2020-2021学年新疆某校高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(9月份)有答案

2020-2021学年新疆某校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
（9月份）
一、选择題：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合A ＝{x|x 2−2x −3≤0}，B ＝{x|y ＝}，则A ∩B ＝（ ） A.[1, 3] B.(1, 2)∪(2, 3]
C.[2, 3]
D.[−1, +∞)
2. 下列有关命题的说法中错误的是（ ） A.若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题
B.命题“若x 2−3x +2=0，则x =1“的逆否命题为：“若x ≠1则x 2−3x +2≠0”
C.若命题p:∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0，则￢p:∀x ∈R 均有x 2+x +1≥0
D.“x =1”是“x 2−3x +2=0”的充分不必要条件
3. 设a ＝log 2019√2020，b ＝log 2020√2019，c ＝201912020
，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >b
D.c >b >a
4. 已知向量a 、b 满足|a →
|=1，|b →
|=2，|a →
−b →
|=2，则|a →
+b →
|等于（ ） A.1 B.√2 C.√5 D.√6
5. 已知数列{a n }是等差数列，且a 4+a 7+a 10＝57，a 4+a 5+...+a 14＝77，若a k ＝13，则k 的值（ ） A.7 B.8 C.9 D.10
6. 已知sin α1+cos α
=−23
，则
sin α
1−cos α的值是（ ）
A.2
3 B.−2
3 C.3
2 D.−3
2
7. 已知f(x)=1
4x 2+sin (π
2+x)，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(x)的图象是( )
A. B. C. D.
8. 若不等式x 2+ax +1≥0对于一切x ∈(0，1
2〕成立，则a 的取值范围是（ ） A.a ≥0 B.a ≤−2 C.a ≥−5
2
D.a ≤−3
9. 若A ，B ，C 是圆x 2+y 2=1上不同的三个点，O 是圆心，且OA →
⋅OB →
=0，存在实数λ，μ使得OC →
=λOA →
+μOB →
，实数λ，μ的关系为( ) A.λ2+μ2=1 B.1
λ+1
μ=1
C.λ⋅μ=1
D.λ+μ=1
10. 若函数f(x)＝a sin x −b cos x 对任意的实数x 都有，则
直线2ax −by +c ＝0的斜率是（ ）
A.−2
B.2
C.
D.
11. 已知函数f(x)+1=
1
f(x+1)
，当x ∈[0, 1]时，f(x)=x ．若在区间x ∈(−1, 1]内，
g(x)=f(x)−mx −m 有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.(0, 1
2] B.[1
2, +∞)
C.[0, 1
3)
D.[0, 1
2)
12. 已知函数f(x)＝e x −ax −1在区间(−1, 1)内存在极值点，且f(x)<0恰好有唯一整数解，则a 的取值范围是（其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…）（ ） A.[e 2−1
2e 2, e) B.[e 2−12e 2, 1)∪(e −1, e 2−12
]
C.(e −1, e)
D.[e 2−12e 2, 
e−1
e
)∪(e −1, e)
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
若变量x、y满足约束条件{
y≤2
x+y≥0
x−y−2≤0
，则z＝x+2y的最大值为________．
设直线y=−3x+b是曲线y=x3−3x2的一条切线，则实数b的值是________．
函数f(x)＝2sin(ωx+φ)的图象如图所示，若点、均在
f(x)的图象上，点C在y轴上且BC的中点也在函数f(x)的图象上，则△ABC的面积为
________．
如果存在函数g(x)＝ax+b（a、b为常数），使得对函数f(x)定义域内任意x都有
f(x)≤g(x)成立，那么称g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结论：
①函数f(x)＝2x存在“线性覆盖函数”；
②对于给定的函数f(x)，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；
③g(x)＝−x−2为函数的一个“线性覆盖函数”；
④若g(x)＝2x+b为函数f(x)＝−x2的一个“线性覆盖函数”，则b>1
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若b sin A＝a(2−cos B)．（1）求角B的大小；
（2）D为AB上一点，且满足CD＝2，AC＝4，锐角三角形△ACD的面积为，求BC的长．
