Δ>0时，即m >2或m <－2时，t 2
＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f （x ）有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符题意．
综上可知：m ＝－2时，f （x ）有唯一零点，该零点为x ＝0. 六、课后检测：
1.如果二次函数)3(2
+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是 .
2.若函数f （x ）＝x 2
＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af （－2x ）>0的解集是__________． 3.若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______. 4.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程22
70x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程2
2
(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上；
（3）方程22
7(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；
5.已知a 是实数，函数f （x ）＝2ax 2
＋2x －3－a .如果函数y ＝f （x ）在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围． 参考答案： 1.6m >或2m <-
2. ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－3
2<x <1
解析：∵f （x ）＝x 2
＋ax ＋b 的两个零点是－2，3.
∴－2，3是方程x 2
＋ax ＋b ＝0的两根，
由根与系数的关系知⎩⎪⎨
⎪⎧
－2＋3＝－a
－2×3＝b
，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1
b ＝－6
，
∴f （x ）＝x 2
－x －6.
∵不等式af （－2x ）>0，即－（4x 2
＋2x －6）>0⇔2x 2
＋x －3<0，
故解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－3
2<x <1
3. 答案：3
解析：作出函数24y x x =-与函数4y =的图象，发现它们恰有3个交点. 4. 解析：（1）设2
2
()70f x x ax a =-+-=，其图象为开口向上的抛物线．
若要其与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f <， 即24270a a -+-<，∴ 13a -<<．
（2）设2
2
()(4)253f x x a x a a =-+-++
则方程两个根都在[1,3]- 上等价于：222(1)0340(3)00
41362
24(32)0
(
)02
f a a f a a a a a a f -≥⎧⎪⎧--≤≥⎪⎪-≤⎪⎪+⇒⎨⎨-≤≤-≤≤⎪⎪⎪⎪+-≥⎩≤⎪⎩
∴01a ≤≤．
（3）设2
2
()7(13)2f x x a x a a =-++--，
则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价2
2220
(0)0(1)0280
(2)030a a f f a a f a a ⎧-->>⎧⎪⎪
<⇒--<⎨⎨⎪⎪>->⎩⎩
12
2403a a a a a <->⎧⎪
⇒-<<⎨⎪<>⎩
或或 21a -<<- 或34a <<．
5.解析：当0a =时，()23f x x =- ，显然在[]1,1-上没有零点， 所以 0a ≠.
令()2
48382440a a a a ∆=++=++=， 解得 37a -±=
① 当 37
a --=
时， ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上； ② 当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点. ③ 当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时，
则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()2082440111
21010a a a a f f <⎧
⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪
⎪
-≤⎩
解得5a ≥或35
2a --<
.
综上所求实数a 的取值范围是1a >或35
a --≤。