2第二节对数频率特性

第二节对数频率特性
一、对数频率特性曲线（波德图，Bode 图）
Bode 图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。

⒈波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w 的对数值log w 进行线性分度的。

但为了便于观察仍标以w 的值，因此对w 而言是非线性刻度。

w 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程(或十倍频)，用dec 表示。

类似地，频率w 的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct 表示。

横坐标的单位是rad /s 。

如下图所示：
Dec
Dec
Dec
Dec
1
-2-01
2...
∞-w
log 01.00
1
.01
10
100
w
由于w 以对数分度，所以零频率点在－∞处。

1
2
3456789102030
40506080100
一倍频程
一倍频程一倍频程一倍频程
一倍频程
一倍频程
十倍频程
十倍频程
十倍频程
十倍频程
1
2
w
w
lg 更详细的刻度如下图所示
ω１2345678910
lg ω0.0000.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954 1.000
纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以L(w)=20log A(w) 表示。

其单位为分贝(dB)。

直接将20log A(w) 值标注在纵坐标上。

相频特性j (w)曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。

一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。

当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。

幅值和增益的关系为：增益=20log (幅值)
幅值A(w ) 1.00 1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.6210.0100100010000
对数幅值
02468101520406080 20lg A(w )
幅值A(w ) 1.000.790.630.500.390.320.180.100.010.0010.0001
对数幅值
0-2-4-6-8-10-15-20-40-60-80 20lg A(w )
使用对数坐标图的优点：
⏹可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。

⏹可以将乘法运算转化为加法运算。

∏∏∏∏===-=++++++=
12
2
1
1
1
2
21
221
)
21()1()21()1()(n j n l l
l
l j
m k s
T k k k m i i s T
s T s T s
e s s s K s G d ζττζτυ
∏∏∏∏===-=+-++-+=
1
2
2
1
1
1
221
221
]
2)1[()1()(]2)1[()1()(n j n l l l l j m k jT k k k
m i i T j T jT j e
T j T j K j G d w ζw w w w ζw w τw υw
⏹所有的典型环节的幅频特性都可以用分段直线(渐近线)近似表示。

⏹
对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。

w
τw w i m i j K j G L ++==∑=1lg 20lg 20)(lg 20)(1
1
w
w w ζw j n j k k k
m k jT j v T j T +-⨯-+-+∑∑==1lg 20lg 202)1(lg 201
21
221
w
ζw l l l n l T j T 2)1(lg 202
2
1
2
+--∑=∑∑∑=-=-=--︒⨯--+=1
2
1
1
11221119012)(n k k m k k k k m i i T tg v T T tg tg w
w w
ζw τw j w w w ζd n l l l l T T T tg ⨯︒---∑=-3.57122
1
221
w log dB L /)(w w
log )
(w j ︒
180︒
-180幅频特性：
；相频特性：K A =)(w 0)(=w j ⒈比例环节：
;
K s G =)(K
j G =)(w 对数幅频特性：⎪⎩
⎪
⎨⎧<=><=>===1
1100
lg 20)(K K K K L 常数w K log 201
>K 1=K K log 201
<K K
log 200
01800)(<≥⎩⎨
⎧︒
-︒
=∠=K K K w j 相频特性：
0≥K 0
<K 二、典型环节的波德图
⒉积分环节的频率特性：s K
s G =
)(频率特性：j
e K K j j K j G 2)(π
w
w w w -=-==,log 20log 20log
20)(log 20)(w w
w w -===K K
A L 20
)(10;
0)(,11-=====w w w w L L K 时，当时，当2)0()(1
πw
w j -
=-=-K tg w
w K A =)(1
=K w
dB L /)(w w
)
(w j ︒
-9020-40
-20
40110100
1
10100
10
=K 0
)(;log 20)(,11====≠w w w w L K K L K 时，当时，当可见斜率为－20dB/dec
当有两个积分环节时可见斜率为
w w j w
w T tg T K A 1
2
2)(,1)(--=+=⒊惯性环节的频率特性：
1)(+=Ts K s G 1
)(+=w w Tj K
j G ①对数幅频特性：，为了图示简单，采用分段直线近似表示。

方法如下：
221log 20log 20)(log 20)(w w w T K A L +-==低频段：当时，，称为低频渐近线。

1<<w T K L log 20)(≈w 高频段：当时，，称为高频渐近线。

这是一条斜率为-20dB/Dec 的直线（表示每增加10倍频程下降20分贝）。

1>>w T w w T K L log 20log 20)(-≈w 当时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当时，趋近于高频渐近线。

