浅析数学解答题缺少解题思路的原因及对策

浅析数学解答题缺少解题思路的原因及对策∗
何伟军
(渭源县第一中学,甘肃渭源㊀748200)
摘㊀要:文章针对学生 看到题目后没有解题思路 的畏难情绪,通过具体实例分析,厘清存在的常见问题及其类型,分析原因,研究对策,提高解题能力,旨在夯实 四基 ,把提升学生的数学核心素养落实到数学解题教学实践中去.
关键词:数学解答;思路分析;原因探究;能力培养
中图分类号:O12㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)06-0035-06
㊀㊀高考模拟或诊断考试后,我们常会看到学生对解答题的总结分析,如 看到题目后没有解题思路㊁不太熟练㊁不会做㊁读后不知该怎么解㊁主动放弃 等.面对困惑,作为教师要从教与学两个方面反思教学中存在的问题,教学中尽力克服这种现象. 问题解决 [1]以及提高学生的 四基 四能 是当务之急和数学教育所体现的一条主线.鉴于此,笔者认真总结梳理,以期相互交流,共同提高. 1㊀解题思路困难的几种表现
1.1㊀不知如何 切入 问题
高考数学卷或模拟卷均采用由易到难㊁多题把关的原则.选择题㊁填空题的最后两道题都比较难,尤其是解答题的第20题和第21题的第2)小题不知如何 切入 ,没有思路,找不到解决问题的突破口.
例1㊀已知☉C:(x-3)2+(y-4)2=1和点A(-m,0),B(m,0)(其中m>0).若☉C上存在点P,使得øAPB=90ʎ,则m的取值范围为.
切入点1㊀(参数法)以 ☉C上存在点P 切入.设点P(3+cosθ,4+sinθ),则由øAPB=90ʎ知APң㊃BPң=0,得
㊀(3+m+cosθ,4+sinθ)(3-m+cosθ,4+cosθ)=0,化简得㊀m2=8sinθ+6cosθ+26=10sin(θ+φ)+26,其中cosφ=
4
5,sinφ=
3
5.易知
16ɤm2ɤ36,
又m>0,从而㊀㊀4ɤmɤ6.
切入点2㊀(几何法)以 ☉C上存在点P 切入.设P(x,y)为圆上任意一点,则由øAPB=90ʎ知APң㊃BPң=0,从而
(x+m,y)(x-m,y)=0,
旅程的终点不是让学生获得一堆零散㊁呆板㊁无用的知识,而是让他们能够积极㊁充分和灵活地运用这些知识去理解世界㊁解决问题和学以致用,并获得人格的健全和精神的成长,成为新时代的社会主义建设者和接班人.
参㊀考㊀文㊀献
[1]㊀刘月霞,郭华.深度学习:走向核心素养(理
论普及读本)[M].北京:教育科学出版社,
2018.
[2]㊀马云鹏.深度学习视域下的课堂变革[J].全
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[6]㊀李乃洋.巧用课堂中的 意外 收获不一样的
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∗收文日期:2020-10-31;修订日期:2020-12-23
作者简介:何伟军(1962 ),男,甘肃定西人,中学高级教师.研究方向:数学教育.
于是m =x 2+y 2,
即m 表示☉C 上任意一点到原点距离的最大值与
最小值.
㊀㊀因为|OC |=32+42=5,所以
|OP |min =|OC |-r =4,|OP |max =|OC |+r =6,
故
4ɤm ɤ6.切入点3㊀(构造法)以 |AB |=2m 为直径的圆与已知圆有交点 切入.因为øAPB =90ʎ,又直径所对的圆周角是直角,所以直径|AB |=2m ,坐标原点为圆心.
由☉C 与☉O 有公共点,得
m -1ɤ|OC |ɤm +1,从而m -1ɤ32
+42
ɤm +1,
解得
4ɤm ɤ6.
评注㊀正如波利亚所说: 应该理解题目㊁熟悉题目,将待求的目标印入脑海,对题目投入注意力,可能会激发记忆,尽可能清晰地使整个题目形象化,首先要熟悉题目. 在教学中,要善于抓住题目的主征(即主要条件的结构特征),从分析主征开始寻找解题突破口是当务之急,是提高解题能力的重要措施.