已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）令c n =
(a n +1)n−1(b n +2)n
，求数列{c n }的前n 项和T n ．
已知函数f(x)＝sin cos
+cos 2
+cos （）
(ω>0)的图象的两相邻对称轴间的距离为．
（1）求函数y ＝f(x)的解析式；
（2）已知角α，β，θ满足且，tan θ
＝2，求的值．
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x −√3y =4相切． （1）求圆O 的方程；
（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA →
⋅PB →
的取值范围．
已知函数f(x)＝x ln x ，(e ＝2.718…)．
（1）设g(x)＝f(x)+x 2−2(e +1)x +6， ①记g(x)的导函数为g ′(x)，求g ′(e)；
②若方程g(x)−a ＝0有两个不同实根，求实数a 的取值范围；
（2）若在[1, e]上存在一点x 0使成立，求实数m 的取值
范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为ρ−4cos θ=0，直线l 的参数方程为{
x =1+
√32t
y =1
2t
（t 为参数）．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于M，N两点，已知点P(1, 0)，且|PM|>|PN|，求1
|PN|−1
|PM|
的
值．
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f(x)=|2x−1|+|2x+3|．
(1)解不等式f(x)≥6；
(2)记f(x)的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年新疆某校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
（9月份）
一、选择題：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
A
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
利用复合命题的真值表可判断A，利用命题间的关系可判断B，利用命题的否定可判断C，利用充分必要条件的概念可判断D．
【解答】
解：对于A，若p∧q为假命题，则p，q中必有一个为假，故p，q均为假命题错误；
对于B，命题“若x2−3x+2=0，则x=1“的逆否命题为：“若x≠1则x2−3x+2≠0”正确；
对于C，命题p:∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p:∀x∈R均有x2+x+1≥0正确；
对于D，“x=1”⇒“x2−3x+2=0”，充分性成立，反之，“x2−3x+2=0”⇒“x=1
或x=2”，而不是“x=1”，即必要性不成立，
∴ “x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件，正确．
故错误的是A．
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】
∵a=log2019√2020,b=log2020√2019,c=201912020，
1 2log20192019<a=1
2
log20192020<1
2
log201920192，
b =1
2
log 20102019<1
2
log 20102010=1
2
，
c =20191
2010>20190＝1．
∴ a ，b ，c 的大小关系是c >a >b ． 4. 【答案】 D 【考点】 向量的模 【解析】
欲求|a →
+b →
|，一是设出a →
、b 的坐标求，二是直接根据向量模计算．对于解法一，我们可以设出两个向量的坐标，然后根据已知条件中|a →
|=1，|b →
|=2，|a →
−b →
|=2，对|a →
+b →
|的平方进行化简求值，进而给出|a →
+b →
|的值．本题中没有给出向量的坐标，故也可根据向量的平方等于向量模的平方进行求解． 【解答】
解：法一：设a →
=(x 1, y 1)，b →
=
(x 2, y 2)，则x 1
2
+
y 1
2=
1，x 2
2+
y 2
2=4，a →
−b →
=
(x 1−x 2, y 1−y 2)，
∴ (x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=4．
∴ x 12−2x 1x 2+x 22+y 12−2y 1y 2+y 22
=4．
∴ 1−2x 1x 2−2y 1y 2=0．∴ 2x 1x 2+2y 1y 2=1．
∴ (x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=1+4+2x 1x 2+2y 1y 2=5+1=6． ∴ |a →
+b →
|=√6．
解法二：∵ |a →
+b →|2
+|a →
−b →|2
=2(|a →|2
+|b →
|2)， ∴ |a →
+b →
|2=2(|a →
|2+|b →
|2)−|a →
−b →
|2 =2(1+4)−22=6． ∴ |a →
+b →|=√6． 故选D 5.
