2022年江苏常州中考数学试题及答案详解

2022年江苏常州中考数学试题及答案详解
（试题部分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的)
1. 2022的相反数是()
A.2022
B.－2022
C.1
2 022D.－1
2 022
2. 若二次根式√x−1有意义，则实数x的取值范围是()
A.x≥1
B.x>1
C.x≥0
D.x>0
3.下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是()
A B C D
4. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。

若DE=2，则BC的长是
()
A.3
B.4
C.5
D.6
5.某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y
平方米，则y与x之间的函数表达式为()
A.y=x+50
B.y=50x
C.y=50
x D.y=x
50
6.如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是()
A.垂线段最短
B.两点确定一条直线
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
7.在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y 轴对称.已知点A1(1，2)，则点A2的坐标是()
A.(－2，1)
B.(－2，－1)
C.(－1，2)
D.(－1，－2)
8.某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0~100 km/h的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据。

已知0~100 km/h的加速时间的中位数是m s，满电续航里程的中位数是n km，相应的直线将平面分成了①②③④四个区域(直线不属于任何区域)。

欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在()
A.区域①②
B.区域①③
C.区域①④
D.区域③④
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
9.化简：√8
3=.
10.计算：m4÷m2=.
11.分解因式：x2y+xy2=.
12. 2022年5月22日，中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物种名录》2022版，共收录物种及种下单元约138 000个。

数据138 000用科学记数法表示为.
13.如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1
a 1
b
(填“>”“=”或
“<”)。

14.如图，在△ABC中，E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1，则△ABD 的面积是.
15.如图，将一个边长为20 cm的正方形活动框架(边框粗细忽略不计)扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36 cm时才会断裂。

若
∠BAD=60°，则橡皮筋AC断裂(填“会”或“不会”，参考数据：
√3≈1.732).
16.如图，△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=45°，AC=√2，则☉O的半径是.
17.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DB平分∠ADC.若AD=1，CD=3，则sin∠ABD=.
18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12。

在Rt△DEF中，
∠F=90°，DF=3，EF=4。

用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置(点D与点B重合)平移至终止位置(点E与点A重合)，且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是.
三、解答题(本大题共10小题，共84分。

解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19.( 8分)计算：(1)(√2)2－(π－3)0+3－1； (2)(x +1)2－(x －1)(x +1).
20.( 6分)解不等式组{5x −10≤0,
x +3>−2x,
并把解集在数轴上表示出来。

21.( 8分)为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下(特定微生物、温度、湿度)较快完成降解的环保塑料袋。

调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为A (不使用)、B (1~3个)、C (4~6个)、D (7个及以上)，以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分。

(1)本次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
(2)已知该小区有1 500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户。

调查小组的估计是否合理?请说明理由。

22.( 8分)在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y=x；②函数表达式为y=x2；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；
⑤函数值y随自变量x增大而增大.将这5张小纸条做成5支签，①②放在不透明的盒子A中搅匀，③④⑤放在不透明的盒子B中搅匀。

(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是；
(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签。

求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率。

23.( 8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图象分别与x
(x>0)的图象交于点C，连接OC。

已知轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=k
x
点B(0，4)，△BOC的面积是2。

(1)求b、k的值；
(2)求△AOC的面积。

24.( 8分)如图，点A在射线OX上，OA=a。

如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0<n≤360)到OA'，那么点A'的位置可以用(a，n°)表示。

(1)按上述表示方法，若a=3，n=37，则点A'的位置可以表示为；
(2)在(1)的条件下，已知点B的位置用(3，74°)表示，连接A'A、A'B.求证：
A'A=A'B。

25.( 8分)第十四届国际数学教育大会(ICME－14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字。

八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2 021，表示ICME－14的举办年份。

(1)八进制数3746换算成十进制数是；
(2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值。

26.( 10分)在四边形ABCD中，O是边BC上的一点。

若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”。

(1)正方形“等形点”(填“存在”或“不存在”)；
(2)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”。

