基于近似Davenport风速谱的建筑结构动力响应的新封闭解法

基于近似Davenport 风速谱的建筑结构动力响应的
新封闭解法
李暾，张梦丹，姜琰，葛新广*
（广西科技大学土木建筑工程学院，广西柳州545006）
摘要：杨庆山风速谱是Davenport 风速谱的近似，可简化结构风振响应的分析.传统方法所得结构响应的表达
式比较复杂，为此，提出了一种简明封闭解法.首先，研究了考虑空间相关性的杨庆山风速谱的建筑结构脉动风压的功率谱密度函数改进表达式；其次，基于1阶微分方程的虚拟激励法获得了建筑结构风振响应（结构层绝对位移及其振动速度、层间位移及其变化率）的功率谱密度函数的统一简明封闭解；最后，研究了结构层绝对位移和层间位移响应的0—2阶及4阶的谱矩的简明封闭解.以10层建筑结构为例，利用该方法和传统虚拟激励法进行对比分析，结果表明：该方法为杨庆山风速谱激励下结构风振响应的精确解法，且可用于判断传统虚拟激励法分析的精度.
关键词：杨庆山风速谱；1阶微分方程虚拟激励法；谱矩；简明封闭解中图分类号：TU311.3
DOI ：10.16375/45-1395/t.2020.04.001
0引言
近年来随着中国城市化的快速发展，人口大量涌入城市，高层住宅成为城市解决市民居住的主要途径.高层建筑向着高强轻质的方向发展，因此，建筑结构相对较柔，对风荷载的作用比较敏感.风对建筑的作用由平均风压引起的侧移和脉动风压引起的振动组成，其中，脉动风压所引起的振动对于高层建筑的居住舒适度影响较大[1-3].Davenport [4]首次提出了著名的Davenport 风速谱，其已成为各国建筑规范风荷载取值的基础，但其表达式比较复杂，工程应用时无法获得解析解或者解析解比较复杂[1].为此，工程界出现了基于Davenport 风速谱的改进风速谱[1,5].杨庆山等[5]利用滤波方程提出了近似的风速谱，并应用于悬索桥的风振分析，但所得结构响应的表达式比较复杂.李暾等[6]利用复模态方法研究了TLD 耗能减振结构风振响应的解析解，但所得表达式比较复杂，且没有获得结构响应的1阶谱矩，故对于结构响应为窄带的随机过程无法进行高精度的结构的动力可靠度分析[1,7-9].
结构的随机风振响应分析主要有时域法和频域法[10-11]，两种方法各有特色.时域法应用的前提是随机激励具有协方差函数，利用该方法可直接获得结构响应的方差，而Davenport 风速谱没有协方差函数，故时域法在基于Davenport 风速谱下的振动分析时需要复杂的等效变化[6,12]，且所得结构响应表达式比较复杂，但无法获得结构响应的1阶谱矩，故无法进行基于窄带系统的可靠度分析.频域法中，结构风振响应的功率谱密度函数与风振激励的功率谱有着直接的代数关系，因此，具有物理意义明确、表达式简洁的特点.虚拟激励法[11,13-14]和随机振动矩阵直接谱分析法[15]是频域法的典型代表，特别是虚拟激励法有着广泛的工程应用[16].然而，无论哪种频域法在求解结构方差和谱矩均需要数值积分，故存在计算效率慢和精度不高的问题.
收稿日期：2020-06-04
基金项目：国家自然科学基金项目（51468005）；广西科技大学研究生教育创新计划项目（GKYC202010）；广西科技基地和人才专项
（桂科AD19110152）资助.
*通信作者：葛新广，博士，讲师，研究方向：结构抗震、抗风研究，E-mail ：
*******************.
第31卷第4期2020年12月
广西科技大学学报
JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
Vol.31No.4Dec.2020
第31卷
广西科技大学学报本文针对基于杨庆山风速谱下结构风振响应分析解析解表达式复杂或者需要数值积分的问题，提出一种分析结构风振响应0—2阶谱矩及4阶谱矩的简明封闭解法.首先，给出杨庆山风速谱的二次正交等效表达式及考虑竖向空间相关性的脉动风压功率谱密度函数的简明表达式；其次，利用复模态方法获得结构风振响应（结构层绝对位移及其振动速度、层间位移及其变化率）的二次正交功率谱密度函数的简明表达式；最后，基于谱矩的定义，获得了结构风振响应的0阶、1阶、2阶及4阶的谱矩的简明封闭解.