【答案】 B
【考点】
等差数列的性质 等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
三角函数的化简求值【解析】
由同角三角函数的基本关系式可得sinα
1+cosα=1−cosα
sinα
，再结合已知得答案．
【解答】
解：由sin2α+cos2α=1，得1−cos2α=sin2α，
∴sinα
1+cosα=1−cosα
sinα
，
∵sinα
1+cosα=−2
3
，∴1−cosα
sinα
=−2
3
，
则sinα
1−cosα=−3
2
．
故选：D．
7.
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象的变换利用导数研究函数的单调性
【解析】
先化简f(x)=1
4x2+sin(π
2
+x)=1
4
x2+cos x，再求其导数，得出导函数是奇函数，排
除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在(−π
3, π
3
)上单调递减，
从而排除C，即可得出正确答案．【解答】
解：∵f(x)=1
4x2+sin(π
2
+x)，
∴f′(x)=1
2x+cos(π
2
+x)=1
2
x−sin x，
∴函数f′(x)为奇函数，故B，D错误；
又f′(π
2)=π
4
−1<0，故C错误.
故选A．
8.
【答案】
C
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，这是解决恒成立问题的常用解法
【解答】
解：x 2
+ax +1≥0对于一切x ∈(0，1
2
〕成立⇔a ≥
−x 2−1x
对于一切x ∈(0，1
2
〕成立
⇔a ≥−x −1x 对于一切x ∈(0，1
2〕成立 ∵ y =−x −1
x
在区间(0，1
2
〕上是增函数
∴ −x −1x <−12−2=−5
2 ∴ a ≥−5
2 故选C 9.
【答案】 A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系 向量的共线定理 直线和圆的方程的应用 【解析】
由A ，B ，C 是圆x 2+y 2=1上不同的三个点，可得|OA →
|=|OB →
|=|OC →
|=1，又OA →
⋅OB →
=0，所以对OC →
=λOA →
+μOB →
两边平方即可得到结论． 【解答】
解：∵ OC →
=λOA →
+μOB →
，两边平方得： |OC →
|2=λ2|OA →
2|+μ2|OB →
|2+2λμOA →
⋅OB →
. ∵ |OA →
|=|OB →
|=|OC →
|=1， ∴ λ2+μ2=1. 故选A . 10.
【答案】 A
【考点】 直线的斜率
两角和与差的三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 11. 【答案】
A
【考点】
函数零点的判定定理 【解析】
求出f(x)的解析式，把在区间x ∈(−1, 1]内，g(x)=f(x)−mx −m 有两个零点， 转化为m =
f(x)x+1
有2个解，令k(x)=
f(x)x+1
，作出图象，运用图象的交点判断零点个数，
得出参变量m 的取值范围． 【解答】
解：∵ f(x)+1=1
f(x+1)， ∴ 数f(x)=1
f(x+1)−1， ∵ 当x ∈[0, 1]时，f(x)=x ．
∴ 当x ∈[−1, 0]时，f(x)=1
f(x+1)−1=1
x+1−1， ∵ ∴ f(x)=m(x +1)有2个解 即m =
f(x)x+1
有2个解 令k(x)=
f(x)x+1
，
则k(x)={
1
(x+1)2
−1，−1≤x <0
1−
1
x+1
，0≤x ≤1
k(x)图象如下：
k(1)=1
2， ∴ k(x)=
f(x)x+1
，与y =m 有2个交点时，0<m ≤1
2 ∴ g(x)=f(x)−mx −m 有两个零点，则实数m 的取值范围为：(0, 1
2]，
故选：A
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
推导出f′(x)＝e x −a ＝0在(−1, 1)上有解，从而1e <a <e ，e x <ax +1有唯一整数解．设g(x)＝e x ，ℎ(x)＝ax +1，当1<a <e 时，唯一整数解为1，应满足{g(1)<ℎ(1),g(2)≥ℎ(2), 当1e <a <1时，唯一整数解为−1，应满足{g(−1)<ℎ(−1),g(−2)≥ℎ(−2),
由此能求出a 的取值范围．
【解答】
由题意得，f′(x)＝e x −a ＝0在(−1, 1)上有解，
∵ f′(x)在(−1, 1)上单调递增，∴ 1e <a <e ，