1.2㊀没有掌握立体几何问题解答的内在规律学生对作辅助线的基本常识没有掌握,缺少数
学 基本活动经验 .如证明线面㊁面面平行或垂直时,没有想到作辅助线或不会作或难以找到关键的辅助线,因此证题没有思路.用等体积转换求高意识不强,最大的障碍是求体积找不到底面所对应的高或找错了高;要证面面垂直时找不到线面垂直的条件;无法从线面垂直中推证线线垂直,关键是视觉上找不到该线
,看不透又抓不着,因而解题陷入困境
[2]
.
图1
例2㊀如图1,在四棱锥P-ABC 中,PA ʅ底面ABCD ,AD ʊBC ,AB =AD =AC =3,PA =BC =4,M 为线段AD 上一点,AM =2MD ,N 为PC 的中点.
1)证明:MN ʊ平面PAB ;
2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.(2016年全国数学高考新课标卷Ⅲ理科试题
第19题)
分析㊀1)欲证MN ʊ平面PAB ,只需在平面PAB 中找一条线使其与MN 平行.根据基本规律 中点问题还需中点解决 ,把MN 沿DA 方向平移至点F ,发现F 应是PB 的中点,联系已知AD ʊBC 即可找到 辅助线AF .先证明四边形AMNF 为平行四边形,从而得到MN
ʊAF ,再由线面平行的判断定理可证.
图2
2)一看目标,可通过求
直线AN 的方向向量与平面PMN 法向量的夹角来求AN 与平面PMN 所成角.现需求平面PMN 的法向量,如何建系是根本.如图2,以A 为坐标原点㊁以AD ,AP 所在直线分别为y ,z 轴建立空间直角
坐标系.这里横轴如何找?注意到AB =AD =AC ,因此可取BC 的中点,得到AE ʅBC ,这些发自内心的思维活动不经过练习是难以获得的.
分析㊀1)取BP 的中点F ,证明四边形AMNF 为平行四边形是关键,过程略.2)取BC 的中点E ,联结AE.由AB =AC ,得
AE ʅBC ,从而AE ʅAD ,且
AE =AB 2
-BC 2
()
2
=5.以A 为坐标原点㊁AE ң
的方向为x 轴正方向建立如
图2所示的空间直角坐标系A-xyz ,则P (0,0,4),M (0,2,0),C (5,2,0),N
5
2
,1,2(
)
,从而PM ң=(0,2,-4),㊀PN ң=
5
2
,1,-2()
,AN ң=
5
2
,1,2(
)
.设n =(x ,y ,z )为平面PMN 的法向量,则
n ㊃PM ң=0,
n ㊃PN ң=0,
{
即
2x -4z =0,52x +y -2z =0,ìî
íïïïï可取n =(0,2,1),于是
cos<n ,AN ң
>=|n ㊃AN ң||n |㊃|AN ң|
=8525.
评注㊀正如波利亚所说: 数学解题必须要深入理解题目,将题目的主要部分分离出来. 把寻找辅助线AF 和平面PMN 的法向量细节同其整个问题联系起来,只有这样才能有的放矢地解题.
1.3㊀没有掌握导数应用问题解答的思维导图导数应用题的第1)小题入题容易,但没有先
讨论定义域的习惯.第2)小题深入难,放弃作答,空白卷居多,究其原因:没有以第1)小题的结果作为推演的条件,缺少思路,方法不灵活;不知道怎么证明零点存在性,知识迁移能力差,转换不畅;运算能力欠佳,正确率不高;欠缺必要的数学思想与分析问题㊁解决问题的能力.正如波利亚所说: 如果题目十分复杂,可以先区分出 大 的步骤和 小 的步骤,而每一个大的步骤中又包含好几个小步骤,先检查大步骤,再依次执行方案深入到一些小的步骤中去.执行你的解题方案,检查每一个步骤.你能清楚地看出每个步骤是否正确.