1杨庆山风速谱的等效表达式
风压对建筑结构的振动是由脉动风压力引起，H 高度处的脉动风载p f (H ,t )可表示为[1,6]：
p f (H ,t )=I 0(H )B (H )u (t )
（1）
式中：I 0(H )是均值为0，方差为1的随机变量，用以表示风速的空间相关性；u (t )为风速谱，为一般随机过程；B (H )为脉动风压强度参数，其表示为：
B (H )
=
p
ˉ(H )（2）
式中：K r 为与地面粗糙度有关的系数；μz (H )为离室外地面H 高度处的风压高度变化系数；p
ˉ(H )为离室外地面H 高度处的平均风压力，其表示为：
p
ˉ(H )=μs (H )μz (H )w 0A （3）
式中：μs (H )为离地高度为H 的风载体型系数；w 0为基本风压值（kN/m 2）；A 为计算风压力的迎风面积.
Davenport 风速谱能较为准确地表述脉动风速的随机性，因此，广泛应用于各个规范的风振激励模型.然而其功率谱采用分数幂函数的形式，不易获得结构响应的解析解.故多种等效的风速谱被提出[1,5]，其中杨庆山提出了基于滤波器的白噪声激励[5]：
S u 1
(ω)=γ21ω2
(β1-ω2)2+α21ω
2
（4）
式中：ω为圆频率变量；α1、β1、γ1为滤波方程参数；S u 1
(ω)为双边功率谱密度函数.
为便于获得简明的封闭解，本文给出了等效的风速功率谱表达式：
S u (ω)=∑
j =1
2a j ω2-b 2j
（5）
式中：b 21=(
)2β1-α2
1+Δ/2；b 22=(
)
2β1-α2
1-
Δ/2；a 1=γ21b 21/(b 21-b 22)；a 2=γ21b 21/(b 22-b 2
1)；
Δ=α41-4β1α21.
研究表明，风压力沿着高度具有显著的相关性，则结构振动分析时，平稳脉动风压力应考虑高度的协方差C P f
(H i ,H j ,τ)：
C P f
(H i ,H j ,τ)=ρij C u (τ)
（6）ρij =exp éëêù
û
ú-160||H i -H j B (H i )B (H j )
（7）
式中：C u (τ)为风速谱的协方差；ρij 为风压空间性及强度综合参数.
考虑高度相关性的平稳脉动风压力的功率谱，根据平稳激励的Wiener-Khinchin 定律可得[10]：
S P f
(H i ,H j ,ω)=12π∫
∞
C P f
(H i ,H j ,τ)e -j ωτd τ
（8）
式中：S P f
(H i ,H j ,ω)为考虑空间相关性的平稳脉动风压力的功率谱；j =-1.
由式（6）及式（8），则考虑空间相关性的脉动风压力功率谱可简化为：
S P (H i ,H j ,ω)=ρij S u (ω)
（9）
2
第4期2结构风振响应功率谱的统一简明解
建筑结构在脉动风荷载P f (t )作用下的运动方程为：
Mx +Cx +Kx =P f (t )
（10）
式中：x 、x 、x 分别为结构各层相对于地面的加速度、速度和位移向量；M 、C 、K 分别为结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；P f (t )=[p f (H 1,t ),⋯,p f (H n ,t )]T ，H i 为第i 结构层距离地面的高度，n 为楼层数.
风对结构的作用常以若干振型为主，则结构的响应由实模态表示为：x =ϕm q
（11）
式中：ϕm 为结构前m 阶振型；q 为广义坐标向量，q =[q 1,…,q m ].