又∵ f(x)<0恰好有唯一整数解，即e x <ax +1有唯一整数解．
设g(x)＝e x ，ℎ(x)＝ax +1，结合题意可知：
①若1<a <e ，则唯一整数解为1，
故应满足{g(1)<ℎ(1),g(2)≥ℎ(2),
∴ e −1<a ≤e2−12，
故e −1<a <e ；
②若1e <a <1，则唯一整数解为−1，
故应满足{g(−1)<ℎ(−1),g(−2)≥ℎ(−2),
∴ e2−12e2≤a <
e−1e ， 故e2−12e2≤a <e−1e ．
由①②得a 的取值范围为[e 2−12e 2, e−1e )∪(e −1, e)．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
【答案】
8
【考点】
简单线性规划
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z ＝x +2y 过点A(4, 2)时，z 最大值即可．
【解答】
作出可行域如图，
由z ＝x +2y 知，y =−12x +12z ，
所以动直线y=−1
2x+1
2
z的纵截距1
2
z取得最大值时，
目标函数取得最大值．
由{y=2
x−y−2=0得A(4, 2)．
结合可行域可知当动直线经过点A(4, 2)时，
目标函数取得最大值z＝4+2×2＝8．
【答案】
1
【考点】
导数的几何意义
【解析】
由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，再根据切点必在曲线上，结合方程组求出常数b和c即可．
【解答】
解：y′=3x2−6x，∴k=3x2−6x=−3，
∴x=1，即切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标(1, −2)
它也在切线上，
∴代入y=−3x+b，得b=1．
∴常数b为：1．
故答案为：1．
【答案】
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
②③
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
由正弦定理得sin B sin A＝sin A(2−cos B)．
∵sin A≠5，
∴sin B＝2−cos B．
即sin B+cos B＝2，
即2sin(B+）＝2，
即sin(B+）＝2．
∵0<B<π，∴B+＝，
即B＝，即角B的大小为
△ACD的面积为S＝×2×7sin∠ACD＝，
即sin∠ACD＝，
∵△ACD是锐角三角形
∴cos∠ACD＝＝，
由余弦定理得AD8＝22+72−2×3×4×＝4+16−4＝16，则AD＝4，
在△ACD中，，
∴sin A＝，
则△ABC中，＝，得BC＝，
法2，∵△ACD的面积为S＝，
∴BC×＝．
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：（1）由题意知，当n ≥2时，
a n =S n −S n−1=6n +5；
当n =1时，a 1=S 1=11，符合上式．
所以a n =6n +5．
设数列{b n }的公差为d ，
由{a 1=b 1+b 2，a 2=b 2+b 3，即{11=2b 1+d ，17=2b 1+3d ，
解得b 1=4，d =3．
所以b n =3n +1．
（2）由（1）知c n =(6n+6)n+1
(3n+3)n =3(n +1)2n+1．
又T n =c 1+c 2+⋯+c n ，
得T n =3×[2×22+3×23+⋯+(n +1)⋅2n+1]，
2T n =3×[2×23+3×24+⋯+(n +1)⋅2n+2]，
两式作差，得
−T n =3×[2×22+23+24+⋯+2n+1−(n +1)⋅2n+2]
=3×[4+4(1−2n )1−2
−(n +1)⋅2n+2] =−3n ⋅2n+2，
所以T n =3n ⋅2n+2．
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由题意知，当n ≥2时，
a n =S n −S n−1=6n +5；
当n =1时，a 1=S 1=11，符合上式．
所以a n =6n +5．
设数列{b n }的公差为d ，
由{a 1=b 1+b 2，a 2=b 2+b 3，即{11=2b 1+d ，17=2b 1+3d ，
解得b 1=4，d =3．
所以b n =3n +1．
（2）由（1）知c n =(6n+6)n+1
(3n+3)n =3(n +1)2n+1．
又T n =c 1+c 2+⋯+c n ，
得T n =3×[2×22+3×23+⋯+(n +1)⋅2n+1]，
2T n =3×[2×23+3×24+⋯+(n +1)⋅2n+2]，
