定积分及其应用ppt课件

n
xi 0, f (i )xi 0, i 1
|| T || max{x1, x2 , , xn }
n
b

lim
||T ||0
i 1
f (i )xi

f ( x)dx 0.
a
性质5的推论：（定积分不等式性质）
（1）如果在区间[a, b]上 f ( x) g( x)，
则
b
a
f
(
x
)dx

b
a
g(
x)dx.
(a b)
证明 f ( x) g( x), g( x) f ( x) 0,
b
a[g( x) f ( x)]dx 0,
(a b)
即
b
g( x)dx
b
f ( x)dx 0,
a
a
于是
b
a f ( x)dx

c
b
f
(
x)dx
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
b
b
a 1 dx a
dx b a .
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则
b
a
f
(
x
)dx

0.
(a b)
证明 f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2,,n)
前
积取负号．


a

y f (x)
b
b
特别，当 f (x) 1 时，有a 1 dx (b a)1 b a .
例2 利 用 定 积 分 的 几 何 意 义， 计 算 下 列 积 分
2
(1)
0
xdx

1 2

2
2

2
.
R
(2)
R2 x2 dx R 2
0
4
1
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然:小矩形越多，矩形总面积越接近曲 边梯形面积．
例如，求由曲线y x 2 ,直线y 0, x 0, x 1所围
平面图形的面积。
公元前二百 多年前的阿 基米德就已 会用此法求 出许多不规 则图形的面 积
Aera=?
阿基米德
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限
n
b
a
f
( x)dx

I
lim ||T ||0
i 1
f (i )xi
积分和 或黎曼和
[a, b] 称为
积分下限
被
被
积
积分区间 .
积 函 数
积 表
分 变
黎曼积分
达 式
量
[a , b] 上不可积 .
性质3 假设a c b
b
a
f
( x)dx

c
a
f
( x)dx

b
c
f
( x)dx.
补充：不论 a, b, c的相对位置如何, 上式总成立.
例 若a b c,
c
b
c
a f ( x)dx a f ( x)dx b f ( x)dx
则
b
a
f
(

x)dx
b
f (x) 0, f ( x)dx A 曲边梯形的面积 a b
f ( x) 0, f ( x)dx A 曲边梯形的面积的负值 a

A2

a A1
A3
y f (x)
b
A4
b
f ( x)dx a
A1 A2 A3
A4
它是介于x 轴、函数 f (x) 的图形及两条 直 线 x a, x b 之 间 的 各 部 分 面 积 的 代数 和 ． 在 x 轴 上 方 的 面前积 取 正 号 ；在 x 轴 下 方 的 面
伽德纳
Archimedes
第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形:由连续曲线
y f (x)
y f ( x) ( f ( x) 0)、
A?
x轴与两条直线x a 、 o a
bx
x b 所围成的平面图形 .
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a).
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
例 4
估计积分
1 0 3 sin3
dx 的值. x
解
f
(
x)

3

1 sin 3
x
,
x [0, ],
0 sin3 x 1,
1 4

3

1 sin 3
x

1 3
,
1dx
2阿基米德观察下列演示过程注意当分割加细时矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放观察下列演示过程注意当分割加细时矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程注意当分割加细时矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程注意当分割加细时矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程注意当分割加细时矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程注意当分割加细时矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程注意当分割加细时矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程注意当分割加细时矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程注意
04
0
3

1 sin3
dx x

1dx, 03
4
0
3

1 sin3
dx x

3
.
例 5
估计积分

2
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记||T|| max{x1, x2 , , xn } ，如果不论对[a, b]
怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当|| T || 0 时，和S 总趋于
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
设一物体M 以变速v v(t) 作直线运动, 求该物体从时刻a 到时刻b 的运动路程S .
（1）分割 T : a t0 t1 t2 tn1 tn b
3o. 若 f 在 [a, b]的某一个积分和的极限不存在 ，
或若 f 在 [a, b] 的某两个积分和的极限都存在但 极限值 不相等，则 f ( x) 在 [ a , b ] 上不可积.
4o . 如果 f ( x) 在 [a, b] 上可积 ， 则
b f ( x)dx 某特殊积分和的极限 . a
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2019/7/11
三、定积分的性质
对定积分的补充规定:
（1）当a

