2017-2018年天津一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

（Ⅱ）当 x∈[0，+∞）时，不等式 f（x）≤x 恒成立，求实数 a 的取值范围． （Ⅲ）求证： 中 n∈N*，e 是自然对数） ． （其
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2017-2018 学年天津一中高二 （下） 期中数学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题： 1． （3 分）设复数 z＝1+i， （i 是虚数单位） ，则 z2+ ＝（ A．﹣1﹣i 【解答】解：z2+ ＝ 故选：C． 2． （3 分） 曲线 A．e2 在点 （4， e2） 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ B．2e2 ； C．4e2 D． ） B．﹣1+i ＝2i+ C．1+i ） D．1﹣i ＝2i+1﹣i＝1+i．
14． （3 分）对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解式： 22＝1+3 23＝3+5 24＝7+9 … 按此规律，54 的分解式中的第三个数为 ． 32＝1+3+5 33＝7+9+11 42＝1+3+5+7 … …
15． （3 分）已知函数 f（x）＝x4+ax3+2x2+b，其中 a，b∈R．若函数 f（x）仅在 x ＝0 处有极值，则 a 的取值范围是 16． （3 分）设函数 f（x）＝ 不等式 三、解答题 17．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 Sn＝2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且 S3＝15． （1）求 a1，a2，a3 的值；
2017-2018 学年天津一中高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题： 1． （3 分）设复数 z＝1+i， （i 是虚数单位） ，则 z2+ ＝（ A．﹣1﹣i 2． （3 分） 曲线 A．e2 B．﹣1+i C．1+i ） D．1﹣i ）
在点 （4， e2） 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ B．2e2 C．4e2 D． ）
）
D．f（x）＝﹣x+lnx
【解答】解：对于 A，f（x）＝sin2x 是周期函数，在（0，+∞）上无单调性，∴ 不满足题意； 对于 B，∵f（x）＝xex，∴f′（x）＝（1+x）ex， ∴当 x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数； 对于 C，∵f（x）＝x3﹣x，∴f′（x）＝3x2﹣1， ∴当 x∈（0， ）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数； x∈（ ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；∴不满足题意； 对于 D，∵f（x）＝﹣x+lnx，∴f′（x）＝﹣1+ ＝ 当 x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
3． （3 分）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ A．f（x）＝sin2x C．f（x）＝x3﹣x B．f（x）＝xex
D．f（x）＝﹣x+lnx
4． （3 分）已知定义在 R 上的可导函数 y＝f（x）的导函数为 f′（x） ，满足 f（x） ＜f′（x） ，且 f（0）＝2，则不等式 A． （﹣∞，0） B． （0，+∞） 的解集为（ C． （﹣∞，2） ） D． （2，+∞）
二、填空题 11． （3 分）已知函数 f（x）＝f'（1）x2+2x+2f（1） ，则 f'（2）的值为 12． （3 分） 曲线 与直线 y＝x﹣1 及 x＝4 所围成的封闭图形的面积为 ． ．
13． （3 分）设 a∈R，若函数 y＝ex+ax，x∈R 有大于零的极值点，则 a 的取值范 围是 ．
5． （3 分） 用数学归纳法证明不等式“1+ + +…+
＜n （n∈N*，n≥2） ”时， ）
由 n＝k（k≥2）不等式成立，推证 n＝k+1 时，左边应增加的项数是（ A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1
6． （3 分）已知函数 f（x）＝
﹣mx（e 为自然对数的底数） ，若 f（x）＞0 在 ） D． （ ，+∞）
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． ，对任意 x1、x2∈（0，+∞） ， ．
恒成立，则正数 k 的取值范围是
（2）求数列{an}的通项公式． 18．已知函数 （Ⅰ）若函数 f（x）在 上为增函数，求正实数 a 的取值范围； 内恰有两个相异的实
（Ⅱ） 若关于 x 的方程 1﹣x+2xlnx﹣2mx＝0 在区间 根，求实数 m 的取值范围．
B． （﹣∞，1）
9． （3 分） 函数 f （x） ＝x3+bx2+cx+d 的大致图象如图所示， 则 x12+x22 等于 （
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A．
B．
C．

D．
10． （3 分）已知 M＝{α|f（α）＝0}，N＝{β|g（β）＝0}，若存在 α∈M，β∈N， 使得|α﹣β|＜n，则称函数 f（x）与 g（x）互为“n 度零点函数“，若 f（x） ＝32﹣x﹣1 与 g（x）＝x2﹣aex 互为“1 度零点函数“，则实数 a 的取值范围为 （ A． （ ） ， ] B． （ ， ] C．[ ， ） D．[ ， ）
【解答】解：如图，y′＝ 故 y′|x＝4＝ e2；
故切线方程为 y﹣e2＝ e2（x﹣4） ； 当 x＝0 时，y＝﹣e2， 当 y＝0 时，x＝2； 故切线与坐标轴所围三角形的面积 S＝ ×2×e2＝e2； 故选：A．
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3． （3 分）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ A．f（x）＝sin2x C．f（x）＝x3﹣x B．f（x）＝xex
19．已知定义在正实数集上的函数 f（x）＝ x2+2ax，g（x）＝3a2lnx+b，其中 a ＞0．设两曲线 y＝f（x） ，y＝g（x）有公共点，且在该点处的切线相同． （Ⅰ）用 a 表示 b，并求 b 的最大值； （Ⅱ）求证：f（x）≥g（x） （x＞0） ．
20．已知函数 f（x）＝ax2+ln（x+1） ． （Ⅰ）当 时，求函数 f（x）的单调区间；
（0，+∞）上恒成立，则实数 m 的取值范围是（ A． （﹣∞，2） B． （﹣∞， ）
C． （﹣∞，e）
7． （3 分）若点 P 是曲线 y＝x2﹣lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y＝x﹣2 的最小 距离为（ A．1 ） B． C． D．
8． （3 分）设函数 f（x）＝lnx+ax2+bx，若 x＝1 是函数 f（x）的极大值点，则实 数 a 的取值范围是（ A． （﹣∞， ） ） C．[1，+∞） D．[ ，+∞） ）