度第一学期北师大版九年级数学_13_正方的性质和判定_同步练习作业设计(有答案)

2019-2019学年度第一学期北师大版九年级数学
1.3 正方形的性质和判定同步练习作业设计
考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1.如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（）
A.6cm2
B.8cm2
C.16cm2
D.不能确定
2.一组对边平行相等，并且对角线互相垂直相等的四边形是（）
A.矩形
B.正方形
C.等腰梯形
D.菱形
3.正方形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）一定是（）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.平行四边形
4.如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90∘，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）
A.3
B.2
C.4
D.8
5.在正方形ABCD中，AB=10cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）
A.10+5√2
B.10+√2
C.20+5√2
D.10+10√2
6.如图，点O是正方形ABCD内一点，且OA=OD=AB，则∠OBC的度数为（）
A.15∘
B.20∘
C.25∘
D.75∘
7.如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积
是（单位：平方厘米）（）
A.40
B.25
C.26
D.36
8.已知正方形的边长为2，则它的对角线的长为（）
A.2
B.√32
C.4
D.√8．
9.某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现在园地上建一个花园（即每个图中的
阴影部分），使花坛面积是园地面积的一半，以下图中的设计不合要求的是（）
A. B.
C. D.
10.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5∘，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）
A.1
B.√2
C.4−2√2
D.3√2−4
二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
11.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90∘，AB=AD，若四边形ABCD的面积是49cm2，则AC长是________cm．
12.如图，四边形ABCD中，∠ABE=90∘，AB // CD，AB=BC=6，点E为BC边上一点，且
∠EAD=45∘，ED=5，则△ADE的面积为________．
13.如图，正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，且CE=AC，AE交DC于F，则
∠AFC=________．
14.如图所示，四边形ABCD和EBGF都是正方形，则阴影部分面积为________cm2．
15.如图所示，多边形ABCFDE中，AB=8，BC=12，ED+DF=13，AE=CF，则多边形ABCFDE的面积是________．
16.如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，正方形A n B n C n D n
的面积为________．（用含有n的式子表示，n为正整数）
17.探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90∘，AB=AD，AE⊥CD于点E．若AE=10，求四边形ABCD的面积．
应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180∘，AB=AD，AE⊥BC于点E．若
AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为________．
18.如图，网格中的每个小正方形的边长为1，如果把阴影部分剪拼成一个正方形，那么这个新
正方形的边长是________．
19.现有一张边长等于a(a>16)的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45∘角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是________（填写图形的形状）（如图），它的一边长是
________．
20.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，a n，则a101=________．
三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）
21.如图，在矩形ABCD中，AD=2CD，E是AD的中点，BF // CE，CF // BE．求证：四边形BECF是正方形．
22.已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE=MN，∠MCE= 35∘，求∠ANM的度数．
23.已知，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH=CE，K在BC边上，且BK=CE，求证：四边形AKFH为正方形．
24.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作AC的平行线，过点C作DB 的平行
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线，它们相交于点E．求证：四边形OBEC是正方形．
25.如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN // BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
(1)判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
(3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由．
26.如图，正方形AOCD中，点B是OC上任意一点，以AB为边作正方形ABEF．
①连接DF，求证：∠ADF=90∘；
②连接CE，猜想∠ECM的度数，并证明你的结论；
③设点B在线段OC上运动，OB=x，正方形AOCD的面积为16，正方形ABEF的面积为y，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
答案
1.B
2.B
3.C
4.C
5.D
6.A
7.B
8.D
9.B
10.C
11.7√2
12.15
13.112.5∘
14.450
15.57.75
16.5n
17.152
18.√5
19.正方形8√2cm
20.250
21.证明：∵BF // CE，CF // BE，
∴四边形EBFC是平行四边形，∵在矩形ABCD中，AD=2CD，E是AD的中点，
∴AE=AB=DE=DC，
在△ABE和△CDE中，
∵{
AB=DC
∠A=∠D
AE=DE
，
∴△ABE≅△CDE(SAS)，
∴BE=EC，∠AEB=∠DEC=45∘，
∴∠BEC=90∘，
∴四边形EBFC是正方形．
22.解：如图，过M作MG // AB交AD于G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠NGM=∠A=∠B=90∘，且AB=MG=CD，
在Rt△GMN和Rt△BCE中
{MN=EC
GM=BC
∴△GMN≅△BCE(HL)，
∴∠ANM=∠CEB，
又∵∠MCE=35∘，
∴∠CEB=90∘−35∘=55∘∘，
∴∠ANM=55∘．
23.证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠DCB=∠B=∠ADC=90∘，∠GCE=∠E=∠GFE=∠CGF=90∘，
∴∠ADH=∠HGF=∠E=∠B=90∘，
∵DH=CE，BK=CE，
∴BK=GF=DH=EF，KE=GH=AB=AD，
在△ABK、△KEF、△HGF、△ADH中
{
AB=KE=HG=AD
∠B=∠E=∠HGF=∠ADH
BK=EF=GF=DH
∴△ABK≅△KEF≅△HGF≅△ADH，
∴AK=KF=HF=AH，∠BAK=HAD，
∵∠BAD=90∘，
∴∠HAK=∠HAD+∠DAK=∠BAK+∠DAK=∠BAD=90∘，
∴四边形AKFH为正方形．
24.解：∵BE // OC，CE // OB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，AC⊥BD，
∴∠BOC=90∘，
∴四边形OBEC是矩形，
∵OC=OB，
∴四边形OBEC是正方形．
25.解：(1)∵MN // BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠OEC=∠ACE，
∴OE=OC，
同理可得：OC=OF，
∴OE=OF；(2)当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：
∵OA=OC，OE=OF（已证），
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ACE=1
2∠ACB，∠ACF=1
2
∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF=1
2(∠ACB+∠ACG)=1
2
×180∘=90∘，
即∠ECF=90∘，
∴四边形AECF是矩形；(3)当△ABC是直角三角形时，即当∠ACB=90∘时，四边形AECF 会是正方形；
理由：由(2)得，当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵∠ACB=90∘，CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB=45∘，
∴∠OEC=∠ECB=45∘，
∴∠EOC=90∘，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．26.(1)证明：∵正方形AOCD，
∴OA=AD，∠OAD=90∘，
∵正方形ABEF，
∴AB=AF，∠BAF=90∘，
∴∠OAB=∠DAF，
∴△AOB≅△ADF，
∴∠ADF=∠O=90∘．
(2)猜想∠ECM的度数为45∘
证明：如图，过E点作EN⊥CD，垂足为N，∵∠DAF+∠AFD=∠AFD+∠NFE=90∘，∴∠DAF=∠NFE，
在△ADF和△FNE中
{
∠ADF=∠FNE
∠DAF=∠NFE
AF=EF
，
∴△ADF≅△FNE(AAS)，
∴FD=EN，AD=FN，
∴CD=FN，
∴FD=CN=EN，
∵EN⊥CD，
∴三角形CEN为等腰直角三角形，
∴∠NCE=45∘，
∴∠ECM=45∘．
(3)解：∵∠O=90∘，
∴AB=√OA2+OB2，
∵正方形AOCD的面积为16，
∴OA=4，
∴AB2=16+x2，
∴y=16+x2，
∵点B在线段OC上运动，
∴0<x≤4．
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