例3㊀已知函数f (x )=ln x -x +1
x -1
.1)讨论f (x )的单调性,并证明f (x )有且仅有两个零点;
2)设x 0是f (x )的一个零点,证明:曲线y =ln x
在点A (x 0,ln x 0)处的切线也是曲线y =e x 的切线.(2019年全国数学高考新课标卷Ⅱ理科试题
第20题)
分析㊀1)f (x )在(0,1)和(1,+ɕ)上单调递增,且在(0,1)和(1,+ɕ)上各有一个零点,过程略.
2)因为1x 0=e -ln x
0,所以点B -ln x 0,1x 0
(
)
在曲线
y =e x 上.由题设知f (x 0)=0,即
ln x 0=x 0+1x 0-1
,从而直线AB 的斜率
k =
1
x 0
-ln x 0-ln x 0-x 0
=
1x 0-x 0+1x 0-1-x 0+1x 0-1
-x 0
=
1x 0
.曲线y =e x 在点B -ln x 0,
1x 0(
)
处切线的斜率是1x 0
,曲线y =ln x 在点A (x 0,ln x 0)处切线的斜率也是
1
x 0
,因此曲线y =ln x 在点A (x 0,ln x 0)处的切线也是曲线y =e x 的切线.
评注㊀第1)小题利用导数求解函数的单调性㊁函数的零点,定义域优先原则要知道,掌握用导数法讨论函数单调性的通性通法.实施步骤的过程中,会求导数并判断导函数的正负,掌握利用函数零点存在定理判断零点的方法.第2)小题考查函数公切线的问题,需要掌握 隐零点替换 技巧,对学生思维要求较高,体现了函数与方程㊁整体代换思想.
1.4㊀学而后思的悟道内省少压轴题往往具有综合性强㊁解题技巧强㊁思维
灵活等特点,教学投时多,困难重重,见效慢.教师在一次次阅卷中发现许多学生放弃了压轴题第2)小题,教师的付出与效果反差太大.知 困 ,有 惑 ,但悟道内省少,没有形成持久的解决问题的思维方法.
例4㊀在直角坐标系xOy 中,椭圆C 1:x 2a 2+y 2
b
2=
1(其中a >b >0)的左㊁右焦点分别为F 1,F 2,且椭圆
C 1经过点A 1,3
2
()
,同时F 2也是抛物线C :y 2=4x
的焦点.
1)求椭圆C 1的方程;
2)E ,F 是椭圆C 1上的两个动点,如果直线AE
与AF 的斜率互为相反数,证明:直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.
分析㊀1)略.
2)设直线AE 的方程为y =k (x -1)+
3
2
,将它代入椭圆方程x 24+y 2
2
=1,得
(4k 2+3)x 2-(8k 2-12k )x +(4k 2-12k -3)=0.因为1是该方程的一个根,所以
x E =
4k 2-12k -3
4k 2+3
,(1)又直线AE 与AF 的斜率互为相反数,从而
x F =4k 2+12k -34k 2+3.
(2)
因为y E =k (x E -1)+
32,y F =k (x F -1)+3
2,所以k EF =y F -y E x F -x E =-k (x F +x E )+2k
x F -x E
,将式(1)和式(2)代入,得k EF =1
2
.
教师阅卷时发现学生作答如下:设F 1(x 1,y 1),
F 2(x 2,y 2),则
3x 21+4y 21=12,3x 22+4y 22
=12.{
(3)因为
k AE =y 1-32x 1-1,㊀k AF =y 2-3
2
x 2-1
,
(4)
所以
k AE +k AF =
y 1-
32x 1-1+y 2-32x 2-1
=0,从而㊀x 2y 1+x 1y 2-(y 1+y 2)-3
2(x 1+x 2
)+3=0,(5)又k EF =
y 2-y 1x 2-x 1
, ,由此戛然而止,无法将上述条件
(3)~(5)联系起来,何去何存,心无目标.不能由
点差法得到
(y 1-y 2)(y 1+y 2)(x 1-x 2)(x 1+x 2)=-3
4,致使 牵线搭桥 错失良机.
