高中数学人教A版必修二课件： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
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追求卓越，崇尚一流。
主编：齐继鹏
2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系
三维目标
1．知识与技能 正确理解空间中直线与直线的位置关系， 特别是两直线 的异面关系． 2．过程与方法 以公理 4 和等角定理为基础， 正确理解两异面直线所成 角的概念以及它们的应用． 3．情感、态度与价值观 进一步培养学生的空间想象能力， 以及有根有据、 实事 求是等严谨的科学态度和品质．
(2)对于折叠问题中的异面直线的判断，可以先引导学 生把图画在纸上，复原成几何体来观察，也可以直接画出 几何体的直观图，再根据定义来判断； (3)公理 4 是空间等角定理的基础，而等角定理又是定 义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系， 准确把握两异面直线所成角的概念．
新课导入
[导入一] 创设情景、导入课题 问题 1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题 2：没有公共点的直线一定平行吗？ 问题 3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？ 1．通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异 面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2．师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？(板书课题)
【变式巩固】 如图 2－1－11，G，H，M，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱 的中点，则表示直线 GH 与 MN 是异面直线的图形有________．
图 2－1－11
[答案]
②④
[解析] ①③中，GM∥HN，所以 G，M，N，H 四点共面， 从而 GH 与 MN 共面；②④中，根据异面直线的判定定理，易 知 GH 与 MN 异面．
典例类析
► 题组一 异面直线的判定 【例题演练】
例 已知：如图 2－1－10 是空间四边形 ABCD，求证：它 的对角线 AC 和 BD 是异面直线．
图 2－1－10
证明：设 BC 和 CD 所确定的平面为 α，则对角线 BD 在 平面 α 内，对角线 AC 与平面 α 交于 BD 外一点 C，且 A 点 在平面 α 外，A∈AC，所以 AC 和 BD 是异面直线．
►
题组二
证明空间中两直线平行 【例题演练】
例 1 [2013· 西安期末] 点 E，F，G，H 分别为空间四边形 ABCD 中 AB，BC，CD，AD 的中点，若 AC＝BD，且 AC 与 BD 所成角的大小为 90°，则四边形 EFGH 是( ) A．菱形 B．梯形 C．正方形 D．空间四边形
图 2－1－9
(1)a′与 b′所成的角的大小只由 a，b 的相互位置来确定， 无关 与 O 的选择________ ，为了简便，点 O 一般取在两直线中的 一条直线上； (2)两条异面直线所成的角的范围是：θ∈(0°，90°]； (3)当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条 a⊥b 异面直线互相垂直，记作__________． [思考] 试总结求两条异面直线所成角的一般步骤？
教学重点
[重点] 异面直线的概念；公理 4 及其应用．
教学难点
[难点] 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求 法．
教学建议
(1)异面直线的教学，应遵循由具体例子到抽象概念的 原则，除了正例外，还要注意使用反例以帮助学生辨析．特 别 是 要让 学生 理解 “ 不 同在 任 何一 个平 面内的 两 条 直 线”，是指这两条直线不能同在任何一个平面内，即这两 条直线既不平行也不相交；
同一平面内，有且只有一个公共点
符号语言：设 a，b，c 是三条直线， a∥b
a∥c ⇒__________ ． c∥b
1．公理 4 又叫平行公理，公理的实质是说平行具有传递 性，在平面内、空间内这个性质都适用． 2．公理 4 作用是：判断空间两条直线是否平行．
► 知识点四 空间中的等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 ． ________________ [ 探究 ] 当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时， 试问两个角在什么情况下相等、互补？
新课感知
在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过( 假设它们的轨迹为 直线)，请同学们讨论这两直线的位置关系．
解：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系是不平行 也不相交．
自学探究
► 知识点一 异面直线的定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线．两条直 ___________________________________ 既不相交也不平行 ． 线是异面直线即等价于这两条直线__________________ [ 思考] 若两条直线分别在两个不重合的平面内，则它们是否一 定为异面直线？
[导入二] [事例导入] 观察长方体(图 1)，发现长方体 ABCD—A′B′C′D′ 中， 线段 A′B 所在的直线与线段 C′C 所在直线的位置关 系如何？
图1
[答案] 线段 A′B 所在的直线与线段 C′C 所在的直线 既不平行也不相交，所以线段 A′B 所在的直线与线段 C′C 所在的直线为异面直线．
解：不一定，当两条直线在两个平面内时，它们也可能相 交或平行，此Байду номын сангаас共面，只有不相交也不平行时才异面．
► 知识点二 空间两条直线的位置关系 空间的两条直线有如下三种关系：
； 相交直线： 共面直线： 同一平面内，没有公共点 ； 平行直线： Ｗ. 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点 ► 知识点三 公理 4 互相平行 ． 文字语言：平行于同一条直线的两条直线_________
解：当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时，两个角 相等；当两个角的一组边的方向相同，而另一组边的方向相反时， 这两个角互补．
► 知识点五 异面直线所成的角 已知两条异面直线 a，b，经过空间中任一点 O 作直线 a 锐角(或直角) 叫做异面直 ′∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的____________ 线 a 与 b 所成的角(夹角)．如图 2－1－9 所示：
解：求两条异面直线所成角的一般步骤： (1) 作：根据异面直线的定义，用平移法作出异面直线所 成的角； (2)证：证明作出的角就是要求的； (3)求：求角度，常利用三角形； (4) 答：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直 线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直 线所成的角．