两式作差，得
−T n =3×[2×22+23+24+⋯+2n+1−(n +1)⋅2n+2]
=3×[4+4(1−2n )1−2
−(n +1)⋅2n+2] =−3n ⋅2n+2，
所以T n =3n ⋅2n+2．
【答案】
函数f(x)＝sin +cos 2+cos （）
＝sin ωx +cos (ωx +）
＝sin (ωx +）+）
＝2sin (ωx +
）
＝3cos ωx ． ∵ 图象的两相邻对称轴间的距离为
．
∴ T ＝π⇒ω＝2⇒f(x)＝5cos 2x ； ∵ ⇒2cos α×2cos β＝-；
∵ cos (α+β)−cos α cos β＝−sin α sin β＝cos +＝-；
∴ sin α sin β＝．
∴ ＝
＝
＝
＝
＝＝．
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】 解：（1）∵ 以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x −√3y =4相切，
∴ r =√1+3=2，O(0, 0)，
∴ 圆O 的方程为 x 2+y 2=4；
（2）圆O 与x 轴相交于A(−2, 0)、B(2, 0)两点，圆内的动点P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，
∴ |PA|⋅|PB|=|PO|2，设点P(x, y)，．
则有√(x +2)2+y 2√(x −2)2+y 2=x 2+y 2，
即x 2=y 2+2．
由点P 在圆内可得x 2+y 2<4，故有0≤y 2<1；
∵ PA →⋅PB →=(−2−x, −y)⋅(2−x, −y)=x 2+y 2−4=2(y 2−1)∈[−2, 0)． 即PA →⋅PB →的取值范围是[−2, 0)．
【考点】
圆的切线方程
【解析】
（1）圆的半径为圆心到切线的距离r =√1+3=2，从而写出圆O 的方程；
（2）设P(x, y)，从而由|PA|⋅|PB|=|PO|2得x 2=y 2+2，由点P 在圆内可得x 2+
y 2<4，从而可得0≤y 2<1，PA →⋅PB →=(−2−x, −y)⋅(2−x, −y)=x 2+y 2−4，从而解得．
【解答】
解：（1）∵ 以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x −√3y =4相切，
∴ r =√1+3=2，O(0, 0)，
∴ 圆O 的方程为 x 2+y 2=4；
（2）圆O 与x 轴相交于A(−2, 0)、B(2, 0)两点，圆内的动点P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，
∴ |PA|⋅|PB|=|PO|2，设点P(x, y)，．
则有√(x +2)2+y 2√(x −2)2+y 2=x 2+y 2，
即x 2=y 2+2．
由点P 在圆内可得x 2+y 2<4，故有0≤y 2<1；
∵ PA →⋅PB →
=(−2−x, −y)⋅(2−x, −y)=x 2+y 2−4=2(y 2−1)∈[−2, 0)． 即PA →⋅PB →的取值范围是[−2, 0)．
【答案】
①g ′(x)＝ln x +1+8x −2e −2，∴ g ′(e)＝8； ②，∴ g ′(x)递增，
所以g(x)在(0, e)上递减，+∞)递增，
又x 趋于0的时候，g(x)趋于4；
x 趋于+∞的时候，g(x)趋于+∞，
又g(e)＝6−e 2−e ，所以a ∈(3−e 2−e, 6)；
由题可得，
∴ ，∴ ， 令，则ℎ(x)在[1，
又，
①当m +1≥e 时，即m ≥e −5，e]上递减，
所以ℎ(e)<0，解得；
②当m +1≤4即m ≤0，ℎ(x)在[1，
∴ ℎ(1)<6解得m <−2；
③当1<m +4<e ，即0<m <e −1，
此时要求ℎ(4+m)<0又0<ln (4+m)<1，
所以0<m ln (5+m)<m ，
所以ℎ(1+m)＝2+m −m ln (4+m)>2，
此时ℎ(1+m)<7不成立，
综上m <−2或．
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
解：(1)由{x =1+√32t ，y =12t ， ⇒x −√3y −1=0． 由ρ−4cos θ=0，得ρ2−4ρcos θ=0，
又{x =ρcos θy =ρsin θ
且ρ2=x 2+y 2， 得x 2+y 2−4x =0，
即(x −2)2+y 2=4．
∴ 直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程分别为x −√3y −1=0和(x −2)2+y 2=4.