0→w ∞→w 低频高频渐近线的交点为：，得：
，称为转折频率或交换频率。

w T K K log 20log 20log 20-=T
T o 11==w w ，
10
0-10-20-90°
-45°0°T 1T
201T 101T 51T 21T
5T 10T
20T
2渐近线
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。

Dec
dB /20
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
当时，误差为：o w w ≤2
211log 20w
T +-=∆当时，误差为：o w w >w
w T T log 201log 202
22++-=∆最大误差发生在处，为
T
o 1
==w w )
(31log 202
2max dB T -≈+-=∆w w T
0.1 0.2 0.5 1 2 510L (w ),dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 渐近线,dB 0 000-6 -14 -20 误差,dB
-0.04 -0.2
-1
-3-1
-0.2
-0.04
-4
-3-2-10T 1T
101
T
51T 21T 5T
10T 2
②相频特性：w
w j T tg 1
)(--=作图时先用计算器计算几个特殊点：。

时，当时，当时，当2
)(;4)1(1;0)0(0π
j w πj w j w -=∞∞=-====T T 由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w 0, －45°)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。

w T 0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
0.3
0.5
0.7
1.0
j(w )-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45w T
2.0
3.0
4.0
5.07.010*******j(w )
-63.4
-71.5
-76
-78.7
-81.9
-84.3
-87.1
-88.9
-89.4
当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向右平移即可。

而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。

⒋振荡环节的频率特性：2
22
22212)(n
n n
s s K Ts s T K s G w ζw w ζ++=++=讨论时的情况。

当K =1时，频率特性为：
10<<ζT
j T j G ζw w w 2)1(1
)(2
2+-=2
222)2()1(1
)(T T A ζw w w +-=
幅频特性为：
22112)(w
ζw w j T T tg --=-相频特性为：
2
2
22
)2()1(log 20)(log 20)(T T A L ζw w w w +--==对数幅频特性为：
低频段渐近线：0
)(1≈<<w w L T 时，高频段渐近线：w w w w T T L T log 40)(log 20)(12
22
-=-≈>>时，两渐近线的交点称为转折频率。

w >w 0后斜率为-40dB/Dec 。

o 1
=w
由图可见：对数幅频特性曲线有峰值。

3
.0,1,10===ζT K T
o 1=
w Dec
dB /40-1
6.010
)(2
++=s s j G w
对求导并令等于零，可解得的极值对应的频率。

)(w A )(w A p w T
p 2
21ζw -=
该频率称为谐振峰值频率。

可见，谐振峰值频率与阻尼系数ζ
有关，当时，；当时，无谐振峰值；
当时，有谐振峰值。

707
.02
1
==ζ0=p
w 2
1
>ζ2
1
<
ζ2
121)(ζ
ζw -=
=p p A M 谐振频率，谐振峰值
当，，。

0w w
=ζw 21
)(0=A ζw 2lg 20)(0-=L 因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能
有很大的误差。

2
2
22
)
2()1(1
)(T T A ζw w w +-=
由幅频特性
振荡环节的波德图
T 1T
101T 51T 21T 5T
10T 2-10
10
20-180°
-150°-120°-60°
-30°
0°
-90°渐近线
.17.05.03.02.01.0======ς
ςςςςς0
.17.05.03.02.01.0======ς
ςςςςς(deg))
(w j )
()(dB L w -8
-4
481216T
1T
101T
51T
21T 5
T
10T
26
.05.04.03.02.01.0======ς
ςςςςς0
.18.07.0===ςςς左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。

上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。

Dec dB /40-当0.3<ζ<0.8，误差约为±4.5dB
相频特性：2
21
12)(w
ζw w j T T
tg --=-几个特征点：。

πw j w π
w j w w j w -=∞=-====)(,;2
)(,1;0)(,0T 振荡环节的波德图
相频特性曲线在半对数坐标中关于( w 0, －90°)点是斜对称的。

这里要说明的是当时，,当时，。

此时若根据相频特性的表达式用计算器
来计算只能求出±90°之间的值(tg -1函数的主值范围)，也就是
说当时，用计算器计算的结果要经过转换才能得到。

即当时，用计算器计算的结果要减180°才能得到。

或用下式计算
)1,0(T ∈w )90,0(︒-∈)(w j )
,1
(∞∈T
w )90()(︒-︒-∈180,w j ),1
(∞∈T w ),1
(∞∈T
w ζw ζw w j 2
1
2
1
11)(----+-=--T tg
T tg
⒌微分环节的频率特性：
微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。