把式（11）代入式（10），由式（10）与实模态的正交性，结构的振动方程改写为：
q +2ξω
ˉq +ωˉ2q =γ{}I 0(H )B (H )u (t )（12）
式中：γ=ϕT
ϕT
M ϕ
；{}I 0(H )B (H )=[]I 0(H 1)B (H 1),…,I 0(H n )B (H n )T ；ξ、ωˉ分别为结构振动系统前m 阶阻尼比向量和结构振动圆频率.
引入状态变量：
y =[]
q
q T
（13）则式（10）改写为：
-M y +-K y =γ
ˉ{}I 0(H )B (H )u (t )（14）
式中：γ
ˉ=[γO 1]，O 1为m×n 的矩阵，其元素均为0；-M =éëêùû
ú2ξω
ˉE 1E 1O 2；-K =éëê
ùûúωˉ2O 2O 2-E 1式中：O 2为m ×m 矩阵，其元素均为0；E 1为m ×m 的单位对角矩阵.
根据复模态法理论[10,17]，方程（14）存在左右特征向量V 、U 和特征值矩阵P 使之解耦.特征值可由
式（14）的特征值方程得：
||-
M P +-K =0（15）
式中：||表示行列式符号.
由复模态理论，左、右特征向量也由式（14）的特征值方程得：
()-M P +-K U =0；()-M P +-K T
V =0（16）
式中：特征值矩阵P 为对角阵，其元素的实部为负实数，且与结构参数及左右特征向量矩阵存在如下关
系：
P =V T -KU
V T -M U
（17）
引入复模态变换：
y =Uz
（18）
式中：z 为复模态广义参数.
由复模态理论，式（14）改写为：z +Pz =η{}I 0(H )B (H )u (t )
（19）
式中：η=V T γ
ˉ/(V T -MU )，其为2m ×n 矩阵.由于P 为对角阵，式
（19）的分量形式：z k +p k z k =∑i =1
n ηk ,i I 0(H i )B (H i )u (t )
()
k =0,1,2,4（20）
式中：ηk ,i 表示η矩阵第k 行第i 列的元素.
李暾等：基于近似Davenport 风速谱的建筑结构动力响应的新封闭解法
3
第31卷
广西科技大学学报根据虚拟激励法[11]，式（20）的频域解：
z k (ω)=
j ωt
∑i =1
n η
k ,i
I 0(H i )B (H i )（21）
由式（11）、式（13）和式（18），则结构响应的频域解：
x l =∑s =1m
∑k =12m ϕl ,s U s ,k z k (ω)
（22）x l =∑s =1m
∑k =1
2m
ϕl ,s U s +m ,k z k (ω)
（23）Δx l =∑s =1m
∑k =1
2m Δϕl ,s U s ,k z k (ω)
（24）Δx l =∑s =1m
∑k =1
2m Δϕl ,s U s +m ,k z k (ω)
（25）
式中：x l 、x l 、Δx l 、Δx l 分别为结构的位移、速度、层间位移及层间位移变化率；ϕl ,s 表示l 层第s 阵型参数；Δϕl,s =ϕl ,s -ϕl -1,s 表示第l 层第s 阵型的层间参数，且1层时，Δϕ1,s =ϕ1,s ；U s ,k 表示右特征向量U 第s 行第k 列的元素.从式（22）—式（25）可知，结构响应的位移及速度可统一表示为：
D l =∑s =1m ∑k =1
2m
φl ,s -U s ,k z k (ω)
（26）
式中：D l 表示第l 层的位移/层间位移时，-U s ,k =U s ,k ；D l 表示第l 层速度/层间速度时，-U s ,k =U s +m ,k ；D l 表示
位移/速度时φl ,s =ϕl ,s ，结构层间位移/层间位移变化率时φl ,s =Δϕl ,s .
由虚拟激励法，则D l 的功率谱为：
S D l
(ω)=∑s 2=1m
∑s 1=1m
∑k =12m
∑i =1
2m
φl ,s 1
φl ,s 2
-U s 1
,k -U s 2
,i z k (ω)z ∗k (ω)
（27）
式中：z ∗k (ω)是z k (ω)的共轭项.