主编：齐继鹏
2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系
三维目标
1．知识与技能 正确理解空间中直线与直线的位置关系， 特别是两直线 的异面关系． 2．过程与方法 以公理 4 和等角定理为基础， 正确理解两异面直线所成 角的概念以及它们的应用． 3．情感、态度与价值观 进一步培养学生的空间想象能力， 以及有根有据、 实事 求是等严谨的科学态度和品质．
(2)对于折叠问题中的异面直线的判断，可以先引导学 生把图画在纸上，复原成几何体来观察，也可以直接画出 几何体的直观图，再根据定义来判断； (3)公理 4 是空间等角定理的基础，而等角定理又是定 义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系， 准确把握两异面直线所成角的概念．
新课导入
[导入一] 创设情景、导入课题 问题 1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题 2：没有公共点的直线一定平行吗？ 问题 3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？ 1．通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异 面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2．师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？(板书课题)
【变式巩固】 如图 2－1－11，G，H，M，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱 的中点，则表示直线 GH 与 MN 是异面直线的图形有________．
图 2－1－11
[答案]
②④
[解析] ①③中，GM∥HN，所以 G，M，N，H 四点共面， 从而 GH 与 MN 共面；②④中，根据异面直线的判定定理，易 知 GH 与 MN 异面．
典例类析
► 题组一 异面直线的判定 【例题演练】
例 已知：如图 2－1－10 是空间四边形 ABCD，求证：它 的对角线 AC 和 BD 是异面直线．
图 2－1－10
证明：设 BC 和 CD 所确定的平面为 α，则对角线 BD 在 平面 α 内，对角线 AC 与平面 α 交于 BD 外一点 C，且 A 点 在平面 α 外，A∈AC，所以 AC 和 BD 是异面直线．
►
题组二
证明空间中两直线平行 【例题演练】
例 1 [2013· 西安期末] 点 E，F，G，H 分别为空间四边形 ABCD 中 AB，BC，CD，AD 的中点，若 AC＝BD，且 AC 与 BD 所成角的大小为 90°，则四边形 EFGH 是( ) A．菱形 B．梯形 C．正方形 D．空间四边形
图 2－1－9
(1)a′与 b′所成的角的大小只由 a，b 的相互位置来确定， 无关 与 O 的选择________ ，为了简便，点 O 一般取在两直线中的 一条直线上； (2)两条异面直线所成的角的范围是：θ∈(0°，90°]； (3)当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条 a⊥b 异面直线互相垂直，记作__________． [思考] 试总结求两条异面直线所成角的一般步骤？
教学重点
[重点] 异面直线的概念；公理 4 及其应用．
教学难点
[难点] 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求 法．
教学建议
(1)异面直线的教学，应遵循由具体例子到抽象概念的 原则，除了正例外，还要注意使用反例以帮助学生辨析．特 别 是 要让 学生 理解 “ 不 同在 任 何一 个平 面内的 两 条 直 线”，是指这两条直线不能同在任何一个平面内，即这两 条直线既不平行也不相交；
同一平面内，有且只有一个公共点
符号语言：设 a，b，c 是三条直线， a∥b
a∥c ⇒__________ ． c∥b
1．公理 4 又叫平行公理，公理的实质是说平行具有传递 性，在平面内、空间内这个性质都适用． 2．公理 4 作用是：判断空间两条直线是否平行．
► 知识点四 空间中的等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 ． ________________ [ 探究 ] 当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时， 试问两个角在什么情况下相等、互补？
新课感知
在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过( 假设它们的轨迹为 直线)，请同学们讨论这两直线的位置关系．
解：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系是不平行 也不相交．
自学探究
► 知识点一 异面直线的定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线．两条直 ___________________________________ 既不相交也不平行 ． 线是异面直线即等价于这两条直线__________________ [ 思考] 若两条直线分别在两个不重合的平面内，则它们是否一 定为异面直线？
[导入二] [事例导入] 观察长方体(图 1)，发现长方体 ABCD—A′B′C′D′ 中， 线段 A′B 所在的直线与线段 C′C 所在直线的位置关 系如何？
图1
[答案] 线段 A′B 所在的直线与线段 C′C 所在的直线 既不平行也不相交，所以线段 A′B 所在的直线与线段 C′C 所在的直线为异面直线．
解：不一定，当两条直线在两个平面内时，它们也可能相 交或平行，此Байду номын сангаас共面，只有不相交也不平行时才异面．
► 知识点二 空间两条直线的位置关系 空间的两条直线有如下三种关系：
； 相交直线： 共面直线： 同一平面内，没有公共点 ； 平行直线： Ｗ. 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点 ► 知识点三 公理 4 互相平行 ． 文字语言：平行于同一条直线的两条直线_________
解：当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时，两个角 相等；当两个角的一组边的方向相同，而另一组边的方向相反时， 这两个角互补．
► 知识点五 异面直线所成的角 已知两条异面直线 a，b，经过空间中任一点 O 作直线 a 锐角(或直角) 叫做异面直 ′∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的____________ 线 a 与 b 所成的角(夹角)．如图 2－1－9 所示：
解：求两条异面直线所成角的一般步骤： (1) 作：根据异面直线的定义，用平移法作出异面直线所 成的角； (2)证：证明作出的角就是要求的； (3)求：求角度，常利用三角形； (4) 答：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直 线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直 线所成的角．