传递函数分别为：
1
2)(1)()(2
2++=+==Ts s T s G Ts s G s s G ζ频率特性分别为：
T
j T j G jT j G j j G ζw w w w w w w 21)(1)()(2
2
+-=+==微分环节的频率特性
纯微分环节的波德图
①纯微分：
2
)(log 20)(log 20)()(πw j w w w w
w =
===A L A 1
10
0.1
)
/(s rad w )
)((dB L w 20
20-dec
dB /20-1
10
0.1
)
/(s rad w )(deg)
(w j ︒
-900
︒
90dec
dB /20微分环节
微分环节
积分环节
积分环节
②一阶微分：
这是斜率为+20dB/Dec 的直线。

低、高频渐近线的交点为T
1
=
w 相频特性：几个特殊点如下
2
)(4)(10)(0π
w j w πw j w w j w =
∞=====，；，；，T 相角的变化范围从0到。

2
π
低频段渐近线：
0)(log 201)(1=≈<<w w w A A T ，时，当高频段渐近线：
w w w w w T L T A T log 20)()(1=≈>>，时，当对数幅频特性（用渐近线近似）：
一阶微分环节的波德图
w w j w w T tg T A 1
2
2
)(1)(-=+=，2
2
1lg 20)(w
w T L +=
10
0-10-20
-90°
-45°0°T 1T 201T 101T 51T 21T
5T 10T
20T
2渐近线
100
30
2090°45°0°T 1T
201T 101
T 51T 21T
5T
10T
20
T
2渐近线
))((dB L w )(deg)
(w j 一阶微分环节的波德图
惯性环节的波德图
Dec
dB /20-Dec
dB /20
幅频和相频特性为：
2
21
2
2
22
12)()2()1()(w
ζw w j ζw w w T T
tg T T A -=+-=-，③二阶微分环节：1
2)(2
2++=Ts s T s G ζ低频渐近线：0
)(1≈<<w w L T 时，高频渐近线：
w
ζw w w w T T T L T log 40)2()1(lg 20)(12
222≈+-=>>时，转折频率为：
，高频段的斜率+40dB/Dec 。

T
o 1
=w 相角：π
w j w π
w j w w j w =+∞=====)(,;2
)(,1;0)(0T 时，当可见，相角的变化范围从0~180度。

2
222)
2()1(lg 20)(T T L ζw w w +-=
T
1T
101T
51T
21T
5T
10T
21
.02.03.05.07.00.1======ς
ςςςςς)(deg)(w j )
)((dB L w 10
-10
-20
180°
150°120°60°30°
0°
90°渐近线
1
.02.03.05.07.00.1======ς
ςςςςςT 1T 101T 51T 21T 5T
10T 2-10
10
20-180°
-150°
-120°-60°
-30°
0°
-90°渐近线
.17.05.03.02.01.0======ς
ςςςςς0
.17.05.03.02.01.0======ς
ςςςςς
(deg))
(w j )
()(dB L w Dec
dB /40-Dec
dB /40
⒍延迟环节的频率特性：传递函数：s e s G τ-=)(频率特性：τw
w j e j G -=)(幅频特性：1)(=w A 相频特性：
(deg)
3.57)
()(wτwτw j -=-=rad 延迟环节的Bode 图
100-100°
τ1
τ
101τ
51τ
21τ
5
τ
10
τ
2
-540°
-450°-360°-270°-180°-90°)
)((dB L w )
(w j 对数幅频特性：
0)(=w L
小结
❑比例环节和积分环节的频率特性
❑惯性环节的频率特性—低频、高频渐近线，斜率－20，转
折频率❑振荡环节的频率特性—波德图：低频、高频渐近线，斜率
－40，转折频率❑微分环节的频率特性—有三种形式：纯微分、一阶微分和二阶微分。

分别对应积分、一阶惯性和振荡环节❑延迟环节的频率特性
T
1
0=
w T
1
0=
w
三、开环系统的Bode 图
例：已知，画出其对数坐标图。

)
40014)(5.0()
1(2000)(2
++++=s s s s s s G 解：⒈将传函写成时间常数形式)
1035.00025.0)(12()
1(10)(2++++=
s s s s s s G 这可以看作是由五个典型环节构成的
10)(1=s G s
s G 1
)(2=
1
21
)(3+=
s s G 1
)(4+=s s G 1035.00025.01
)(2
5++=s s s G 1
)20
135.02()201(122+⨯⨯+=s s 10)(1=w j G w
w j j G 1
)(2=
1
21
)(3+=
j j G w w 1
)(4+=w w j j G j G w 111
)(225=
三、开环系统的Bode 图
绘制对数幅频特性通常只画出近似折线，如需要较精确的曲线，就对近似折线进行适当修正。