已知CD=4√2，OA=5，BC=12，连接AC，求AC的长；
(3)在四边形EFGH中，EH∥FG。

若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形
的值。

点”，求OF
OG
27.( 10分)已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式；
(2)将二次函数y=ax2+bx+3的图象向右平移k(k>0)个单位，得到二次函数
y=mx2+nx+q的图象，使得当－1<x<3时，y随x增大而增大；当4<x<5时，y随x增大而减小。

请写出一个符合条件的二次函数y=mx2+nx+q的表达式
y=，实数k的取值范围是；
(3)A、B、C是二次函数y=ax2+bx+3的图象上互不重合的三点。

已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB 的度数。

28.( 10分)现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12 cm，C是半圆弧上的一点(点C与点A、B不重合)，连接AC、BC.
(1)沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”)；
(2)分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H.已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6 cm的菱形。

请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC 上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4 cm的菱形.小明的猜想是否正确?请说明理由。

备用图
2022年江苏常州中考数学试题及答案详解
（答案详解）
1.B相反数是只有符号不同的两个数.故选B.
2.A由二次根式被开方数的非负性可得x－1≥0，∴x≥1.故选A.
3.D圆柱的侧面展开图是矩形.故选D.
BC.∵DE=2，4.B∵D、E分别是AB、AC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=1
2
∴BC=4.故选B.
.
5.C由等量关系：人口数量×人均拥有绿地面积=总绿地面积，可得xy=50.∴y=50
x 故选C.
6.A因为有斑马线的道路两侧是互相平行的，而平行线之间的垂线段最短.故选A.
7.D∵A与A1关于x轴对称，A1(1，2)，∴A(1，－2).
∵A与A2关于y轴对称，∴A2(－1，－2).故选D.
8.B由图可知，共有20个点，分别有10个点落在m上方，10个点落在m下方，第10个点和第11个点分别落在区域②④，从n的方向看，有10个点落在n左侧，10个点落在n右侧，第10个点和第11个点分别落在区域①③.20个数的中位数是第10个数和第11个数的平均数，要使加入2个数后中位数不变，则加入的点可能落在区域②④，也可能落在区域①③，故选B.
9.答案 2
解析8的立方根是2.
10.答案m2
解析同底数幂相除，底数相同，指数相减.m4÷m2=m2.
11.答案xy(x+y)
解析x2y+xy2提公因式xy，得xy(x+y).
12.答案1.38×105
解析 较大数的科学记数法表示为a ×10n ，其中1≤a <10，n 为正整数，n =整数位数－1. 13.答案 >
解析 由图可知1<a <b ，∴1a >1
b . 14.答案 2
解析 ∵E 是AD 的中点，∴S △ACE =S △CDE =1，∴S △ACD =S △ACE +S △CDE =1+1=2.∵AD 是△ABC 的中线， ∴S △ABD =S △ACD =2. 15.答案 不会
解析 如图，由题知拉伸后的四边形ABCD 是菱形，边长为20 cm . ∴∠DAO =1
2∠DAB =30°，AB =AD =20 cm ，AC ⊥BD.
∵∠DAB =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD =AB =20 cm .∴DO =1
2BD =10 cm . 在Rt △ADO 中，tan ∠DAO =DO
