建模考试使用

3、椅子能在不平的地面上放稳吗？解：a.模型假设：四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

b.模型构成：A,C 两脚与地面距离之和~ f(θ)；B,D 两脚与地面距离之和~ g(θ)地面为连续曲面，f(θ) , g(θ)是连续函数；椅子在任意位置至少三只脚着地，对任意θ, f(θ), g(θ)至少一个为0。

已知：f(θ) , g(θ)是连续函数; 对任意θ，f(θ) • g(θ)=0 ; 且g(0)=0，f(0) > 0. 证明：存在θ0，使f(θ0) = g(θ0) = 0.将椅子旋转90°，对角线AC和BD互换。

由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(π/2)=0 , g(π/2)>0.令h(θ)=f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(π/2)<0.由f, g的连续性知h为连续函数, 据连续函数的基本性质,必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) .因为f(θ) • g(θ)=0, 所以f(θ0) = g(θ0) = 0.4、3名商人3名随从解：模型构成：xk~第k次渡河前此岸的商人数；yk~第k次渡河前此岸的随从数；xk, yk=0,1,2,3;k=1,2,…sk=(xk , yk)~过程的状态；S={(x , y)|x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}；uk~第k次渡船上的商人数；vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk , vk)~决策；D={(u , v)|u+v=1, 2} ~允许决策集合；sk+1=sk +(-1)k dk 。

求dk∈D(k=1,2, ⋯n), 使sk∈S, 并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).5. 人、猫、鸡、米过河解：模型构成：人、猫、鸡、米分别记为i = 1,2,3,4,当i 在此岸时记xi = 1,否则记xi =0,则此岸的状态可用s = ( x1 , x2 , x3 , x4 )表示.记s 的反状态为s′= (1 - x1 ,1 - x2 ,1 - x3 ,1 - x4 ),允许状态集合为S = {(1,1,1, 1), (1, 1, 1,0),(1,1, 0, 1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)及它们的5 个反状态}.决策为乘船方案,记作d = ( u1 , u2 , u3 , u4 ),当i 在船上时记ui = 1,否则记ui = 0,允许决策集合为D = {(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0)}.记第k 次渡河前此岸的状态为sk ,第k 次渡河的决策为dk ,则状态转移律为sk + 1 = sk + ( - 1)k dk ,设计安全过河方案归结为求决策序列d1 , d2 ,⋯, dn ∈D ,使状态sk ∈ S 按状态转移律由初始状态s1 = (1,1,1,1) 经n 步到达sn + 1 =(0,0,0,0).6、实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念,讨论以下雇员和雇主之间的协议关系:(1) 以雇员一天的工作时间t 和工资w 分别为横坐标和纵坐标,画出雇员无差别曲线族的示意图.解释曲线为什么是你画的那种形状.(2) 如果雇主付计时工资,对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族.根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族,讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议.(3) 雇员和雇主已经达成了一个协议(工作时间t1 和工资w1 ).如果雇主想使雇员的工作时间增加到t2 ,他有两种办法:一是提高计时工资率,在协议线的另一点( t2 , w 2 )达成新的协议;二是实行超时工资制,即对工时t1 仍付原计时工资,对工时t2 - t1 付给更高的超时工资.试用作图方法分析哪种办法对雇主更有利,指出这个结果的条件(1) 雇员的无差别曲线族f( w , t) = c 是下凸的,如图1,因为工资低时,他愿以较多的工作时间换取较少的工资;而当工资高时,就要求以较多的工资来增加一点工作时间.(2) 雇主的计时工资族是w = at, a 是工资率.这族直线与f( w , t) = c 的切点P1 , P2 , P3 ,⋯的连线P Q 为雇员与雇主的协议线.通常P Q 是上升的(至少有一段应该是上升的),见图1.(3) 设双方在P1 ( t1 , w 1 )点达成协议,当雇主想使雇员的工作时间增至t2时,用提高计时工资率a 的办法,应在协议线P Q 上找出横坐标为t2 的P2 点,工资额为w 2 ,见图2.用超时工资的办法,应从P1 点作某一条无差别曲线的切线(粗虚线),使切点P2′的横坐标刚好是t2 ,若点P2′在P2 下方(图2 表示了这种情况),则工资额w2′< w 2 ,即第二种办法对雇主有利.得到这个结果的条件是,在雇员没有工作时和已经工作了t1 时(得到工资w 1 ), 其无差别曲线族f( w , t) = c没有变化.7、甲有物品X , 乙有物品Y , 双方为满足各自的需要，商定相互交换一部分,研究实物交换方案。