b
时， b a
f
(
x
)dx

0
；
（2）当a

b时， b a
f
( x)dx

a b
f
( x)dx .
说明
在下面的性质中，假定定积
分都存在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1
b
b
b
a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx .
证明
b
a[
f
(
x)

g(
x)]dx
n

lim
0
[
i 1
f
(i
)

g(i
)]xi
n
n

lim
0
i 1
f
(i )xi
lim 0
i 1
g(i )xi

b
a
f
( x)dx

b
a g( x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
b
b
(3) x3dx 0
1
y yx
o
2x
y
y R 2 x2
o
Rx
定积分存在定理(可积充分条件)
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时，
则 f ( x)在区间[a, b]上可积.
定理2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上有界， 且只有有限个间断点，则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.
第五章 定积分及其应用
本章主题词：曲边梯形的面积、定积分、变 上限的积分、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分 法、分部积分法、广义积分。
数学不仅在摧毁着物理科学中紧锁的大 门，而且正在侵入并摇撼着生物科学、心理 学和社会科学。会有这样一天，经济的争执 能够用数学以一种没有争吵的方式来解决， 现在想象这一天的到来不再是谎缪的了。
若取T
: 把[a,b]
n
等分,
则
xi

xi

xi 1

ba n
,
取 i xi a
ba n
i ,
(i 1,2,, n)
则当 T 0 n ,
b
n

a
f ( x)dx
lim
T 0 i 1
f (i )xi
n
ba ba
lim f (a
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 0 为常数).
证明
bkf
a
( x)dx

lim
0
n
kf
i 1
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
f (i )xi
k lim 0 i1
f (i )xi
b
k a f ( x)dx.
ti ti ti1 , 令 T max{t1, t2,, tn}，
（2）近似代替 i [ti1 , ti ] , i 1,2,, n.
n
si v( i )ti
（3）求和 S v( i )ti
i 1
n
（4）取极限
S

lim
T 0
i 1
v( i )ti
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取
b
a g( x)dx.
性质5的推论：(绝对值不等式性质)
（2）
b
a
f
( x)dx

b
a
f
( x)dx.
(a b)
证明 f ( x) f ( x) f ( x) ,
b
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx,
即
b
a
f
( x)dx
播放
曲边梯形如图所示：
（1）分割T : a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间[a, b] 分成 n 个小区间[xi1, xi ]，长度为
xi xi xi1;
y
y f (x)
（2）近似代替
i [ xi1 , xi ] ,
i 1, 2, , n.
i)
.
n i1
n
n
例1
1
利用定义计算定积分0
x
2dx.
解 xi
T 把 [0,1] n xi xi1
等分，xi
1， n
取i
i
n

(i 1, xi ，(i
, n) , 1,2,, n)
n f (i )xi
i 1
n


2 i
xi
i 1
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
性质6 设M 及m 分别是函数
f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
b
则 m(b a) a f ( x)dx M (b a) .
证明 m f ( x) M ,
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx,
n
若
lim
T 0 i1
f (i )xi
不存在，则称
f (x) 在
注意:
1o. 定积分是积分和的极限，其结果是一个数，
它只与被积函数 f 和积分区间[a, b] 有关，而与
所用的积分变量的记号无关 .
即
b
b
b
f ( x)dx f (t)dt f (u)du .
a
a
a
2o. 当 T 0, 分点个数n ;但反之不然.
n
xi2xi
i 1

n i 1

i 2 n

1 n

1 n3
n
i2
i 1
1 n(n 1)(2n 1)
n3
6
,
T 0 n
1 x2dx 0
n
lim
T 0 i1

i
2x
i
lim
n
n(n

1)(2n 6n3

1)

1. 3
定积分的几何意义
n
曲边梯形面积为
A
lim
T 0 i 1
f (i )xi
求曲边梯形面积所用的方法步骤：
分割、近似代替、求和、 取极限 .
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是 时 间 间 隔 [T1 ,T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.

b
a
f
( x)dx .
(a b)
说明： | f ( x)|在区间[a,b]上的可积性是显然的.
例 3 比较积分值 2 e xdx和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f
(x)
0,

0 (ex 2

x)dx

0,

o a x1
b xi1 i xi xn1