正如波利亚所说: 当我们知道还缺少某个元素时,我们就自然地会试图让它出现.这样,我们就有了一条线索,有了一条可以遵循的明确研究途径,并很有机会能达到关键的想法. 事实上,峰回路转,有如下操作:
已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b
2=1(其中a >b >0)过点
A (x 0,y 0),E ,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 与AF 的斜率互为相反数,求直线EF 的斜率.
分析㊀设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则
x 20a 2+y 20b 2=x 21a 2+y 21b 2=x 22a 2+y 2
2
b 2
=1.由点差法,得
k AE =
y 1-y 0
x 1-x 0=-b 2
a 2㊃x 1+x 0
y 1+y 0,
k AF =y 2-y 0x 2-x 0=-b 2a 2㊃x 2+x 0
y 2+y 0
.而k AF +k AF =0,得
y 1-y 0x 1-x 0=b 2a 2㊃x 2+x 0
y 2+x 0
,于是㊀㊀a 2
(y 1y 2+y 0y 1-y 0y 2-y 2
)=
b 2(x 1x 2+x 0x 1-x 0x 2-x 20),同理可得㊀㊀a 2(y 1y 2+y 0y 2-y 0y 1-y 20)
=b 2(x 1x 2+x 0x 2-x 0x 1-x 20).
两式作差,得㊀㊀a 2y 0(y 2-y 1)=b 2x 0(x 2-x 1),故
k EF =y 2-y 1x 2-x 1=b 2x 0
a 2y 0
.不难发现,将结论变形得
y 2-y 1x 2-x 1㊃y 0x 0=b 2
a 2
,即
k EF k OA =b 2
a 2,
进而得到点A (x 0,y 0)处的切线斜率为
k A =-b 2x 0
a 2y 0
,
则
k EF +k A =0.
更有趣的结论是k AE +k AF =0⇔k EF +k A =0,留给读者尝试证明.
1.5㊀推理运算的能力不足许多数学问题就是通过计算获得答案的,部分
学生知道思路㊁算理,但就是会而不对.数学难题的解答举步维艰,很多学生输在知识点和方法上,有些学生也会输在运算上,缺少简化运算的方法,耗时费力,无功而返.
例5㊀已知☉C 的方程为x 2
+y -a 2()
2=a 2
4
(其中a ʂ0),直线l :4x +3y -9=0截☉C 的弦长等于
☉C 的半径长的3倍,求a 的值.
学生审题后,由题意得|AB |=3㊃|a |
2
,也需要求出d =3a 2
-85
,但进一步由
2
|a |2
()
2
-d 2=3㊃
|a |2
,解得a =32或a =
32
11
,运算出错!1.6㊀忽视数学思想方法的作用
高考数学解答中常用的数学思想方法,它们既
是问题解决的 切入点 ,又是优化解题途径的 捷径 .不重视运用数学思想方法,必然会处处碰壁.
例6㊀设函数f (x )=12
x 2
-ax -k ln x (其中a ɪR ,k ɪR ).
1)若k =1,且f (x )在区间[1,+ɕ)上单调递
增,求实数a 的取值范围;
2)若a =0,且k ȡe,求证:f (x )在区间(1,e ]上有且仅有一个零点.
分析㊀1)原问题⇔f ᶄ(x )=x -k
x
-a ȡ0对任
意x ȡ1恒成立⇔a ɤx -1
x ()
min ,过程略.2)当a =0时,f (x )=1
2
x 2-k ln x ,从而
f ᶄ(x )=x -k x =(x -k )(x +k )x
.易知f (x )在区间(0,k ]上单调递减,在(k ,+ɕ)
上单调递增.
①当k =e 时,f (x )在区间(0,k ]上单调递减,
且f (x )min =f (e )=0,于是f (x )在区间(1,e ]上有且仅有一个零点.
②当k >e 时,k >e ,从而f (x )在区间(1,e ]
上单调递减,又f (1)=12>0,f (e )=1
2
e -k ln e =
e -k
2
<0,从而f (1)f (e)<0,
于是f (x )在(1,e ]上有且仅有一个零点.