对式（27）进行整理：
S D l
(ω)=∑k =1
2m
μk A k +
∑k =12m -1
∑i =k +1
2m
μ
i ,k
B i ,k
（28）
式中：
μk =∑s 2=1m
∑s 1=1
m
φl ,s 1
φl ,s 2
-U s 1
,k -U s 2
,k
（29）μi ,k =∑s 2=1m
∑s 1=1
m
φl ,s 1
φl ,s 2
-U s 1
,k -U s 2
,i
（30）A k =z k z ∗
k （31）B i ,k =z i ()ωz ∗k ()ω+z k ()ωz ∗i ()
ω（32）
把式（21）代入式（31）：
A k
=
j ωt
∑i 1=1
n η
k ,i 1I 0
(H i 1
)B (H i 1
)×
-j ωt
∑i 2=1
n η
k ,i 2I 0
(H i 2
)B (H i 2
)
（33）
利用式（9），则式（33）简化为：
A k =
λk
p 2k +ω2
S u (ω)（34）λk =∑i 1=1n
∑i 2=1
n
ηk ,i 1
ηk ,i 2
ρi 1i
2
（35）
把式（21）代入式（32）：
4
第4期
B ik =z k z ∗i
+z ∗
k
z i =1p k +j ω1
p i -j ωS u (ω)∑i 1
=1n ∑i 2
=1
n
ηi ,i 1
ηk ,i 2
I 0(H i 1
)I 0(H i 2
)B (H i 1
)B (H i 2
)+
1p k -j ω1
p i +j ωS u (ω)∑i 1
=1n ∑i 2
=1
n
ηi ,i 1
ηk ,i 2
I 0(H i 1
)I 0(H i 2
)B (H i 1
)B (H i 2
)
（36）
由式（9），则式（36）改写为：
B ik =S u (ω)λik
(
)
1p i +j ω1p k -j ω+
1p i -j ω1
p k +j ω
（37）λik =∑i 1=1n
∑i 2=1
n
ηi ,i 1
ηk ,i 2
ρi 1i
2
（38）
对式（37）中的以下部分进行简化：
1p i +j ω1p k -j ω+1p i -j ω1
p k +j ω
=
1p i +p k ()
1p i +j ω+1p k -j ω+1p i -j ω+1p k +j ω=1
p i +p k (
)
2p i p 2i +ω2+2p k p 2k +ω
2
（39）
把式（39）代入式（37）则：
B ik =
λik S u (ω)p i +p k ()
2p i p 2i +ω2+2p k
p 2k +ω
2
（40）
把式（34）、式（40）代入式（28），则结构脉动风压力的动力响应的功率谱：
S D l
(ω)=éëêêù
û
úú∑k =12m μk λk p 2k
+ω2+∑k =12m -1∑i =k +12m μik λik p i +p k ()
2p i p 2i +ω2+2p k
p 2k +ω2
S u (ω)（41）
把式（5）代入式（41），则结构响应的功率谱改写为：
S D l
(ω)=éëêêù
û
úú∑k =12m ∑j =12a j ω2+b 2j μk λk p 2k +ω2+∑k =12m -1∑i =k +12m ∑j =12μik λik p i +p k a j ω2+b 2j ()
2p i p 2i +ω2+2p k p 2k +ω2（42）由式（42）可知，结构基于杨庆山风速谱响应的位移及速度响应的功率谱可表示为二次正交式，为谱
矩的封闭解研究奠定了基础.
3结构风振响应谱矩的新解法
根据随机振动理论，随机激励下线性结构位移响应的0阶谱矩等于位移的方差；位移响应的2阶谱矩等于速度响应的0阶谱矩，即等于速度响应的方差；位移响应的4阶谱矩等于速度响应的2阶谱矩，等于加速度响应的0阶谱矩，即加速度的方差.位移响应的1阶谱矩是动力可靠度普参数分析的重要参数之一，为此，需要对结构位移响应的0—2阶及4阶谱矩进行分析.
