p-中值模型

P-中值模型是指在一个给定数量和位置的需求集合和一个候选设施位置的集合下，分别为p 个设施找到合适的位置并指派每个需求点到一个特定的设施，使之达到在工厂和需求点之间的运输费用最低。

P-中值模型一般适用于在工厂或者仓库的选址问题，例如要求在它们和零售商或者顾客之间的费用最少。

P-中值模型也可以通过精确的数学语言进行描述。

再用数学语言进行描述时，需要准确的表达问题的约束条件、目标，还有合理的变量定义。

一般P-中值问题的目标函数是：
Min ij ij N i M
j i y c d ∑∑∈∈ （式1-1）
约束条件为：
N i y
M j ij ∈=∑∈,1 （式1-2）
p x M j j =∑∈ （式1-3）
M
j N i y M j x M j N i x y ij j j ij ∈∈∈∈∈∈∈≤,},1,0{},1,0{,, （式1-5）
式中： N-在研究对象中的n 个客户（需求点），N=（1,2，…，n ）；
i d -第i 个客户的需求量；
M-在研究对象中的m 个拟建设施的候选地点，M=（1,2，…，m ）；
-ij c 从地点i 到j 的单位运输费用；
P-可以建立的设施总数（p ＜m ）；
1，假如在j ∈M 建立设施
j x -j x =
0，其他情况
1，假如客户在i ∈N ，由设施j ∈M 来提供服务。

=-ij ij y y
0，其他的情形
式 （1-1）是P —中值模型的目标函数，约束条件式（1-2）保证每个客户（需求点）只有一个设施来提供相应的服务，约束条件式（1-3）限制了总的设施数目为个，约束条件式（1-4）有效地保证没有设施的地点不会有客户对应。

从上面的两种P-中值模型不同表达方式中，可以看出，求解一个P-中值模型需要解决两方面的问题：
（a ） 选择合适设施位置（数学表达中的x 变量）。

（b ） 指派客户到相应的设施中去（表达式中的y 变量）。

一旦设施的位置确定之后，再确定每个客户到不同的设施中，使费用总和C ij 最小就十分的简单了。

与覆盖模型相似，求解一个P-中值模型的设施选址问题，主要有两大类的方法：（式1-4）
（式1-6）
精确计算法和启发式计算法。

由于P-中值模型是NP-hard问题，因此精确计算法一般只能求解规模较小的P-中值问题，下面介绍一种求解P-中值模型的启发式算法——贪婪取走启发式算法（Greedy Drop—ping Heuristic Algorithm）。

这种算法的基本步骤如下：P-中值模型贪婪取走算法：
第一步：令当前选中设施点数k=m，即将所有m个候选位置都选中。

第二步：将每个客户指派给k个设施点中举例最近的一个设施点。

求出总运输费用Z。

第三步：若k=p，输出k个设施点及各客户的指派结果，停止；否则，转第四步。

第四步：从k个设施候选点中确定一个取走点，满足：假如将它取走并将它的客户指派给其他的最近设施点后马总费用增加量最小。

第五步：从候选点集合中删去取走点，令k=k-1，转第二步。