综上所述,若a =0,且k ȡe,则f (x )在区间(1,e ]上有且仅有一个零点.
评注㊀1)把条件f (x ) 在[1,+ɕ)上单调递
增 转化为 f ᶄ(x )=x -k
x
-a ȡ0对任意x ȡ1恒成
立 ,极易分离参数转化为 a ɤx -1
x
对任意x ȡ1
恒成立 ,进而只需求x -1
x ()
min
即可.2)当k ȡe 时,导函数的零点情况要分类讨论,只需考查f (x )
在(1,e ]上单调递减且f (x )min =f (e )=0,自然
利用导数工具或用零点存在定理f (1)f (e )<0证明.
1.7㊀储备不足,缺乏自信
调整好自己的心态,克服浮躁的情绪,使解题思路有条不紊.波利亚也说: 认为解题纯粹是一种智能活动是错误的,决心与情绪所起的作用很重要. 通常情况是学生遇到题目中有向量的条件就害怕㊁紧张;对立体几何的推理证明一看线条比较多就麻烦,找不到辅助线或 切入点 ,便作放弃处理;对圆锥曲线问题出现 设而不求 解题技巧时
因参量多,找不到联系而放弃;导数应用问题第2)小题的设计常以幂指式㊁对数式和含参的二次三项式㊁含参的分式组成的函数为载体,求参数㊁讨论函数的单调性㊁不等式恒成立时逆求参数的取值范围(最值)㊁构建函数与不等式等知识融合的综合应用等,常因缺失转化的方法㊁思维断链而放弃[3].对于这些问题,学生缺少化归与转化的思想方法,即使有直觉思维,有求解欲望,苦于对数学认知结构残缺不全, 知识储备不足㊁化归转化无门 ,逻辑思维断链,自信心不足,只能选择放弃.2　教与学的对策
2.1㊀教学中从多视角剖析试题,锤炼找出解题
切入点 的方法
一般而言,应该先根据题目的条件和结论进行模式识别㊁差异分析和题目信息转换㊁活用等思维活动,以便捕捉到问题的本质特征,进而寻找解题突破口[4].运用紧扣定义㊁深挖隐含㊁联想类比㊁化归转化㊁数形结合等手段去寻找解题的切入点,逐步培养学生思维发散能力,并形成灵活机智的分析问题和解决问题的能力.教学中如能按波利亚的 解题四步骤 引导学生解题,一定会取得较好的效果.
2.2㊀立几教学中在 观察㊁思考㊁探究 中学会数
学思考与推理
空间直线与平面平行和垂直的证明,一靠知识储备,二靠化归转化的方法.如证明线面平行,常是通过线线平行或者面面平行来实现,而线线平行常常利用三角形的中位线㊁平行四边形㊁梯形㊁平行线段分线段成比例的逆定理来实现;证明面面垂直,先察图观线,在其中一个平面内选择一条直线证明垂直另一个平面上的两条相交直线是突破口,再利用面面垂直的判定定理即可.三靠推理正确,在 观察㊁思考㊁探究 中学会数学思考与推理;学生对定义㊁判定定理与性质定理的理解不能停留在文字表面,而要与实际题目联系起来,把定理烂熟于心㊁悟道成法㊁信手拈来.
2.3㊀重视题目条件的解读和转换
解题一定要从题设条件出发,以目标为导航,以思维导图为图形思维工具,以知识储备㊁方法技能为手段,采用化归转化为策略.有时没有解题思路,其实是没有把题目的条件进行解读和转换.解读时需要提取贮存在大脑里的信息和知识,转化时需要对相应交汇知识的把握和计算能力,当转换没方向或失败时,自然感到题难.
2.4㊀教会破解难题之术,要敢于啃难题
常言道: 曲不离口,拳不离手. 要想学好数学,多做题目是必须的.解题经验是经过长期的训练摸索慢慢形成的,甚至是在失败中总结出来的.对于一些易错题,先写出自己的解题思路,再与正确的解题过程比较,找出自己的错误所在,并及时纠正.平时解题中所暴露的问题如果不加以纠正解决,那么遇到压轴题可能就会没有思路,思维断链,方法缺失,无从下手.错误往往在大考中充分暴露,只能自食其果.实践证明:越到关键时候,越要养成好的解题习惯.