绘制步骤如下：⒈把G (s )化成时间常数形式
∏∏∏∏===-=++++++=
1
2
2
1
1
1
221
221
)
21()1()21()1()(n j n l l l l j m k s
T k
k k m i i s T s T s T s e
s s s K s G d ζττζτυ式中T d 为延迟环节的延迟时间，m 1+2m 2=m ，n +n 1+2n 2=n ⒉求出20lg K 。

⒊求出各基本环节的转折频率，并按转折频率排序，可列表：
序号环节转折频率转折频率后
斜率
累积斜率
1K———2(j w)-n—－20n－20n 3各个环节按从小到大排序
的转折频率
……4…………
⒋确定低频渐近线，其斜率为－n×20dB/dec,该渐近线或其延长线(当w<1的频率范围内有转折频率时)穿过(w=1,L(w)=20lg K)。

⒌低频渐近线向右延伸，依次在各转折频率处改变直线的斜率，其改变的量取决于该转折频率所对应的环节类型，如惯性环节为－20dB/dec，振荡环节为－40dB/dec，一阶微分环节为20dB/dec 等。

这样就能得到近似对数幅频特性。

最后的高频渐近线斜率为：－20(n-m)dB/dec。

⒍如果需要，可对上述折线形式的渐近线作必要的修正(主要在各转折频率附近)，以得到较准确的曲线。

对数相频特性的绘制，通常是分别画出各基本环节的j(w)，然后曲线相加。

实际画图时，可先写出总的相频特性，然后用计算器每隔十倍频程(或倍频程)算一个点，用光滑曲线连接即可。

上述方法既可以画开环频率特性，也可以画闭环频率特性。

在控制工程中主要画开环频率特性。

例：已知，画出其对数坐标图。

)
40014)(5.0()
1(2000)(2
++++=s s s s s s G 解：⒈将传函写成时间常数形式)
1035.00025.0)(12()
1(10)(2++++=
s s s s s s G 这可以看作是由五个典型环节构成的
10)(1=s G s s G 1
)(2=
1
21
)(3+=
s s G 1
)(4+=s s G 1035.00025.01
)(2
5++=s s s G 1
)20
135.02()201(122+⨯⨯+=s s 10)(1=w j G w
w j j G 1
)(2=
1
21
)(3+=
j j G w w 1
)(4+=w w j j G j
j G w w w )20
135.02()201(11
)(225⨯⨯+-=
序号环节转折频率转折频率后
斜率累积斜率
1
K
——
—
2(j w )-1
—－20－2030.5－20－4041+j w
1+20－205
20
－40
－60
w
211j +注意转折频率是时间常数的倒数
w
w 035.0)0025.01(1
2
j +-⒊列表)
1035.00025.0)(12()
1(10)(2++++=
s s s s s s G
-40
-2002040
-270
-225-180-135-90
0.10.2
0.5125102040
100⋅
w
w
L(w )j (w )200
-20
-20
-40
-60
相频特性
2
1
1
1
0025.01035.0290)(w
w
w w w j ---+︒-=---tg tg tg w 0.10.20.512
j(w )-95.8°-104.5 °-109.4 °-110.4 °-106.6 °w 5102050100
j(w )
-106.2 °-117.9 °-181.4 °-252.1 °
-262 °
特别注意相频特性表达式中一项当w ≥20时的计算。

2
1
0025.01035.0w w
---tg
四、最小相位系统和非最小相位系统
定义：在右半s平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在右半s平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传递函数。

在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小，并且最小相位系统的幅频特性的斜率和相频特性的角度之间具有内在的关系。

对最小相位系统：w=0时j(w)=-90°×积分环节个数；
w=∞时j(w)=-90°×(n-m)。

不满足上述条件一定不是最小相位系统。

满足上述条件却不一定是最小相位系统。

11
)(121++=
s T s T s G 11)(122+-=
s T s
T s G s T s T s G 12311
)(-+=
s T s
T s G 12411)(--=
s
e
s T s T s G τ-++=1
1)(125例：有五个系统的传递函数如下。

系统的幅频特性相同。

2
2254321)(1)()()()()(w w w w w w T A A A A A +=
====w
w w j 11
211)(T tg T tg ---=w
w w j 11
212)(T tg T tg ----=w w w j 11
213)(T tg T tg --+=w w w j 11
214)(T tg T tg --+-=wτ
w w w j ⨯--=--3.57)(11
21
5T tg T tg
设，可计算出下表，其中为对数坐标中与
的几何中点。