(2)把{x =1+√32t ，y =12t 代入x 2+y 2−4x =0， 整理得t 2−√3t −3=0．
设|PN|=|t 1|，|PM|=|t 2|，
∴ t 1+t 2=√3，t 1t 2=−3.
∵ |PM|>|PN|，
∴ 1|PN|−1|PM|=1
|t 1|−1
|t 2|=|t 1+t 2|
|t 1t 2|=√33
． 【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
利用圆锥曲线的参数方程求最值
【解析】
(Ⅰ)直接把直线的参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程，把ρ−4cos θ＝0两边同时乘以ρ，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)把直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数的几何意义求解．
【解答】
解：(1)由{x =1+√32t ，y =12t ，
⇒x −√3y −1=0．
由ρ−4cos θ=0，得ρ2−4ρcos θ=0，
又{x =ρcos θy =ρsin θ
且ρ2=x 2+y 2， 得x 2+y 2−4x =0，
即(x −2)2+y 2=4．
∴ 直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程分别为x −√3y −1=0和(x −2)2+y 2=4.
(2)把{x =1+√32t ，y =12t 代入x 2+y 2−4x =0， 整理得t 2−√3t −3=0．
设|PN|=|t 1|，|PM|=|t 2|，
∴ t 1+t 2=√3，t 1t 2=−3.
∵ |PM|>|PN|，
∴ 1|PN|−1|PM|=1
|t 1|−1
|t 2|=|t 1+t 2|
|t 1t 2|=√33
． [选修4-5：不等式选讲]
【答案】
解：(1)当x ≤−32时，f(x)=−2−4x ，
由f(x)≥6解得x ≤−2，综合得x ≤−2，
当−32<x <12时，f(x)=4，显然f(x)≥6不成立，
当x ≥12时，f(x)=4x +2，
由f(x)≥6，解得x ≥1，综合得x ≥1，
所以f(x)≥6的解集是(−∞, −2]∪[1, +∞)．
(2)f(x)=|2x −1|+|2x +3|≥|(2x −1)−(2x +3)|=4，
即f(x)的最小值m =4．
∵ a ⋅2b ≤(a+2b 2
)2， 由2ab +a +2b =4可得4−(a +2b)≤(
a+2b 2)2， 解得a +2b ≥2√5−2，
∴ a +2b 的最小值为2√5−2．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
基本不等式
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；
（2）求出f(x)的最小值，根据基本不等式的性质求出a +2b 的最小值即可．
【解答】
解：(1)当x ≤−32时，f(x)=−2−4x ，
由f(x)≥6解得x ≤−2，综合得x ≤−2，
当−3
2<x<1
2
时，f(x)=4，显然f(x)≥6不成立，
当x≥1
2
时，f(x)=4x+2，
由f(x)≥6，解得x≥1，综合得x≥1，
所以f(x)≥6的解集是(−∞, −2]∪[1, +∞)．
(2)f(x)=|2x−1|+|2x+3|≥|(2x−1)−(2x+3)|=4，即f(x)的最小值m=4．
∵a⋅2b≤(a+2b
2
)2，
由2ab+a+2b=4可得4−(a+2b)≤(a+2b
2
)2，
解得a+2b≥2√5−2，
∴a+2b的最小值为2√5−2．。