2.5㊀重视数学运算能力的培养
由于运算能力差,很多解答题不会求解,半途而废.在教学中一定要重视提高数学运算能力的培养途径,诸如熟记一些常用数据;熟知同类型问题的思维 板块 ;利用图形特点和性质,注意控制代数变换的难度和技巧;利用曲线性质或将某一个 因式 作为整体处理,灵活代换,将简化计算;设而不求,巧妙运算;一题多解,熟化运算;要做到算理熟练,算式规范,算法简捷,结果准确.只有从严训练,养成良好的运算习惯,才能促进数学思维的发展.数学运算是解决问题的基本手段.
2.6㊀重视数学思想方法的教学
数学思想方法是数学的精髓,数学方法是达到数学研究和解决问题的途径和手段.求解解析几何问题中的 范围 与 最值 问题经常用到函数与方程思想.有些数学问题能画图的尽量画出图形, 以形助数 ,有利于正确地理解题意㊁快速地寻求解决问题的途径.遇到题目中含有参数的问题,常因参数变化需要分类讨论.立体几何证明㊁圆锥曲线㊁导数的应用中常用到化归转化思想,坚持数学思想方法的渗透性和自觉性原则,促进学生对数学思想方法的正确理解和掌握.
2.7㊀帮助学生树立学习自信心
在数学解题中,自信心是相当重要的,增强自信是解题的关键.波利亚曾说: 教学生解题是意志的教育. 学习的过程,从本质上说就是不断同难题打交道的过程.难题解决得越多,思维活动越频繁,思考能力的提高也就越快,当然以 跳一跳,想得到 为宜.教学中教师一方面要培养学生锐意进取㊁克难攻坚的勇气以及抗挫折的能力;另一方面要想学生所想㊁换位思考㊁多方论证,形成发散思维,与学生心灵相互沟通,达成一种契合,才能使学生对数学学习产生浓厚的兴趣,积极参与到解题活动中来.教师要善于用爱心感染学生,点燃学生的
自信,尤其在回答问题或作业或卷面解答中,只要
有一点正确地方,都要放大优点,及时给予肯定和
表扬,让他们尝到屡屡受挫中点滴的甜头,体会到
成功的喜悦,不失时机地进行学法指导,帮助学生
树立学习数学的自信心.
数学解题活动是一个由联想所学知识㊁运用数
学思想方法㊁确定解题切入点㊁监控解题调节点㊁审
视解题反思点㊁不断由低级向高级逐步抽象的复杂
的心理的过程[4].因此,当学生看到压轴题没有解题思路时应理性分析,细心观察㊁联想,积极思考,
沉着应对.
教师要把历年压轴题作为训练的素材,每次批
阅记载学生的答题困惑和错误的地方,查找错因.
讲题一定要透过现象㊁揣摩学生的错因心理,有的
放矢,让学生知道 身怀绝技 的 逻辑通路 ,讲评
在 心坎上 ,一定要防微杜渐,常抓不懈,润物细
无声;一定要在教和学两方面摆脱 没有解题思
路 的困境;一定要把通性通法放在首位,但绝非 华山自古一条道 ,大胆鼓励学生运用直觉去寻求解题策略.笔者的感受是:第1)小题是基础题,体现通性通法;第2)小题是体现考生能力的压轴题,不再是 顺畅 的思路㊁简单的运算就可以搞定的.高考是选拔性的考试,后面的压轴题担负着区分考生㊁选拔的功能.纵观之,通法对浅层次能力适用,但对深层次能力的考查尚欠灵活,落实核心素养的培养不是一蹴而就的,培养学生的综合素质在任何时候都是教学的永恒主题,复习课也不例外.
参㊀考㊀文㊀献
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[2]㊀何伟军.解读立体几何主观题,确立教学对
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