2110T T =2T =τ1/10T =w 1
1
T
2
1
T w 1/10T 11/T 1
1/T 2
10/T 2
j 1(w )-5.1°-39.3°-54.9°-39.3°
-5.1°
j 2(w )-6.3°-50.7°-90°-129.3°-173.7°
j 3(w ) 6.3°50.7°
90°129.3°173.7°
j 4(w ) 5.1°39.3°54.9°39.3°
5.1°
j 5(w )
-5.7°
-45°
-73°
-96.6°-578.1°
1
/10T
-20
-15-10-50-270°
-225°-180°-135°-90°-45°0°45°90°135°180°11T 21T 2
10T 1101T 11101)
(1w j )
(2w j )
(3w j )
(4w j )
(5w j w
w
)
(w L )
(w j 由图可知最小相位系统是指在具有相同幅频特性的一类系统中，当w 从0变化至∞时，系统的相角变化范围最小，且变化的规律与幅频特性的斜率有关系(如j 1(w ))。

而非最小相位系统的相角变化范围通常比前者大(如j 2(w )、j 3(w )、j 5(w ))；
或者相角变化范围虽不大，但相角的变化趋势与幅频特性的变化趋势不一致(如j 4(w ))。

在最小相位系统中，对数幅频特性的变化趋势和相频特性的变化趋势是一致的（幅频特性的斜率增加或者减少时，相频特性的角度也随之增加或者减少），因而由对数幅频特性即可唯一地确定其相频特性。

伯德证明，对于最小相位系统，对数相频特性在某一频率的相位角和对数幅频特性之间存在下述关系：
⎰∞
∞-=du
u
ctgh du dA 2
ln 1
)(0πw j 式中j (w 0)为系统相频特性在观察频率w 0处的数值，单位为弧度；
u =ln(w /w 0)为标准化频率；A =ln|G (j w )|；d A /d u 为系统自然对数幅频特性的斜率，当L(w )的斜率等于20dB/dec 时，d A /d u =1；
2
22
2ln 2ln u u
u u e
e e e u ctgh --
-+=为加权函数，曲线如图
函数
-4.6-2.30 2.3 4.600.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.850.01
10.110100u=ln(w/w 0
)w/w
上述公式称为伯德公式。

该式说明对于最小相位系统，其幅频特性与相频特性是紧密联系的，当给定了幅频特性，其相频特性也随之而定，反之亦然。

因此，可只根据幅频特性（或只根据相频特性）对其进行分析或综合；而非最小相位系统则不然，在进行在u=0(w =w 0)时；
∞→2
ln u
ctgh 在u=±2.3，即在w 0上下十
倍频程处，；
2.02
ln =u
ctgh 偏离此点，函数衰减很快。

即相频特性在w 0处的数值
主要决定于在w 0附近的对数幅频特性的斜率。

在u=±0.69（在w 0上下倍频
程处，；
1
.12ln =u
ctgh
例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。

解：⒈由于低频段斜率为-20dB/dec 所以有一个积分环节；
⒉在w =1处，L(w )=15dB ，可得
20lg K =15，K =5.6
⒊在w =2处，斜率由-20dB/dec 变为-40dB/dec ，故有惯性环节1/(s /2+1)⒋在w =7处，斜率由-40dB/dec 变为-20dB/dec ，故有一阶微分环节(s /7+1)
)12
1
()
171
(6.5)(++=
s s s s G 2
7
90)(1
1
w
w
w j ---+︒-=tg
tg
1
152
7
-40dB/dec
-20dB/dec
-20dB/dec
L(w )
w
)
21()7
1(6.5)(j j j j G w
w w w +
+
=
例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示,试确定系统的传递函数。

解：⒈由于低频段斜率为-40dB/dec 所以有两个积分环节；
⒉在w =0.8处，斜率由-40dB/dec 变为-20dB/dec ，故有一阶微分环节(s /0.8+1) ⒊在w =30处，斜率由-20dB/dec 变为-40dB/dec ，故有惯性环节1/(s /30+1)⒋在w =50处，斜率由-40dB/dec 变为-60dB/dec ，故有惯性环节1/(s /50+1)
)
150
1)(1301()18.01()(2+++=
s s s s K s G 2
2
2
2)
50
(
1lg 20)30
(
1lg 20lg 20)8
.0(
1lg 20lg 20)(w
w
w w
w +-+--++=K L L(w )
0.83050
4
-20dB/dec
-40dB/dec
-60dB/dec
w
-40dB/dec
在w =4时，L(w )=0，这时可以不考虑转折频率在w =4以上的环节的影响
4
24lg 208.0lg 20lg 20)()4(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≈=w w w w w K L L 04
8.04lg 204lg 208.04lg 20lg 202
2
=⨯=-+=K K 14
8.0=⨯K
2
.3=K )
150
1)(1301()
18.01(2.3)(2+++=
s s s s s G。