AO ， ∴AO =DO tan∠DAO =√33
=10√3 cm .
∴AC =2AO =20√3≈34.64 cm<36 cm . ∴橡皮筋AC 不会断裂.
16.答案 1
解析 连接OA ，OC ，则∠AOC =2∠ABC =90°， ∴OA 2+OC 2=AC 2，∵AC =√2，OA =OC ，∴2OA 2=2. ∴OA =1(舍去负值)，即☉O 的半径是1. 17.答案
√6
6
解析 如图，∵∠A =∠ABC =90°，∴∠A +∠ABC =180°. ∴AD ∥BC ，∴∠1=∠3.
∵DB 平分∠ADC ，∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3，∴CD =BC =3.
过C 作CE ⊥BD ，则∠3+∠4=90°，BE =1
2BD ，
∵∠ABC =90°，∴∠3+∠ABD =90°，∴∠4=∠ABD ，∴sin ∠4=sin ∠ABD ，即BE BC =AD
BD . ∴
1
2
BD 3
=1
BD ，解得BD =√6(舍去负值)，
∴sin ∠ABD =AD
BD =√
6=√66.
18.答案 21
解析 如图，连接CF 交AB 于点M ，连接CF 交AB 于点N ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，过点F 作F'H ⊥AB 于点H ，连接FF'，则四边形FGHF 是矩形，Rt △ABC 的外部被染色的区域是梯形MFF'N.
在Rt △DEF 中，DF =3，EF =4， ∴DE =√DF 2+EF 2=√32+42=5， 在Rt △ABC 中，AC =9，BC =12， ∴AB =√AC 2+BC 2=√92+122=15， ∵1
2·DF ·EF =1
2·DF ·FG ， ∴FG =125， ∴BG =√BF 2
−
FG 2=√32
−(125)2=9
5，
∴GE =BE －BG =16
5，
∴F'H =FG =125，AH =GE =16
5，
∴FF'=GH =AB －BG －AH =15－5=10， ∵BF ∥AC ， ∴BM AM =BF AC =1
3， ∴BM =1
4AB =15
4， 同理可证AN =1
4AB =15
4， ∴MN =15－15
4－154=152，
∴Rt △ABC 的外部被染色的区域的面积为1
2×(10+15
2
)×12
5=21.
19.解析 (1)原式=2－1+13=4
3.
(2)原式=x 2+2x +1－(x 2－1) =x 2+2x +1－x 2+1 =2x +2. 20.解析 {
5x −10≤0,①
x +3>−2x,②
解不等式①得x ≤2. 解不等式②得x >－1.
把不等式①②的解集表示在数轴上，如图所示：
∴原不等式组的解集为－1<x ≤2.
21.解析 (1)样本容量为100.补全统计图略.
由条形统计图得，A 有20户，由扇形统计图得A 占比20%， ∴总户数=20
20%=100. ∴C 数量=100×25%=25， B 数量=100－20－25－15=40.
(2)估计1 500户家庭中使用7个及以上环保塑料袋的户数为15
100×1 500=225. 答：调查小组的估计是合理的.
22.解析(1)1
2
.
(2)列表如下：
由表可知，共6种等可能的结果，抽到2张小纸条描述相符的结果有3种.故所
求概率为1
2
.
23.解析(1)∵一次函数y=2x+b的图象过B(0，4)，
∴b=4，OB=4，
∴一次函数为y=2x+4.
∵S
△BOC =1
2
·OB·x C=2，
∴1
2
×4·x C=2，解得x C=1.
∵C是一次函数y=2x+4与反比例函数y=k
x
的交点，
∴{y C=2×1+4,
y C=k
1
,
解得{
k=6,
y C=6,
∴C(1，6)，反比例函数为y=6
x
.
(2)∵一次函数y=2x+4与x轴交于点A，∴A(－2，0)，∴OA=2，
∴S
△AOC =1
2
·OA·y C=1
2
×2×6=6.
24.解析(1)(3，37°).
(2)∵A'(3，37°)，B(3，74°)，
∴OA'=OB=OA=3，
∠AOA'=37°，∠AOB=74°，
∴∠A'OB=∠AOB－∠AOA'=37°=∠AOA'.在△AOA'和△BOA'中，
{OA=OB,
∠AOA′=∠BOA′, OA′=OA′,
∴△AOA'≌△BOA'，∴AA'=A'B.