结构响应的谱矩可表示为：
αk D l
=2
∫0
∞S
x j
(ω)ωk d ω
()
k =0,1,2,4（43）
把式（42）代入式（43），并取k =0，可获得结构位移响应的0阶谱矩：α0
D l
=2∑k =12m ∑j =12μk λk ∫
0∞a j ω2+b 2j 1p 2k
+ω2
d ω+2∑
k =12m -1
∑i =k +12m
∑j =12
λik μik
p i +p k
∫
∞a j
ω2+b 2j (
)
2p i
p 2i +ω
2
+
2p k
p 2k +ω
2
d ω=
2∑k =12m
∑j =1
2
μk λk χjk +4∑
k =12m -1
∑i =k +12m
∑j =12
λik μik
p i +p k
()p i χji +p k χjk （44）
式中：μk 和μik 为结构位移的对应系数，χjk 和χji 的计算见附录A.
根据随机振动理论，结构位移的4阶谱矩等于结构速度的2阶谱矩，即式（42）代入式（43）：
李暾等：基于近似Davenport 风速谱的建筑结构动力响应的新封闭解法
5
第31卷
广西科技大学学报α2D l
=2∑k =12m
∑j =12
μk λk
∫
∞a j ω2
ω2+b 2j 1
p 2k
+ω2
d ω+2∑k =12m -1
∑i =k +12m
∑j =12
λik μik
p i +p k
∫
∞a j ω2
ω2+b 2j (
)
2p i
p 2i +ω
2
+
2p k
p 2k +ω
2
d ω=
2∑k =12m
∑j =1
2
μk λk δjk +4∑
k =12m -1
∑i =k +12m
∑j =12
λik μik
p i +p k
()p i δji +p k δjk （45）
式中：δjk 和δji 的计算见附录A.
把式（42）代入式（43），并取k =1，可获得结构位移响应的1阶谱矩：
α1
D l
=2∑k =12m ∑j =12μk λk ∫
0∞a j ωω2+b 2j 1p 2k
+ω2
d ω+2∑
k =12m -1
∑i =k +12m
∑j =12
λik μik
p i +p k
∫
∞a j ω
ω2+b 2j (
)
2p i
p 2i +ω
2+
2p k
p 2k +ω
2
d ω=
2∑k =12m
∑j =1
2
μk λk κjk +4∑
k =12m -1
∑i =k +12m
∑j =12
λik μik
p i +p k
()p i κji +p k κjk （46）
式中：κjk 和κji 的计算见附录A.
4算例
某海边地带（A 类地区）有1座10层的高层钢结构建筑，地面粗糙度系数为K r =0.00129.其中第1层至
第3层的层间质量为m 1~m 3=380×103kg ，层间刚度为k 1~k 3=330×106N/m ，迎风面积均为150m 2；
第4层至第10层的层间质量为m 4~m 10=320×103k g ，层间刚度为k 4~k 10=280×106N/m ，迎风面积均为
105m 2，各层高度均为3.3m.结构的阻尼比ξ1=0.05，脉动风速为v 0=33.5m/s ，对应杨庆山风速谱参数：α1=0.3815，β1=0.0158，γ1=0.8330.
4.1风谱的对比分析
为验证本文所给杨庆山风速谱表达式的正确性，图1给出与杨庆山风速谱原表达式的对比分析.从图1中可知两者完全吻合，说明本文所给杨庆山风速谱的等效表达式是正确的.4.2结构响应功率谱对比分析
为验证本文所提结构响应功率谱的正确性，与虚拟激励法的功率谱进行比较如图2—图4所示.从图2—图4中可以看出本文方法和虚拟激励法的位移功率谱和层间功率谱完全重合.然而本文方法所得到的功率谱为系统特征线性组合，更为简洁，故便于工程应用
.