解：用x,y 分别表示甲(乙)占有X,Y 的数量。

设交换前甲占有X 的数量为x 0, 乙占有Y 的数量为y 0, 作图：若不考虑双方对X,Y 的偏爱，则矩形内任一点 p (x,y )都是一种交换方案：甲占有(x,y ) ，乙占有(x 0 -x, y 0 -y ) . 如果甲占有(x 1,y 1)与占有(x 2,y 2)具有同样的满意程度，即p 1, p 2对甲是无差别的，将所有与p 1, p 2无差别的点连接起来，得到一条无差别曲线MN , 线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y 的偏爱程度，比MN 各点满意度更高的点如p 3，在另一条无差别曲线M 1N 1上。

于是形成一族无差别曲线。

甲的无差别曲线族记作f (x,y )=c 1,c 1~满意度, （f ~等满意度曲线）, 在p 1点占有x 少、y 多，宁愿以较多的∆ y 换取较少的∆ x ; 在p 2点占有y 少、x 多，就要以较多的∆ x 换取较少的∆ y 。

乙的无差别曲线族 g (x,y )=c 2具有相同性质（形状可以不同），两族曲线切点连线记作AB ，双方满意的交换方案必在AB （交换路径）上，因为在AB 外的任一点p ’, (双方)满意度低于AB 上的点p交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y )，0≤x ≤x 0, 0≤y ≤y 0矩形内任一点，交换路径AB ，等价交换原则，AB 与CD 的交点p8.大包装小包装.(1) 分析商品价格c 与商品重量w 的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定,这些成本中有的与重量w 成正比,有的与表面积成正比,还有与w 无关的因素.(2) 给出单位重量价格c 与w 的关系,画出它的简图,说明w越大c 越小,但是随着w 的增加c 减小的程度变小.解释实际意义是什么.解：(1) 生产成本主要与重量w 成正比,包装成本主要与表面积s 成正比,其它成本也包含与w和s 成正比的部分,上述三种成本中都含有与w, s 均无关的成分. 又因为形状一定时一般有s ∝w , 故商品的价格可表为C = αw +βw + γ(α,β,γ为大于0 的常数).(2) 单位重量价格c =C/w=α+βw +γw - 1 ,其简图如右,显然c 是w 的减函数,说明大包装比小包装的商品便宜; 曲线是下凸的, 说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的,不要追求太大包装的商品.9.存储模型，不允许缺货：模型假设：1. 产品每天的需求量为常数 r ；2. 每次生产准备费为 c 1, 每天每件产品贮存费为 c 2；3. T 天生产一次（周期）, 每次生产Q 件，当贮存量为零时，Q 件产品立即到来（生产时间不计）；4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。

设 r, c 1, c 2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。

模型建立：贮存量表示为时间的函数 q (t )，t =0生产Q 件，q (0)=Q , q (t )以需求速率r 递减，q (T )=0. 一周期总费用T Q c c C 2~21+= 2221rT c c +=每天总费用平均值（目标函数）2~)(21rT c T c T C T C +==求 T 使Min 2)(21→+=rT c T c T C 。

0=dT dC ，212rc c T =，212c r c rT Q ==，↑⇒↑Q T c ,1，↓⇒↑Q T c ,2，↑↓⇒↑Q T r ,10、淋雨模型：将人体简化成一个长方体,高a = 1. 5 m (颈部以下),宽b = 0. 5 m ,厚c =0.2 m .设跑步距离d = 1 000 m ,跑步最大速度v m = 5 m/s,雨速u = 4 m/s,降雨量w = 2 cm/h,记跑步速度为v.:(1) 不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量.(2) 雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为θ,如图1 建立总淋雨量与速度v 及参数a, b, c, d, u, w ,θ之间的关系,问速度v 多大,总淋雨量最少.计算θ= 0,θ= 30°时的总淋雨量.(3) 雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为α,如图2.建立总淋雨量与速度v 及参数a, b, c, d, u, w ,α之间的关系,问速度v 多大,总淋雨量最少.计算α= 30°时的总淋雨量.图 1 图 2 (4) 以总淋雨量为纵轴,速度v 为横轴,对(3)作图(考虑α的影响),并解释结果的实际意义.(5) 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内,模型会有什么变化.：11、捕鱼业的持续收获：无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic 规律)1()()(Nx rx x f t x -==r ~固有增长率, N ~最大鱼量，单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比h (x )=Ex, E ~捕捞强度，)()()(x h x f x F -=，捕捞情况下渔场鱼量满足，Ex N x rx x F t x --==)1()()(，产量模型Ex N x rx x F t x --==)1()()(，0)(=x F 则0),1(10=-=x r E N x 稳定性判断E r x F r E x F -='-=')(,)(10，0)(,0)(10>'<'⇒<x F x F r E ，0x 稳定，1x 不稳定；0)(,0)(10<'>'⇒>x F x F r E ，0x 不稳定，1x 稳定。