25.解析(1)八进制数3746换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+6×80=2 022.
(2)由n进制数143，换算为十进制数是120，得1×n2+4n+3×n0=120.
解得n1=9，n2=－13(不舍题意，舍去).
答：n的值为9.
26.解析(1)不存在.
(2)∵△OAB≌△OCD，∴OA=OC=5，AB=CD=4√2.
∵BC=12，∴OB=BC－OC=7.
过A作AE⊥BC于点E，设OE=x，则BE=7－x，
∵AB2－BE2=OA2－OE2，
∴(4√2)2－(7－x)2=52－x2，
解得x=3，即OE=3.
∴AE=√OA2−OE2=4，EC=OE+OC=8，
∴AC=√AE2+CE2=√42+82=4√5.
(3)如图所示：
∵O是四边形EFGH的“等形点”，
∴△OEF≌△OGH，∴∠1=∠2，OE=OG，OF=OH.
∵EH∥FG，∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，∴OE=OH.
∴OG=OF，∴OF
OG
=1.
27.解析(1)由题表可知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点(1，0)，(－1，4)，
∴{a+b+3=0,
a−b+3=4,
解得{
a=−1,
b=−2,
∴二次函数为y=－x2－2x+3.
(2)二次函数y=－x2－2x+3=－(x+1)2+4，
将其图象向右平移k(k>0)个单位后得到的图象对应的函数表达式为y=－(x+1－k)2+4.
∵当－1<x<3时，y随x增大而增大，
当4<x<5时，y随x增大而减小，
∴3≤k－1≤4.
∴4≤k≤5.
∴当k=4时，二次函数y=mx2+nx+q为y=－x2+6x－5.
当k=5时，二次函数y=mx2+nx+q为y=－x2+8x－12.
(3)∵A、B、C是二次函数y=－x2－2x+3图象上的点.
A、B的横坐标分别为m、m+1.
∴y A=－m2－2m+3，y B=－m2－4m.
∴A(m，－m2－2m+3)，B(m+1，－m2－4m).
∵点A与点C关于二次函数图象的对称轴直线x=－1对称.
∴C(－2－m，－m2－2m+3).
Ⅰ.当m<m+1<－2－m时，如图所示，
则m<－3
2
.
作BD⊥AC，则tan∠ACB=BD
CD
=−m2−4m−(−m2−2m+3)
−2−m−(m+1)
=−2m−3
−2m−3
=1.
∴∠ACB=45°.
Ⅱ.当m<－2－m<m+1时，如图所示，
<m<－1，
则－3
2
作BE⊥AC交AC的延长线于E，则tan∠BCE=BE
CE
=(−m2−2m+3)−(−m2−4m)
(m+1)−(−2−m)
=1.
=2m+3
2m+3
∴∠BCE=45°，∴∠ACB=135°.
Ⅲ.当－2－m<m<m+1时，如图所示，
则m>－1，
作BF⊥AC交CA的延长线于F，则tan∠ACB=BF
CF
=(−m2−2m+3)−(−m2−4m)
(m+1)−(−2−m)
=1.
=2m+3
2m+3
∴∠ACB=45°.
综上，当m>－1或m<－3
2
时，∠ACB=45°，
当－3
2
<m<－1时，∠ACB=135°.
28.解析(1)∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形.
(2)如图：菱形EFHG就是所求作的图形.
提示：求作的菱形为边长6 cm的菱形，
则EF=HF=GH=EG=6 cm.
∵☉O的半径为6 cm，
∴OF=OB=OE=6 cm.
当G、H分别与O、B重合时，△GHF为等边三角形.
∴只需分别以A，B为圆心，以OA，OB的长为半径作弧即可. (3)如图所示，当AP=PQ=QB=4 cm时，一定存在边长为4 cm的菱形.
连接MQ，由题知MN∥AB，MN=4 cm.
∴△CMN∽△CAB.
∴CM
CA =MN
AB
=4
12
=1
3
.
∴AM
AC =2 3 .
∵AP=PQ=QB=4 cm，
∴AQ
AB =2
3
=AM
AC
.
∵∠CAB=∠MAQ，
∴△CAB∽△MAQ.
∴∠AMQ=∠ACB=90°.∵AP=PQ，
∴MP=PQ=4 cm.
同理，连接PN，可得NQ=PQ=4 cm.
∴MN=MP=PQ=NQ=4 cm.
∴四边形MNQP是边长为4 cm的菱形.。