图1风速谱对比图
Fig.1Comparison of wind speed spectrum
图21层位移功率谱对比图
Fig.21st-layer displacement power spectrum
contrast diagram
6
第4期4.3谱矩的对比分析
为验证本文方法计算结构风振响应谱矩解析解的正确性，与传统虚拟激励法进行对比.传统虚拟激励法需采用数值积分在[0，∞）区间进行求解，是无法实现的.结构响应的功率谱密度函数的峰值与结构的自振频率有关，对于建筑结构而言，结构的周期小于0.01s~3s ，对应的圆频率为628rad/s~1rad/s ，而风速谱的频率范围是[0，∞），故本文分析时为了精度更高，传统虚拟激励法采用[0，10000]，远远超过结构的卓越频率.根据功率谱函数随着频率的增大，功率谱值越来越小的特点，因此，取积分区间为[0，10000）.由于数值积分精度与积分步长密切相关，为此本算例中取3种积分步长：1）频率积分间距为1.00rad/s ；2）频率积分间距为0.50rad/s ；3）频率积分间距为0.05rad/s.谱矩对比如图5—图12所示.
从图5—图12可知，传统虚拟激励法的积分步长对计算精度影响较大，积分步长选择不当，结果可能偏大也可能偏小，这一特点从功率谱密度函数的凸凹型可以理解.积分步长越小，计算的谱矩与本文方法越接近，故本文方法是正确的.从CPU 耗时来看，传统虚拟激励法的计算时间随着积分区间的减小而增加，1）耗时4.1619s ；2）耗时6.3060s ；3）耗时66.4000s.本文方法耗时0.0999s.本文方法和传统虚拟激励法耗时相比，1）比值1/41；2）比值1/63；3）比值1/664.故本文的计算效率最高
.
图310层位移功率谱对比图Fig.310th-layer displacement power
spectrum contrast diagram 图410层层间位移功率谱对比图Fig.4Comparison diagram of 10-layer
displacement power
spectrum
图5位移0阶谱矩对比图
Fig.5Comparison diagram of displacement
0th-order spectral moment 图6位移1阶谱矩对比图
Fig.6Comparison diagram of displacement
first-order spectral moment
李暾等：基于近似Davenport 风速谱的建筑结构动力响应的新封闭解法
7
第31卷
广西科技大学学报5结论
本文对基于杨庆山风速谱的结构风振响应谱矩的简明封闭解进行了研究，获得如下结论：
1）结构的振动方程可通过复模态方法解耦为1
阶微分方程组，利用虚拟激励法可将结构响应的功率谱
图7位移2阶谱矩对比图
Fig.7Comparison diagram of displacement
second-order spectral moment 图8位移4阶谱矩对比图
Fig.8Comparison diagram of displacement
4th-order spectral moment
图9层间位移0阶谱矩对比图Fig.9Comparison diagram of 0th-order spectral moments of interlayer displacement 图10层间位移1阶谱矩对比图
Fig.10Comparison diagram of first-order spectral moments of interlayer displacement
图11层间位移2阶谱矩对比图
Fig.11Comparison diagram of second-order spectral moments of interlayer displacement 图12层间位移4阶谱矩对比图Fig.12Comparison diagram of 4th-order spectral moments of interlayer
displacement
8
李暾等：基于近似Davenport风速谱的建筑结构动力响应的新封闭解法9第4期
简化为关于频率变量的二次型，为谱矩的封闭解析解奠定基础.因此，本文方法本质上是一种改进虚拟激励法.
2）传统虚拟激励法计算结构风振响应谱矩，计算效率和计算精度受积分步长影响较大，而本文方法谱矩为解析解.对于多自由度结构来说，无论是传统的虚拟激励法还是本文方法都需要对结构的振动方程进行解耦，都需要获得结构的振动特征值.故本文方法可用来验证传统虚拟激励法的分析精度.
3）本文方法获得了结构风振位移和层间相对位移的0阶、1阶、2阶的封闭解析解，为基于更精确的Markov理论可靠度分析奠定基础；获得了结构风振位移的4阶谱矩，为基于风振舒适度[18-20]控制研究奠定基础.
参考文献
[1]李桂青.结构动力可靠性理论及其应用[M].北京：地震出版社，1993.
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第31卷
广西科技大学学报A new closed solution to the dynamic response of building structures
based on approximate Davenport wind speed spectrum
LI Tun,ZHANG Mengdan,JIANG Yan,GE Xinguang *
(School of Civil Engineering and Architecture,Guangxi University of Science and Technology,
Liuzhou 545006,China)
Abstract :Yang qingshan wind speed spectrum is an approximation of Davenport wind speed spectrum,which can simplify the analysis of structural wind-vibration response.However,the expression of structural response obtained by the traditional method is also complex.Therefore,a simple closed solution method is proposed in this paper.Firstly,the improved expression of the power spectral density function of the fluctuating wind pressure of the building structure considering the spatial correlation of Yang qingshan wind speed spectrum is studied.Secondly,based on the first order differential equation,the virtual excitation method obtains the unified and concise closed solution of the power spectral density function of the wind vibration response of the building structure (the absolute displacement and its vibration velocity of the structure layer,the inter-layer displacement and its change rate).Finally,the closed solutions of order 0-2and order 4spectral moments of the absolute displacement and the interlayer displacement response are studied.Taking the 10-story building structure as an example,the method in this paper is compared with the traditional virtual excitation method,and the results show that the method in this paper is an accurate solution to the wind-vibration response of the structure under the excitation of Yang qingshan wind speed spectrum ，and it can be used to judge the accuracy of the analysis of the traditional virtual excitation method.
Key words :Yang qingshan wind speed spectrum;first order differential equation virtual excitation method;spectral moment;concise closed solution
附录A
χj k 、χji 、δj k 、δji 、κj k 和κji 的计算
由式（44），则：
χj k =
∫
∞a j
ω2+b 2j 1
p 2k +ω2d ω=a j p 2k -b 2
j
()
∫
∞1
ω2+b 2j
d ω-∫
∞
1
p 2k +ω2
d ω=||
|||a j
p 2k -b 2
j
(
)
1
b
2
j
a r ctan
ω
b 2j
-1
p k a r ctan ωp k
=a j p 2k -b 2j π2(
)
1b
2
j
-
1p k
（1-1）
同理可推导得χji .
由式（45），则：
（下转第18页）
10
第31卷
广西科技大学学报that:the increase of confining pressure will promote the growth of E d and u d of gravel soil and decrease εd ;with the increase of dynamic stress amplitude,the development trend of E d will change;the high dynamic stress amplitude (σd =150kPa)，u d all showed a sudden decline →a gradually increasing development trend;the dynamic strain of gravel soil under cyclic load is mainly the result of the accumulation of early deformation in each stage,and the dynamic strain increments in the early stage (N ≤1500)account for about 90%of the total dynamic strain increments under different confining pressures;the greater the confining pressure,the weaker the energy dissipation of the soil and the greater the rigidity.
Key words ：gravel soil;confining pressure;graded loading;dynamic triaxial test;dynamic characteristics
（责任编辑：罗小芬、黎娅）
（上接第10页）
δj k =
∫
∞a j ω2ω2+b 2j 1
p 2k +ω2d ω=a j
∫
∞ω2+b 2j -b 2
j
ω2+b 2j
1
p 2k
+ω2
d ω=a j
∫
∞ω2+b 2j
ω2+b 2j 1
p 2k
+ω2d ω-a j
∫
∞b 2j
ω2+b 2j 1
p 2k
+ω2
d ω=a j
∫
∞1
p 2k +ω
2
d ω-b 2j ∫
∞a j
ω2+b 2j 1
p 2k +ω2
d ω=a j π2p k -b 2j χp k （1-2）
同理可推导得δji .
由式（46），则
κj k =
∫
∞a j ω
ω2+b 2j 1
p 2k +ω2
d ω=a j 2∫
∞1ω2+b 2j 1
p 2k +ω
2
d ω2=a j
2
∫
∞1μ+b 2j 1p 2k +μd μ=a j 21p 2k -b 2
j
∫
∞(
)
1μ+b 2j -1
p 2
k
+μd μ=a j 21p 2k -b 2
j ln ()
p 2k
b 2j
（1-3）
同理可推导得κji .
（责任编辑：罗小芬、黎娅）
18。